Modelli a volatilità stocastica per il prezzaggio delle opzioni call europee

Poiché da studi presenti in letteratura è stato evidenziato che l’introduzione del tasso di interesse stocastico non migliora in maniera significativa la performance del modello con volatilità stocastica, si è deciso di implementare il modello SV-J.

Tale realizzazione, va notato, è del tutto generica: infatti, come accennato in precedenza, il modello presenta diversi parametri che di volta in volta andranno ottimizzati in base ai dati a disposizione. Esso, per così dire, dovrà essere “calato” nel mercato che si intende studiare mediante un “fine tuning” dei parametri.

Inoltre, il modello è stato costruito mediante simulazioni Montecarlo: ciò, se da un lato comporta tempi di calcolo maggiori rispetto alla soluzione numerica delle formule analitiche, dall’altra parte permette di implementare modelli più generali che possono non avere una soluzione analitica. Infatti molte obbligazioni strutturate prevedono delle componenti d’opzione di tipo esotico, con una struttura che a volte può essere anche molto complessa. Purtroppo, in questi casi raramente si hanno a disposizione delle formule di valutazione analitiche. In molti casi, perciò, occorre cercare di utilizzare una procedura di valutazione numerica. Una tecnica che può essere spesso utilmente impiegata a tale scopo, soprattutto se le opzioni sono di tipo europeo, è proprio la simulazione Monte Carlo. Questa è una tecnica generale che può essere adottata per valutare opzioni europee con caratteristiche anche molto differenti.
Uno degli svantaggi delle procedure di simulazione, tuttavia, è che questi algoritmi richiedono generalmente un notevole dispendio di tempo macchina su un calcolatore per fornire una stima del prezzo dell’opzione sufficientemente accurata. Infatti abbiamo visto con il modello di BS (Black e Scholes) che, utilizzando un numero opportuno di esperimenti probabilistici virtuali (>50.000) il prezzo della Call ottenuto col metodo Montecarlo è significativamente compatibile con il valore calcolato per via analitica.
Per ottenere processi adatti all’implementazione Montecarlo, si è dovuto innanzitutto discretizzare le equazioni del sistema del modello SV-J.