Ottimizzazione dell'Orario Universitario

Il metodo del Branch and Bound, introdotto agli inizi degli anni ’60, fa parte delle famigli dei metodi di enumerazione implicita, caratterizzabili generalmente da un schema ad albero, che conserva la traccia dell’enumerazione, e da una procedura di valutazione del nodo che mira a evidenziare quei rami che non potranno mai condurre alla soluzione ottima cercata. In questo modo si evita l’enumerazione esplicita di tutte le soluzioni.
Se si considera un problema di minimo P0. Il metodo opera nel seguente modo: si partiziona (branch) l’insieme E0 delle soluzioni ammissibili del problema iniziale P0 in sottoinsiemi E1,E2,..., via via pi`u ristretti. Per ognuno dei sottoinsiemi viene calcolato un limite inferiore (lower bound), per esempio con il rilassamento continuo, del valore ottimo della funzione obiettivo. Quei sottoinsiemi di soluzioni ammissibili per i quali il valore del limite sia non migliore del valore di funzione obiettivo di qualche soluzione ammissibile e nota x* di P0 sono esclusi da ulteriori partizioni. La procedura si arresta quando la migliore soluzione x* disponibile fino al quel momento ha un valore di funzione obiettivo non peggiore del bound calcolato per ogni sottoinsieme.

Un altro approccio molto diffuso, alternativo all’enumerazione implicita, è quello poliedrale. Dato il modello di PLI del problema di ottimizzazione considerato, ad esso è automaticamente associato un problema facile: quello che si ottiene con il rilassamento continuo,ossia eliminando il vincolo di integrità delle variabili. Ogni passo di questa tecnica comincia con la risoluzione del problema corrente in rilassamento continuo. Se la soluzione trovata ad un generico passo è continua, allora la soluzione è ottima anche per il problema originale a variabili intere. In caso contrario il metodo prosegue generando dei piani di taglio, ovvero nuove disequazioni da aggiungere al problema rilassato che devono rendere inammissibile la soluzione corrente e non scartare alcuna delle soluzioni del problema originale. Nel caso sia difficile, o molto costoso dal punto di vista computazionale trovare i piani di tagli, questa tecnica può essere ibridata con il metodo del branch and bound, dando origine a metodi già citati precedentemente come metodi di branch and cut.