Processi di diffusione epidemici su grafi aleatori

In questo lavoro abbiamo studiato un fenomeno relativo alla diffusione di un’epidemia su un grafo. Il modello utilizzato per la diffusione dell’epidemia è un modello SIS stocastico, ovvero un modello Suscettibili -Infetti -Suscettibili; sotto questa ipotesi un individuo sano può essere infettato tramite il contatto con altri individui malati e la probabilità di essere infettato cresce con il numero di individui infetti con cui può avere contatti. D’altra parte, per un individuo infetto esiste sempre la possibilità di tornare sano senza però essere immunizzato, essendo così di nuovo esposto ad un contagio.

Si considera una popolazione finita, seppur molto grande, con n individui che interagiscono tra loro a livello di coppie. In particolare abbiamo utilizzato un modello markoviano di nascita e morte a tempo continuo. Il modello adottato prevede che, se a un dato istante tutti gli individui risultano essere sani, così sarà ad ogni tempo successivo. E quindi presente un unico stato assorbente corrispondente ad una popolazione costituita da soli individui sani. Risulta quindi interessante studiare se ed eventualmente in quanto tempo l’epidemia si muove verso lo stato assorbente, a partire da una certa condizione iniziale in cui sono presenti un certo numero di individui infetti.

Abbiamo dapprima studiato il caso di un grafo deterministico. Sono state fornite condizioni sufficienti, asintotiche rispetto al numero degli individui, per l’estinzione rapida (logaritmica nel numero di individui) o lenta (esponenziale nel numero di individui). In particolare se il raggio spettrale della matrice di adiacenza del grafo risulta essere definitivamente pi`u piccolo del-l’inverso del coefficiente di infezione (normalizzato), si ha estinzione rapida.

Se invece la costante isoperimetrica generalizzata del grafo risulta essere definitivamente maggiore della stessa soglia si ha estinzione lenta. Entrambi i parametri quantificano il grado di connettività del grafo. Infatti il raggio spettrale della matrice di adiacenza è compreso tra il valore minimo e il valore massimo del grado del generico nodo del grafo. La costante isoperimetrica ha valore massimo nel caso di un grafo completamente connesso.
Siamo passati poi a studiare le condizioni sufficienti per l’estinzione rapida e lenta nel caso di un grafo aleatorio.