Luci e ombre sulle coniche

L'ultima tecnica per costruire le coniche non prevedeva l'utilizzo di macchine e il lavoro di gruppo, ma un lavoro individuale: ad ogni studente e' stato chiesto di disegnare una circonferenza e un punto all'interno. Il passo successivo consisteva nell'eseguire tante piegature, portando un punto della circonferenza a coincidere
con il punto disegnato in precedenza. Si venivano a creare tante rette che, intuitivamente, risultavano essere tangenti ad un'ellisse. Piu' piegature venivano fatte piu' facilmente si aveva tale intuizione. In generale tutti si sono accorti che la conica risultante era un'ellisse.
A questo punto gli studenti sono stati invitati a dimostrare di aver ottenuto e ettivamente un'ellisse. Lo sviluppo della conica in questa maniera non canonica ha creato qualche di colta': in entrambe le classi si e' capito facilmente che i due fuochi dell'ellisse fossero il centro e il punto all'interno della circon-
ferenza, ma riuscire a provare che la somma di due segmenti fosse costante e' risultato un ostacolo complicato. Infatti, mentre nelle precedenti esperienze si evidenziavano subito con facilita' i punti e i segmenti che si venivano a formare e permettevano di dimostrare quanto voluto, stavolta tali entita' non erano cosi' semplici da individuare.
Dopo alcuni suggerimenti per la partenza, sono riusciti a farcela autonomamente:
Dimostrazione. Sia P il punto interno alla circonferenza; sia B il punto appartenente alla circonferenza. Piegando il foglio in modo tale che B vada a coincidere con P si crea una retta. Tale retta e' l'asse del segmento BP e risulta essere tangente, per costruzione, all'ellisse. Sia H il punto medio del segmento BP; naturalmente H appartiene all'asse.Sia K il punto in cui il raggio OB interseca l'asse. Si puo' allora a
ermare che i due triangoli HPK e BHK sono uguali, avendo due lati uguali (HK e' in comune, inoltre BH=HP) e l'angolo tra di essi compreso uguale.
Da cui OK+KP=OK+KB=raggio del cerchio. Per cui la quantita' OK+KP rimane costante, il che ci permette di a ermare che abbiamo ottenuto un'ellisse.