Approssimazione di equazioni iperboliche in una dimensione spaziale
Schemi di discretizzazione temporale
Vediamo ora come realizzare una approssimazione totalmente discreta dell’equazione (5.1).
Possiamo utilizzare l’approssimazione semi-discreta (o continua nel tempo) introdotta precedentemente, applicando alla derivata temporale una approssimazione con differenze finite. Ad esempio è possibile utilizzare il metodo di Eulero implicito, od anche il metodo di Crank-Nicolson, che sono incondizionatamente stabili, oppure il metodo di Eulero esplicito, che è soggetto alla condizione di stabilità ∆t = O(h). In effetti la limitazione del passo temporale non è particolarmente severa e permette di utilizzare spesso metodi espliciti per l’approssimazione di problemi iperbolici.
Un altro approccio, per realizzare la discretizzazione temporale, è basato sull’osservazione che, per i problemi iperbolici, le variabili spaziali e temporali, da un punto di vista matematico, giocano essenzialmente lo stesso ruolo. Gli schemi risultanti sono impliciti, e non sono soggetti a restrizioni di stabilità.
Un differente approccio, che è conosciuto come il metodo di Taylor-Galerkin, è usato spesso nelle computazioni pratiche. L’idea consiste nell’espandere la soluzione nel punto (tn, x) per mezzo della formula di Taylor nell’incremento temporale troncata al terzo ordine, usare l’equazione iperbolica per sostituire le derivate temporali con derivate spaziali, e, finalmente, utilizzare, per la discretizzazione spaziale, il metodo di Galerkin basato su elementi finiti lineari a tratti.
Vedremo come realizzare tali discretizzazioni dopo aver introdotto un altro tipo di metodi di approssimazione: i metodi a differenze finite.
Questo brano è tratto dalla tesi:
Approssimazione di equazioni iperboliche in una dimensione spaziale
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Informazioni tesi
| Autore: | Ivano Dorigatti |
| Tipo: | Laurea vecchio ordinamento (pre riforma del 1999) |
| Anno: | 1995-96 |
| Università: | Università degli Studi di Trento |
| Facoltà: | Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali |
| Corso: | Matematica |
| Relatore: | Alberto Valli |
| Lingua: | Italiano |
| Num. pagine: | 141 |
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