Distorsioni del Modello Black & Scholes ed estensione ai modelli a volatilità stocastica.

Le opzioni rappresentano una classe molto importante di derivati. Esse negli ultimi anni hanno riscosso notevole successo presso gli investitori.
Nel corso degli anni ’90 lo strumento finanziario dell’opzione scritta su indice ha
assunto una rilevante importanza finalmente anche sul mercato italiano. Nel 1995 è stato istituito il primo contratto di opzione sull’indice azionario MIB30, e da allora i volumi di contrattazione di tale strumento sono in continuo aumento.
Sul mercato italiano, lo standard di riferimento per determinare il prezzo delle opzioni è, come sui mercati internazionali, il modello Black & Scholes.
Questo modello, per la semplicità di utilizzo e per le buone performance nella
determinazione dei prezzi, rimane ancora oggi ineguagliato, sebbene sia ampiamente risaputo da notevoli studi come soffra di evidenti inadeguatezze. In particolare, l’ipotesi di base di Black & Scholes e cioè quella di una volatilità costante del titolo sottostante l’opzione, è sconfessata dall’evidenza empirica sui mercati: la volatilità di un titolo o di un indice azionario in realtà varia nel tempo dispiegando un particolare andamento conosciuto dagli operatori di mercato come “sorriso di volatilità” (“Volatility Smiles”).
La necessità di ottenere delle stime dei prezzi delle opzioni sempre più accurate ha indotto gli operatori a sviluppare delle tecniche in grado di sopperire a questa inadeguatezza.
Nel corso degli ultimi decenni, in letteratura hanno fatto la loro comparsa un gran numero di modelli per la determinazione dei prezzi delle opzioni che nsiderano la volatilità del titolo o dell’indice variabile. Nessuno di questi si è tuttavia imposto sul piano operativo, o per i risultati non sempre brillanti in termini di performance o per difficoltà di utilizzo.
Una classe importante, e più recente, è quella che considera l’ipotesi di una volatilità stocastica. Essa ha attirato l’attenzione delle principali istituzioni finanziarie, in quanto da una parte consente un notevole miglioramento delle stime dei prezzi reali delle opzioni e dall’altra riproduce in modo naturale i famosi sorrisi di volatilità. E’ bene tuttavia chiarire che, ad oggi, i modelli a volatilità stocastica non hanno sostituito Black & Scholes nella prassi operativa. Estensioni e miglioramenti avvenuti nel corso degli
ultimi anni rendono comunque questo filone di studi tutt’altro che esaurito ed è per questo che abbiamo concentrato su di esso la nostra attenzione.
Il seguente lavoro si pone l’obiettivo di dimostrare le relative inadeguatezze del modello Black & Scholes, e la possibilità di ridurle attraverso un estensione ai modelli a volatilità stocastica, tra i quali, quello preso in maggiore considerazione è il modello a volatilità stocastica di Heston.
Descriveremo ora il contenuto dei capitoli del presente lavoro di tesi.
Nel primo capitolo verrano presentate le opzioni finanziarie come strumento di
investimento, verranno elencate le loro caratteristiche principali, le loro classificazioni, nell’ultimo paragrafo verranno introdotte un tipo di opzioni particolari, le quali nel proseguo fungeranno da strumento adatto al fine di questo lavoro.
Nel secondo capitolo viene presentato e sviluppato il modello di Black & Scholes, cercando di evidenziarne i limiti, successivamente verranno illustrate le lettere greche e il loro significato finanziario attraverso l’ausilio di grafici.
Nel terzo capitolo, nella prima parte verrà illustrato chiaramente il concetto di volatilità e dei volatility smiles , saranno presentati i vari modelli a volatilità stocastica esistenti, nella seconda parte verrà sviluppato quasi integralmente il modello a volatilità stocastica di Heston, seguendo il lavoro dello stesso: (S.Heston, 1993 “A Closed Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options”. Review of Financial Studies, 6, 327 – 343).
Nel quarto capitolo verrà sviluppato limitatamente alla parte relativa al pricing, un lavoro successivo a quello di Heston, precisamente: (Bakshi, G., Cao, C., & Chen, Z.(2000). “Pricing and hedging long-term options. Journal of Econometrics”, 94, 277– 318. Seguendo questo lavoro si vuole dimostrare, attraverso le evidenze empiriche delle opzioni introdotte nel primo capitolo, ed attraverso l’ausilio dei grafici i miglioramenti ottenuti dal modello SV rispetto sia al Black & Scholes che ai modelli della sua famiglia.
In sintesi le conclusioni alle quali sono pervenuto, sono che il modello a volatilità stocastica semplice, ha delle performance migliori nel prezzare sia le opzioni standard che le opzioni non standard tra le quali le Leaps (Long term equity anticipation securities).