Modelli per i mercati finanziari ed arbitraggio

L’elaborato si è proposto l’analisi della cosiddetta Teoria dell’Arbitraggio, introdotta attraverso lo studio di alcuni modelli per i mercati finanziari, con lo scopo anche di considerare le sue applicazioni ai problemi di pricing dei cosiddetti titoli derivati e di costruzione delle strategie di copertura per il rischio assunto con gli investimenti che ne conseguono. Proprio per l’importanza delle applicazioni della Teoria dell’Arbitraggio ai derivati, tali asset – ed in particolare le opzioni – sono ampiamente utilizzati nella formalizzazione di quasi tutti i modelli presenti nell’elaborato.
Più in dettaglio, nel primo capitolo vengono formalizzati alcuni modelli di mercati finanziari, costruiti appunto su istanti discreti. Per primo, viene studiato il Modello Binomiale ad un Passo, nell’ambito del quale viene introdotta una (misura di) probabilità, detta neutrale al rischio, utile per l’attribuzione del valore ad una strategia finanziaria che “replichi” un dato titolo derivato. Si prosegue con l’individuazione di portafogli per la gestione dell’investimento che siano prevedibili, autofinanzianti ed ammissibili, per poi introdurre la Teoria delle Martingale ed il concetto di mercato finanziario percorribile, il che conduce all’enunciazione ed alla dimostrazione del Primo Teorema Fondamentale dell’Asset Pricing.
Successivamente, si formalizza il concetto di completezza del mercato e - con i relativi enunciato e dimostrazione - si presenta il Secondo Teorema Fondamentale dell’Asset Pricing. In conclusione del capitolo in esame, si estende il modello binomiale ad un passo ad un contesto multiperiodale, dando luogo a quello di Cox-Ross-Rubinstein.
Nel secondo capitolo, si verifica l’estensibilità dei risultati ottenuti nei modelli discreti, portandoli sul continuo.Tale parte del lavoro è incentrata inizialmente sullo studio di un esempio importante di processo stocastico in tempo continuo, il moto Browniano. In effetti, in tale ambito, viene riportato il contributo dato da Kiyoshi Itô, che ha esteso gli strumenti nel calcolo stocastico con la formula che gli deve il nome. Il risultato più importante, la formula di Itô, è introdotta sia nella sua versione “standard” che in quella multidimensionale.
La tesi prosegue, poi, con l’analisi delle equazioni differenziali stocastiche le cui soluzioni sono studiate attraverso la proprietà di Markov e, più esplicitamente, considerando un altro esempio rilevante di processo stocastico di Itô: il moto Browniano Geometrico.
Il terzo capitolo propone, inizialmente, un modello di calcolo del prezzo delle opzioni, elaborato da L. Bachelier, per poi incentrarsi sullo studio del – ben più famoso – modello di Black&Scholes, che conduce ad una formula esplicita per il prezzo di una Call e di una Put europee.
E’ anche opportuno evidenziare che la formula ottenuta dipende da alcuni parametri di cui uno solo non è direttamente osservabile sul mercato: quello noto in letteratura come “volatilità”. Di tale grandezza, si discute ampiamente nell’ultima parte del capitolo considerato, tramite la specifica delle metodologie utilizzate e le misure standard: le cosiddette greche.
Nel quarto capitolo, infine, si fa riferimento al Principio di Arbitraggio in generale e, in particolar modo, alle sue implicazioni più estese. Il Teorema Fondamentale dell’Asset Pricing è qui rivisitato in una versione “ampliata” – pur se meno specifica. La condizione di Assenza di Opportunità di Arbitraggio, infatti, si dimostra essere equivalente sia all’esistenza di una legge lineare e positiva dei prezzi che, ancora, all’asserzione che per tutti gli investitori debba valere il principio “the more, the better”. In particolare, per quest’ultima equivalenza, viene riportata nella dimostrazione un’intuizione originale, messa al momento sotto forma di semplice osservazione, che valuta la presenza di un’eventuale strategia non-ottimale in termini di rischio-rendimento.
In seguito, il discorso è focalizzato sull’arbitraggio nell’Economia Finanziaria, al fine di spiegare in tale contesto il ruolo dei prezzi di non-arbitraggio. Viene individuata una classe di strategie finanziarie: quella dell’Arbitraggio Dinamico.