Studio della convezione naturale in un fluido viscoelastico

Il metodo numerico utilizzato per risolvere il problema analizzato in questa tesi è basato sul codice di Lundblandh et al, creato per effettuare la simulazione numerica diretta di flussi turbolenti o in transizione nella geometria del canale.
Questo codice è stato modificato per permettere la soluzione delle equazioni della convezione di Rayleigh-Benard turbolenta e completato attraverso l'implementazione del modello FENE-P, per la simulazione della reazione dei polimeri nel flusso. Si utilizzano i metodi spettrali di Galerkin, che, come spiegato nel capitolo 1, forniscono la tecnica pi`u accurata per questo tipo di problema, con rappresentazione nello spazio di Fourier nelle direzioni di omogeneità x e y, per le quali si possono considerare condizioni al contorno periodiche e griglie uniformi; nella direzione di non omogeneità z, si utilizza, invece, una rappresentazione nello spazio di Chebyshev.
L'utilizzo della rappresentazione spettrale, offre il vantaggio di poter isolare l'errore dovuto alla modellazione dall'errore numerico, essendo quest'ultimo praticamente nullo, per l'elevata accuratezza di questi metodi; si ha, quindi, la possibilità di verificare con certezza le qualità della modellazione utilizzata.
L'integrazione temporale è effettuata con lo schema di Crank-Nicholson implicito, per i termini lineari viscosi, cioè quelli che impongono le maggiori limitazioni sul passo temporale, e di Runge-Kutta a 4 stadi low storage al terzo ordine di accuratezza, esplicito, per il termine non lineare e per quello dissipativo. Per la soluzione dei campi di velocità si fa uso della formulazione velocità-vorticità, poiche tutte le componenti dei vettori velocità e vorticità sono definite dalla condizione di incomprimibilità e dalla definizione di vorticità normale; la pressione, invece, viene eliminata dalle incognite ed espressa in funzione delle velocità, essendo solo un vincolo cinematico.