Dimostrazione costruttiva e non costruttiva in teoremi di esistenza. Un'esperienza didattica nelle scuole secondarie superiori.

INTRODUZIONE Scopo di questa tesi è illustrare un paio d'esperienze didattiche svolte in due classi liceali, miranti ad illustrare ai discenti la distinzione tra dimostrazione costruttiva e dimostrazione puramente esistenziale. L’esperienza quotidiana del matematico lo porta a confrontarsi con dimostrazioni di esistenza di varia natura. Tra queste si possono, in prima approssimazione, distinguere alcune dimostrazioni di carattere costruttivo, mentre altre non indicano alcun procedimento atto a determinare l’oggetto di cui si vuole provare l’esistenza. Nell’evoluzione del pensiero matematico si tese a favorire, a seconda del periodo, l’uno o l’altro modo di procedere. Si pensi all’algebra; dapprima lo scopo principale dell’algebra era la designazione di metodi costruttivi per risolvere equazioni attraverso trasformazioni simboliche. Poi nella seconda metà del secolo scorso nacque l’algebra astratta; ne seguì la tendenza a favorire gli argomenti non costruttivi rispetto alle costruzioni algoritmiche complete. Con l’arrivo dei computer, ed il loro grande sviluppo negli ultimi trent’anni, vi è un rinnovato interesse verso il problema della costruzione effettiva in algebra. Nei programmi didattici attuati nelle scuole secondarie vi sono vari esempi sui due modi di procedere. Lo studente dei nostri licei, per esempio, deve confrontarsi con le dimostrazioni 5