Modelli Affini per il Pricing di Derivati

Brigo e Mercurio (2006) evidenziano come lo scarso fitting iniziale della struttura a termine dei tassi di interesse da parte del modello di Vasicek sia stata studiata da vari autori (tra cui: Hull e White - 1990; Ho e Lee - 1986). Ho e Lee (1986) sono stati i primi a proporre un modello esogeno per la struttura a termine, in contrasto con quei modelli che producono endogenamente la struttra corrente dei tassi. Sfortunatamente il modello di Ho - Lee e basato su ipotesi molto semplificate: lo short rate dovrebbe seguire un moto Browniano, che porta rapidamente rT a livelli negativi del tasso d'interesse.
Il loro modello e basato sull'assunzione che l'evoluzione dell'intera struttura a termine sia governata da un albero binomiale, mentre il suo limite, nel continuo, derivato da Dybvig (1988) e Jamshidian (1988), non può essere considerato una vera estensione del modello di Vasicek a causa della mancanza del fenomeno di mean reversion nella dinamica del tasso d'interesse.
La necessità di trovare un fitting esatto alla yield curve di mercato porta Hull e White all'introduzione di un parametro funzione del tempo nel modello di Vasicek. Va sottolineato che risolvere il problema di fitting della struttura di modello con
quella reale significa risolvere un sistema con un numero di equazioni infinito, una per ogni possibile scadenza. Tale sistema puo essere risolto in generale soltanto dopo averintrodotto un infinito numero di parameteri o, equivalentemente, una funzione deterministica del tempo.
Considerando un altro parametro dipendente dal tempo, Hull e White (1990) hanno proposto un modello ancor piu generale che riesce anche a considerare una data struttura a termine delle volatilità, anche se può essere in qualche modo pericoloso se applicato a situazioni concrete di mercato. Ecco perchè può essere conveniente estendere il modello di Vasicek inserendo un solo parametro che sia funzione deterministica del tempo.