Distribuzioni skew-simmetriche modellate con funzioni B-spline

La “teoria degli errori di misura”, la “curva degli errori accidentali” e il “metodo dei minimi quadrati” di Gauss (1809) costituiscono le più importanti radici storiche della statistica che, occupandosi di fenomeni collettivi “suscettibili di variare senza regola assegnabile a tutto rigore” Benini (1906), ha trovato nel calcolo delle probabilità lo strumento con cui misurare quei fenomeni.
Dalla curva gaussiana di distribuzione delle probabilità, la statistica si è evoluta verso distribuzioni più flessibili in grado di ridurre i margini di errore nelle stime di dati.
Infatti, sono Dixon and Hill (1982) ad affermare che “distribuzioni di probabilità che siano più flessibili rispetto alle normali sono spesso richieste nelle modellazioni statistiche”. Ma, secondo Azzalini (1985), la definizione di un modello statistico in grado di descrivere coerentemente il comportamento di un fenomeno empirico non può prescindere dalla forma di una distribuzione.
Azzalini (1985) ha rivolto la sua attenzione alle proprietà formali studiando le distribuzioni skew normali (SN) e introducendo un ulteriore parametro per manovrare l’asimmetria della distribuzione.
L’ampliamento della classe delle distribuzioni normali di Azzalini è stato molto importante per la statistica, in quanto i ricercatori non erano più costretti ad assumere a priori che i dati fossero distribuiti secondo uan curva normale standard ma potevano disporre di una classe di distribuzioni che includeva la normale standard stessa. In questa maniera è diminuito di molto il rischio di un errore delle valutazioni iniziali.
Lo scopo delle generalizzazioni di una classe di distribuzioni, olter a estendere la flessibilità, riduce ulteriormente il margine di errore di valutazione.
Infatti, in questa direzione si sono mossi anche Wang et al. (2004) con le loro ricerche, quando hanno incluso la classe delle distribuzioni skew normali in una classe più ampia che è quella delle distribuzioni skew simmetriche (SS); e Genton e Loperfido (2005) quando hanno introdotto le distribuzioni skew ellittiche generalizzate (GSE).
Ma and Genton (2004) hanno modificato le skewing function utilizzando i polinomi da cui derivano distribuzioni capaci di esibire multimodalità (gli studiosi hanno notato che al crescere del grado dispari del polinomio la distribuzione presentava un numero crescente di mode), una operazione che inprecedenza si otteneva con l’utilizzo di più distribuzioni. In pratica, costoro si sono accorti che le skewing function π possono essere scritte in maniera equivalente utilizzando strumenti più semplici: la funzione π(x) viene scritta come H(η(x)), dove la funzione H(·) è la funzione di ripartizione di una variabile casuale simmetrica rispetto allo zero e la funzione η(·), che nella
letteratura precedente è una funzione dispari, viene sostituita da polinomi di grado dispari.
Il proposito di questa tesi è proporre una classe di distribuzioni più efficiente rispetto a quella presentata da Ma and Genton (2004), in quanto è basata su un elemento molto più robusto a livello computazionale rispetto ai polinomi (che, come è noto, hanno problemi di robustezza computazionale): in questa tesi vengono utilizzate le funzioni B-spline, una naturale estensione dei polinomi.