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FFT è l’acronimo di Fast Fourier Transform, utilizzato per indicare gli algoritmi che implementano la trasformata di Fourier ottimizzata. Nei sistemi digitali la trasformata prende in ingresso un numero finito di campioni nell’ordine di 2n. Viene anche indicata come DFT (Discret Fourier Transform). Ai fini pratici non si ha quasi mai una funzione F(t) da cui calcolare la trasformata, ma direttamente il segnale generato, ad esempio l’onda sonora di una canzone o il segnale ricevuto dall’antenna terrestre della tv, per cui si prendono dal segnale in analisi dei campioni che ne compongono la funzione generatrice.Nella pratica volendo calcolare la trasformata di Fourier di un segnale non periodico, possiamo analizzare solo un numero finito di campioni di questo segnale. Se ad esempio volessimo analizzare un segnale della durata T, dovremmo scegliere un intervallo di campionamento DeltaX da cui prendere i valori da passare alla trasformata, supponiamo 0,1 secondi. Se DeltaX è il passo di campionamento, allora il periodo minimo che si può analizzare e due volte questo e il suo inverso corrisponde alla frequenza massima analizzabile (1/0,2 = 5 Hz) mentre i risultati della trasformata saranno multipli della frequenza massima divisa per la quantità di risultati ottenuti.La FFT nella sua notazione standard prende in input dei valori reali nell’ordine di 2n e ritorna valori complessi per la metà dei campioni. Ad ogni valore complesso restituito dalla FFT corrisponde una determinata frequenza. Se ad esempio vengono passati in input 128 valori presi con un tempo di campionamento di 100 millesimi di secondo tra un campione e l’altro, la frequenza massima sarà (1/0,2 = 5Hz) e i valori restituiti saranno 64, dove ogni numero complesso rappresenterà l’energia contenuta in una frequenza multipla di 0,078Hz (5/64), il primo valore rappresenterà la frequenza di 0,078Hz, il secondo di 0,146Hz e così via fino a 5Hz.Per la verità si potrebbero considerare anche le frequenze opposte (negative) ottenendo il doppio dei risultati, ma quest’altra porzione di risultati è simmetrica alla prima. Tuttavia quest’altra porzione può essere usata in alcune varianti di trasformata che prevedono due funzioni in ingresso anziché una (rappresentanti due componenti di uno stesso segnale), in questo modo si distingue anche il senso di rotazione delle sinusoidi dei segnali (Un caso in cui è necessaria questa particolarità è la risonanza magnetica). Alcune varianti quindi possono prendere in input anche valori complessi o fare la trasformata in 2 o 3 dimensioni.Naturalmente maggiori sono i campioni presi, maggiori saranno le frequenze analizzabili. Minore è l’intervallo di tempo tra un campione e l’altro, più precisa sarà la rappresentazione delle frequenze. Si potrebbe paragonare il campionamento dei valori della funzione di origine (la funzione integrante diciamo) alla sua interpolazione. Immaginiamo una serie di sinusoidi che si ripetono nel tempo, se prendiamo i campioni molto distanti nel tempo l’uno dall’altro, i valori ottenuti non rispecchierebbero bene la funzione di origine, ad esempio il primo valore potrebbe corrispondere a 0 e il secondo potrebbe saltare uno o più picchi, ottenendo che il risultato della trasformata indicherebbe valori delle frequenze che in realtà appartengono a una funzione mal interpolata. Posiamo comprendere anche perché la trasformata ritorna la metà dei valori campionati, cioè quando il segnale viene scomposto per costruirne altri periodici, caratterizzati da determinate frequenze (Cap. 3.2 Serie di Fourier), per rappresentare ogni frequenza sono necessari almeno 2 punti di grafitazione (cioè un picco). Per questi motivi è importante scegliere bene la velocità di campionamento e la quantità di campioni da usare ovvero il tempo di campionamento. Nella versione più conosciuta, la FFT viene eseguita in 2 parti, nella prima parte avviene un bit-reversal dei dati contenuti nell’array di input, in questo modo si semplifica la seconda parte del processo in cui viene eseguito il Danielson-Lanczos algorithm che effettua in pratica la trasformata.