Modellazione multibody e analisi dinamica di motori monocilindrici

Come già detto, il metodo agli elementi finiti è un metodo numerico che consente la risoluzione approssimata di problemi di interesse ingegneristico. Bisogna a questo punto sottolineare che la soluzione che si può ottenere con il FEM non è univoca, essendo arbitraria la discretizzazione che si effettua sul continuo.

Affinché la formulazione numerica adottata sia accettabile, è fondamentale usare elementi finiti che garantiscano la convergenza verso la soluzione esatta del problema. Ciò significa che l’elemento usato deve essere tale che all’aumentare del numero di elementi con i quali si suddivide il continuo, la soluzione numerica ottenuta tenda asintoticamente verso la soluzione esatta.

I due aspetti principali che bisogna tenere presente sono la precisione dei risultati ed il tempo di calcolo impiegato. I fattori che influenzano la precisione sono la scelta delle funzioni di forma, il tipo di maglia e la schematizzazione dei carichi e delle condizioni al contorno. Inoltre, bisogna tenere in considerazione tutti gli errori che nascono ogni qualvolta si eseguono operazioni numeriche con il calcolatore (errori di arrotondamento e/o troncamento).
In generale la velocità di convergenza cresce aumentando il grado del polinomio, mentre in ogni caso peggiora aumentando l’ordine delle derivate. È chiaro che l’ordine dell’errore può essere ridotto e la convergenza resa più rapida usando polinomi di grado più elevato e quindi elementi più complessi.

Ne derivano due importanti considerazioni sulle le funzioni di forma, le quali devono:
1. rappresentare almeno stati di deformazioni costante; ciò significa che quanto più piccoli sono gli elementi in cui si suddivide la struttura, cioè quanto più tali elementi si avvicinano a una dimensione infinitesima, tanto più la deformazione in essi deve tendere ad un valore costante puntuale pari al valore esatto;
2. rappresentare moti di corpo rigido, in modo tale che se l’elemento trasla o ruota rigidamente, non ci siano deformazioni.

Gli elementi che soddisfano queste condizioni, note come condizioni di completezza, vengono appunto detti completi.
Un’altra condizione nasce osservando che lungo il contorno degli elementi, affinché si possa effettuare l’assemblaggio, è necessario che non ci siano gaps (nel caso di gdl traslazionali) o cuspidi (nel caso di gdl rotazionali). Ciò si traduce matematicamente nel fatto che le funzioni di forma devono essere continue sia nell’interno dell’elemento, sia sul contorno fino alla derivata di ordine n −1 compresa, se n è l’ordine delle derivate che compaiono nel funzionale, così che nel passaggio da un elemento a quelli adiacenti la funzione incognita rimanga sempre continua con tutte le sue derivate fino all’ordine n −1 e solo la derivata nesima può subire una discontinuità finita.

Quest’ultima condizione è detta di compatibilità ed è una condizione sufficiente ma non necessaria.
In genere le due condizioni di compatibilità e completezza sono dette condizioni di conformità, la convergenza è garantita solo nel caso di elementi conformi ma è possibile anche con elementi solo completi.