Analisi delle componenti principali: teoria e applicazione alla matrice di correlazione di N asset

Inoltre, se, a causa della particolare unità di misura utilizzata, alcune variabili di X manifestano elevata varianza, queste tendono ad avere un forte peso nella determinazione delle componenti principali. Al fine di evitare che tali caratteristiche influenzino negativamente l’analisi, è opportuno procedere alla standardizzazione delle variabili. Infatti, le variabili standardizzate sono invarianti rispetto a trasformazioni lineari dei dati, consentendo un’analisi indipendente rispetto all’unità di misura.

Si definisce la matrice Z delle variabili standardizzate come: (1.7.1) Z = X (S 2 )−1

Dove X è la matrice dei dati osservati centrata (per cui E(X) = 0) e S è la matrice di varianza-covarianza di X. Si noti che: E(Z) = 0 e V ar(Z) = ρ, in cui ρ è la matrice di correlazione di X; segue che: traccia(ρ) = p. Le componenti principali calcolate attraverso ρ in generale sono diverse rispetto a quelle calcolate attraverso S; inoltre, anche la frazione di varianza spiegata da ciascuna componente differisce nei due casi: ciò è dovuto alla differenza tra autovalori e autovettori delle matrici ρ e S.

La matrice ρ è insensibile alle differenti unità di scala delle variabili e perciò rappresenta la scelta giusta quando si effettuano studi caratterizzati dalla presenza di molteplici unità di misura.