Lifting e generazione di disuguaglianze per il politopo delle matrici “Consecutive Ones”

Nel capitolo precedente abbiamo specializzato la procedura di lifting sequenziale al politopo delle matrici consecutive ones; in particolare abbiamo adottato un approccio basato su grafi nel calcolo dei coefficienti da aggiungere alla disequazione di partenza. Applicando poi la procedura ad una istanza particolare ci si è posto come obiettivo quello di riconoscere alcune caratteristiche generali del grafo associato alla configurazione di partenza, da mettere in relazione con le scelte da adottare nell’applicazione del lifting sequenziale inerenti:

a) l’inizializzazione della procedura con una disuguaglianza valida per la sezione di partenza;
b) la definizione della sequenza di lifting con un ordinamento degli indici relativi ai coefficienti da fissare.

Nell’analisi del primo dei due problemi si è cercato di individuare proprietà caratteristiche delle disuguaglianze di partenza che definiscono faccette per la sezione iniziale. In particolare si è dimostrato un criterio algebrico sui coefficienti fissati che vale se la disuguaglianza di partenza definisce una faccetta: tale condizione necessaria permette in generale di escludere disequazioni che non inducono faccette per le sezioni iniziali.

Una volta fissata la disuguaglianza di partenza rimane la seconda possibilità di scelta offerta dal lifting sequenziale, ovvero in che ordine fissare i vari coefficienti che vengono calcolati dalle iterazioni della procedura. Nell’esempio in 4.1.2 sono stati svolti i calcoli dei coefficienti scegliendo tre possibili ordinamenti, e si è notato anzitutto che i coefficienti hanno assunto solo alcuni possibili valori interi: vedremo in questo capitolo come, sotto specifiche condizioni, siano limitati i possibili valori che possono assumere i coefficienti nel lifting sequenziale per il politopo delle matrici consecutive ones.

Un’altra osservazione interessante è che per tutte e tre le sequenze analizzate la disequazione restituita dal processo di lifting coincide con una disuguaglianza ottenibile tramite una delle procedure note presentate al Capitolo 3. Il risultato centrale di questo capitolo, sarà proprio dimostrare come le procedure generali 3 e 4 per opportune configurazioni di partenza siano dei lifting sequenziali, utilizzanti sequenze aventi determinate caratteristiche comuni.

Come vedremo nello specifico, tale fatto è conseguenza delle configurazioni di partenza su cui si applicano le procedure, in particolare delle proprietà degli archi nei grafi bipartiti associati a tali configurazioni. Da tale identificazione fra procedure e lifting, nei casi specificati, si potranno ricavare in maniera diretta alcune ulteriori proprietà riguardanti le disequazioni (3.13) e (3.16) risultanti dalle procedure: si vedrà che le (3.13) sono in realtà casi particolari delle (3.16), si garantirà la validità e si otterrano dei lower bound alle dimensioni delle facce indotte sul politopo delle matrici consecutive ones.