Le copule: una misura della dipendenza tra variabili aleatorie

Come sottolineato, le copule svolgono un ruolo importante nella costruzione di funzioni di distribuzione mulrivariate e, di conseguenza, avere a propria disposizione una serie di copule può essere molto utile per la costruzione di modelli stocastici che hanno caratteristiche differenti. Pertanto, molte indagini sono state svolte in materia di costruzione di diverse famiglie di copule e loro proprietà. Qui, vi presentiamo solo alcuni di essi, concentrandoci sulle famiglie che sembrano essere più conosciute ed usate. Le classi di copule che tratteremo si distinguono principalmente in copule ellittiche e non ellittiche e per le seconde, in particolare, definiremo le copule archimediee. La classe delle copule ellittiche forniscono molte distribuzioni multivariate, fra queste definiremo la copula di Farlie Gumbel Morgenster, la Gaussiana e la T-student. Queste copule, in quanto simmetriche, hanno il difetto di non modellare bene i valori estremi delle distribuzioni multivariate.
Analizzeremo inoltre la distribuzione bivariata di Marshall-Olkin, le copule empiriche e le copule con due parametri di dipendenza. Le copule archimediee, invece, trattano meglio il problema dell'asimmetria delle code che si presenta spesso nelle applicazioni pratiche. In seguito tratteremo, per questa classe di copule la Clayton, la Franck e la Gumbel copula. Prima di presentare questi esempi, vorremmo brevemente discutere l'uso di queste famiglie per le procedure di costruzione della copula. Per molti ricercatori e professionisti sembra abbastanza adattarsi con la famiglia più conveniente e verificare che la procedura non è così cattiva. Tuttavia, dovrebbe essere sottolineato che qualsiasi procedura può essere fuorviante se si dovesse descrivere ogni situazione con le famiglie di copule e soddisfare alcune assunzioni inutili. Prima di applicare qualsiasi strumento statistico, non si deve dimenticare di analizzare le principali caratteristiche del modello in esame.

Allo stesso tempo, si dovrebbe avere ben presente l'output finale dell'inchiesta. Di solito, infatti, l'uso di una copula ad alcuni dati è solo un strumento per ricavare alcune quantità di interesse per il problema in esame (per esempio, VaR di un portafoglio, periodo di ritorno di un evento estremo, ecc.). Per questi problemi si può avere una drammatica sottovalutazione del rischio quando si cerca di adoperare copule che non presentano alcun comportamento particolare nelle code. Prima di analizzare le famiglie discutiamo alcune caratteristiche generali che una buona famiglia di copule multivariate dovrebbe avere per essere considerata interessante in applicazioni statistiche:

- Interpretabilità: I membri della famiglia dovrebbero avere qualche interpretazione probabilistica suggerendo situazioni in cui questa famiglia possa essere considerata.

- Flessibilità e vasta gamma di dipendenza: I membri della famiglia dovrebbero descrivere diversi tipi di dipendenza, compresa l'indipendenza e la copula prodotto o uno dei limiti Fréchet-Hoeffding (forse, come un caso limite rispetto al parametro).

- Facile da maneggiare: I membri della famiglia dovrebbero essere espressi in una forma chiusa o, almeno, dovrebbero essere facilmente simulati per mezzo di qualche algoritmo noto. Si noti, infatti, che diverse procedure di bontà di adattamento si basano sul fatto che la famiglia può facilmente essere un campionamento.

Da un lato, le proprietà di cui sopra sono intenzionalmente fornite in modo molto restrittivo, d'altra parte, si dovrebbe ritenere che questi sono campi nuovi studiati più per la loro eleganza matematica che per una applicazione pratica. Si tratta di una mia opinione che in futuro più attenzione dovrebbe essere dedicata a quest'ultimo aspetto.