Soluzione analitica esaustiva del contatto hertziano tra corpi

Di seguito analizzeremo l'argomento cardine di questa tesi di laurea ovvero il contatto hertziano. Come suggerisce il nome tale fenomeno, studiato da Heinrich Hertz, portò alla pubblicazione nel 1882 degli articoli "Uber die Berihrung fester elastischer Korper" ("Sul contatto di solidi elastici") e "Uber die Berihrung fester elastischer Korper und iber die Hirte" ("Sul contatto di solidi elastici e durezza”) dove egli espose i risultati dei propri studi; l'imput a svolgere questi lavori fu dettato dalla volontà di Hertz di comprendere il fenomeno degli anelli di Newton.

Tale fenomeno è rappresentato da una figura di interferenza dovuta alla rifrazione della luce tra due superfci, in generale due lenti, una sferica e l'altra piana, in contatto tra loro. Quando queste superfici a contatto vengono illuminate da una luce bianca o monocromatica, l'interferenza prodotta crea una serie di figure concentriche con alternanza chiaro-scuro, circonferenze o ellissia seconda della forma delle lenti, in particolare gli anelli chiari sono prodotti dall'interferenza costruttiva tra i raggi di luce rifessi da entrambe le superfici, mentre gli anelli scuri sono prodotti dall'interferenza distruttiva.

Hertz notò inoltre che gli anelli cambiavano forma e dimensione al variare della forza che teneva unite le lenti, egli pertanto, mediante l'uso di una sfera di vetro a contatto con una lente che fungeva da base, ipotizzò che la distribuzione di pressione tra le lenti fosse di tipo ellittico e validando le sue teorie calcolò la deformazione prodotta dalla sfera nella lente stessa. Prima di lui il problema del contatto fu studiato già da Winkler e Grashof ma i due studiosi riuscirono ad ottenere solo una soluzione matematica approssimata facendo inoltre uso di fattori empirici sconosciuti. Iniziamo dunque la trattazione del problema elencando le ipotesi preliminari, esse sono:

1. Le deformazioni da contatto sono di tipo elastico e quindi reversibili.
2. La dimensione massima dell'impronta di carico confrontata con le dimensioni dei corpi e dei raggi di curvatura, in particolare quello minore, deve essere molto piccola, ovvero a << R, ciò fisicamente vuol dire avere a almeno un ordine di grandezza più piccolo rispetto ad R, generalmente abbiamo che a/R = 10 ^{- 2}.
3. Ogni corpo può essere considerato come un solido elastico piano semi-infnito indipendente su di cui agisce una determinata distribuzione di pressione che genera di conseguenza uno stato tensionale e deformativo determinato. Il fatto di considerare un solido avente una curvatura come un piano equivale a ipotizzare che i raggi di curvatura dei solidi a contatto siano molto più grandi dell'area di contatto stessa.
4. Le superfci a contatto sono continue e non conformi.
5. Le superfci sono perfettamente liscie.
6. Il contatto è statico e senza attrito.

Nel caso che anche una sola di queste condizioni venisse a mancare si parla di contatto non hertziano. Come abbiamo appena specificato il modello di Hertz non contempla l'attrito tuttavia in seguito a partire da tale modello sono state sviluppate teorie che inseriscono nello studio anche tale fenomeno. Iniziamo ora con il fare alcune considerazioni di carattere generale.

Quando due corpi non conformi sono posti in contatto tra loro a seconda della loro geometria essi si troveranno in contatto secondo una linea oppure secondo un punto, di seguito con l'aumento del carico che li preme a contatto l'uno contro l'altro, l'area di contatto assumerà una forma ben determinata, la teoria del contatto sviluppata da Hertz si fà carico di determinare tale area e di studiare come essa incrementi le sue dimensioni con l'incremento del carico studiando inoltre lo stato deformativo e tensionale in superfcie e sotto la superfcie dei corpi. Prima di studiare il problema dal punto di vista elastico è importante dare una descrizione delle geometrie delle superfci di contatto.

A tale scopo consideriamo la fg.8.2, in tale fgura consideriamo il punto d'inizio contatto O come l'origine del nostro sistema di coordinate cartesiane ortogonali x, y, z, chiamiamo poi il piano xy come π, tale piano rappresenta il piano comune tangente alle due superfici di contatto, infine identifichiamo l'asse z secondo la normale comune al piano di contatto diretto con verso positivo verso il basso.

Come abbiamo già detto secondo l'ipotesi 4 le superfici sono perfettamente liscie su scala macroscopica e microscopica ciò implica che a livello microscopico vi sia l'assenza o la trascurabilità di rugosità in modo tale che non vi sia discontinuità di contatto e che non vi siano quindi forti aumenti locali di pressione, a livello macroscopico invece le superfici devono avere come minimo derivate seconde continue in modo tale da assicurare nella zona di contatto che la superficie abbia una curvatura monotona. […]