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CAPITOLO 1
SOLLECITAZIONI DI TIP O RANDOM
1.1 Introduzione
In questa parte si esamineranno brevemente le metodologie che si adottano per
passare dallo spettro di carico random associato ad un fenomeno fisico allo spettro di
carico che poi deve essere utilizzato in laboratorio per prevedere la durata a fatica di un
componente meccanico, nel caso specifico i giunti saldati.
1.2 Cenni sulla acquisizione dei dati di tipo random
Diamo ora un breve cenno alla metodologia per l’acquisizione di un segnale di tipo
casuale che può essere, ad esempio, il rilevamento tramite trasduttori dell’azione del vento
su un ponte o la registrazione del moto ondoso per individuare le sollecitazioni che
possono interessare una struttura offshore o una nave.
Il primo passo da compiere è quello di scegliere gli opportuni sensori o trasduttori
per l’acquisizione dei dati. Naturalmente la scelta del trasduttore, o più genericamente tutta
la strumentazione di acquisizione, è importante per assicurare l’attendibilità dei risultati e
soprattutto per ridurre gli errori della cat na di misura.
Come è noto[1], l’elaborazione dei segnali è fatta mediante l’uso di computer e ciò
vuol dire che la rappresentazione di un fenomeno fisico è fatta sulla base di un numero
discreto di dati: quindi il primo passo da compiere è passare da un processo continuo ad
una serie di valori.
La procedura per arrivare, da un segnale analogico, ad uno digitale consiste
principalmente di 4 fasi:
1.La fase di pre-elaborazione, nella quale il segnale proveniente dal trasduttore viene
posto in una forma, in genere una tensione, compatibile con l’ingresso del
convertitore A/D. Inoltre in questa fase si provvede ad amplificare opportunamente
il segnale dal trasduttore, che restituisce un segnale in tensione o in corrente.
2.Filtraggio del segnale, allo scopo di eliminare le componenti di disturbo (ad
esempio la tensione di rete) mediante filtri passa-basso, p ssa-alto e passa-b nda.
Inoltre si esegue il filtraggio anti-aliasing per evitare eventuali errori (di alias
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appunto) durante la conversione A/D.
3.Il segnale (ancora di tipo analogico) viene ora inviato al circuito convertitore A/D,
dove la frequenza di acquisizione deve essere scelta opportunamente, in accordo
con il teorema di Shannon sul campionamento.
4.L’ultima fase è quella di registrazione dei dati così ottenuti su carta o su supporto
magnetico in modo tale da poter essere successivamente elaborati. Si osserva che i
dati sono in numero discreto cioè il segnale, prima dell’elaborazione, è
rappresentato da un numero finito di campioni.
Alla fine del processo di acquisizione si è passati da un ingresso continuo nel
dominio del tempo ad un numero finito di campioni rilevati.
1.3 Analisi spettrale
I segnali reali sono caratterizzati dal fatto di essere di tipo random, quindi per la loro
analisi si deve fare riferimento agli operatori matematici che derivano dall’analisi delle
probabilità e dall’uso di metodi statistici. Il segnale che si vuole analizzare è quindi oltre
che aleatorio di tipo discreto, cioè all’uscita della catena di acquisizione si ottiene una
sequenza di dati non di tipo deterministico.
È noto che se si considera una funzione continua e periodica essa può essere
rappresentata come combinazione lineare di un certo numero di funzioni trigonometriche.
Il fatto di considerare una funzione periodica non significa che le funzioni non periodiche
non possano essere sviluppate in serie. In particolare è sempre vero che una funzione non
periodica f(t) definita in un intervallo (0, T) può essere espansa in serie di Fourier definita
solo nell’intervallo (0, T). Si ha quindi che qualsiasi funzione continua può essere vista
come somma di n (n è finito se la funzione è periodica, infinito se la funzione è di tipo
quasi periodico) funzioni sinusoidali. In particolare, perché una funzione sia sviluppabile
in serie di Fourier deve rispettare le cosiddette condizioni di Dirichlet:
• la funzione periodica deve essere o continua o avere un numero di discontinuità finite
nel periodo (ad es. la funzione a dente di sega è continua secondo questa definizione);
• la funzione deve contenere un numero finito di massimi e minimi nel periodo;
• la funzione deve essere assolutamente sommabile nel periodo, cioè deve risultare
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∞<∫
T
0
dt)t(f
Si ha allora lo sviluppo in serie di Fourier:
∑
∞
=
pi
+
pi
+=
1r
rr
0
T
rt2
sinb
T
rt2
cosa
2
a
f(t) [1.1]
dove si ricorda che le costanti a0, ar e br sono i coefficienti di Fourier e valgono
∫
∫
∫
=
pi
=
pi
=
T
0
0
T
0
r
T
0
r
dt)t(f
T
2
a
dt
T
r2
sin)t(f
T
2
b
dt
T
r2
cos)t(f
T
2
a
[1.2]
Alternativamente a questa forma, la serie di Fourier può essere espressa in forma
complessa sfruttando la notazione di Eulero per la rappresentazione nel piano complesso di
funzioni trigonometriche:
∑
+∞
−∞=
pi=
r
T/rt2j
r
ec)t(f [1.3]
con
∫
pi−=
T
0
T/rt2j
r
dte)t(f
T
1
c [1.4]
Se ci riferiamo allora a questa notazione complessa dello sviluppo, allora una
rappresentazione grafica di |cr| in funzione della frequenza (o, che è lo stesso, in funzione
di ω) è chiamato spettro di ampiezza, mentre una rappresentazione di arg(cr) in funzione
della frequenza (ω) è detto spettro di fase. Una particolarità della trasformata di Fourier è
che, se il segnale nel dominio del tempo è continuo, la rappresentazione nel dominio della
frequenza è una funzione discreta e viceversa.
Estendiamo ora al caso di segnali non periodici. In questo caso si passa dalla serie
all’integrale di Fourier, cioè da una somma discreta di te mini ad una somma continua.
Anche nel caso di funzione non periodica possiamo estendere le condizioni di Dirichlet:
• la funzione deve essere continua o avere un numero di discontinuità finite in tutto il
campo reale (-∞, +∞);
• la funzione deve contener un numero finito di massimi e minimi in tutto il campo
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(-∞, +∞);
• la funzione deve essere assolutamente sommabile nell’intervallo (-∞, +∞), ci è
deve risultare
∞<∫
+∞
∞−
dt)t(x
Si ha quindi che
∫
∫
∞+
∞−
pi−
+∞
∞−
pi
=
=
dte)t(x)f(X
dte)f(X)t(x
ft2j
ft2j
che permettono di passare dal dominio del tempo al dominio della frequenza.
1.4 La Fast Fourier Transformed (FFT)
Abbiamo visto che per segnali continui si fa uso della serie o dell’integrale di
Fourier. Consideriamo ora in ingresso un segnale di tipo digitale e calcoliamo i termini
della serie:
∫
pi−=
T
0
T/rt2j
r
dte)t(x
T
1
c
dove T è il periodo del segnale. Se x(t) è un segnale discreto allora si avrà un segnale del
tipo:
xn∆, con n=0, 1, 2,…, N-1
cioè composto da N campioni. Si passa allora dall’integrale alla sommatoria:
N
X
ex
N
1
ex
T
1
c
k
1N
0n
N/kn2j
n
1N
0n
T/kn2j
nk
=
==
=∆⋅=
∑
∑
−
=
pi−
∆
−
=
∆pi−
∆
dove Xk è la trasformata di Fourier discreta (o Discrete Fourier Transformed, DFT).
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Se il numero di campioni N è pari a 2M, con M intero, allora si parla di F st Fourier
Transformed (FFT), che viene applicata nelle elaborazioni tramite computer. Infatti si
potrebbe dimostrare, [1], che la FFT è più facilmente risolvibile ed implementabile su PC.
La FFT gode della proprietà di essere periodica di periodo rN (r numero intero ed N
numero di campioni) quindi se, in un periodo, si acquisiscono più campioni aumenta il
campo di definizione nel dominio della frequenza. Un esempio di applicazione della FFT è
illustrato in (fig. 1.1). Si nota che se aumenta il numero di campioni, allora aumenta della
stessa quantità l’intervallo di definizione della funzione nel dominio della frequenza.
0.0001
0.001
0.01
0.1
0 10 20 30 40 50
Am
pli
tu
de
Frequency [Hz]
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Am
pli
tu
de
Time [s]
0.00001
0.0001
0.001
0.01
0.1
0 1 2 3 4 5
Am
pli
tu
de
Frequency [Hz]
Funzione RECT definita nell’intervallo
[-10,20]
FFT della funzione RECT campionata
considerando ∆=0,1 s.
FFT della funzione RECT campionata
considerando ∆=0,01 s.
(fig. 1.1) – FFT di un impulso di durata finita (funzione RECT).
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1.5 Risposta di un sistema ad una sollecitazione esterna
Occorre fare distinzione tra carico agente sulla generica struttura e sollecitazione
nella struttura. Consideriamo il semplice esempio[2] di una massa m collegata alla molla di
costante elastica k e soggetta ad uno smorzamento di tipo viscoso e soggetta ad una forza
esterna ad andamento sinusoidale. È noto che
l’equazione del moto è un’equazione differenziale
del 2° ordine lineare non omogenea a coefficienti
costanti, che è riportata sotto per completezza:
tsenm
Q
xm
k
xm
r
x Ω=++ &&&
e la cui soluzione, per smorzamento minore dello
smorzamento critico, è la sovrapposizione di una
oscillazione smorzata, di ampiezza decrescente nel
tempo, e di una oscillazione, forzata, di ampiezza
costante, pulsazione pari alla pulsazione della forza
eccitante e fase in genere diversa dalla fase della
forzante. Si ricorda che sia la fase che l’ampiezza
della sinusoide in uscita (coefficiente di
amplificazione dinamica), a regime, cioè dopo il
transitorio, sono entrambi funzione del rapporto tra
la pulsazione della forza eccitatrice e la pulsazione
naturale del sistema. Se la pulsazione della forza
eccitatrice è pari alla pulsazione propria allora si dice che si è in condizioni di risonanza.
In (fig. 1.3) sono riportati gli andamenti indicativi della sollecitazione in ingresso e di
quella in uscita (proporzionale alla derivata seconda degli spostamenti) a cui è soggetta la
massa nel caso in esame.
Nella vita utile di un qualsiasi componente meccanico però le sollecitazioni non
hanno un andamento sinusoidale monoassiale di ampiezza costante né, tanto meno, il
sistema può essere sempre ricondotto al caso di una massa puntuale.
Si comprende allora la difficoltà che ha il progettista: 1) nell’individuare la
sollecitazione agente; 2) determinare la tensione nel materiale metallico.
Q sen Ωt
m
r
k
(fig. 1.2) – Semplice esempio di un
sistema massa-molla-
smorzatore.
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Sollecitazione sinusoidale di ampiezza costante
(input)
Tempo
A
mp
iez
za
Andamento della sollecitazione a cui è sotoposta la massa m
(output)
Tempo
Am
pie
zz
a
(fig. 1.3) – Andamento schematico della sollecitazione in ingresso e della corrispondente
sollecitazione in uscita nel caso di un sistema massa- olla smorzatore
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1.6 Metodologia per passare dalla sollecitazione esterna al carico agente sull
struttura
Per giungere alla determinazione della distribuzione delle tensioni agenti ci si può
avvalere di tre metodi:
1. Analisi semplificata;
2. Analisi deterministica;
3. Analisi stocastica.
L’analisi semplificata si basa, come suggerisce il nome, sulla semp ificazione di tutti
i carichi agenti, cercando di riportarsi al caso di sollecitazione monoassiale, applicata ad
una schematizzazione della struttura nelle sue parti principali. In questa fase si può
procedere ad una schematizzazione del carico come sinusoidale di ampiezza costante nel
tempo, allo scopo di permettere al progettista di avere un’indicazione di massima sul
comportamento della struttura ed è un valido aiuto specialmente nelle prime fasi di
progettazione.
L’analisi deterministica si basa sulla schematizzazione della casistica di sollecitazioni
agenti sulla struttura in esame. Se, ad esempio[3], i considera la progettazione di una
struttura off-shore occorre:
I. Stabilire la direzione più probabile della sollecitazione dovuta al moto ondoso.
In genere sono prese in esame un numero molto limitato di direzioni del moto
ondoso. In particolare può risultare vantaggiosa l’eventuale simmetria della
struttura per facilitare la scelta.
II. Stabilire la distribuzione delle onde (altezza e periodo) per ogni direzione
scelta. Occorre prestare attenzione sul fatto che occorre prendere in esame non
l’intero spettro di sollecitazione, ma solo quelle onde che provocano danni a
fatica rilevanti sulla struttura.
III. Calcolo delle tensioni. Per ogni casistica di moto ondos così identificata
(direzione, altezza e periodo) si ricava la tensione agente approssimando, lì
dove possibile, il comportamento della struttura come lineare.
IV. Infine, dalla conoscenza delle tensioni, è possibile ricavare una distribuzione
nel tempo, e pr ogni direzione della sollecitazione agente.
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L’analisi stocastica richiede una descrizione delle sollecitazioni e delle risposte più
complessa. In questo caso risulta più difficile tenere conto di comportamenti non lineari tra
sollecitazione applicata e ensioni all’interno del materiale e potrebbe risultare necessario
eseguire una simulazione del comportamento della struttura sottoposta a sollecitazione,
dove possibile, con costi che sono, in genere, elevati. Gli effetti dinamici sono considerati
in maniera più esatta rispetto all’approccio deterministico.
A questo punto è compito del progettista decidere quale strada seguire per giungere
ad una valutazione delle sollecitazioni agenti che, tanto più è vicina alla realtà, tanto più
costa, sia in termini di tempo, sia di costi e di fattibilità.
Lo spettro di carico usato per effettuare le prove di laboratorio, come sarà descritto in
seguito, è stato scelto non con il fine di rappresentare un tipo di sollecitazione specifico,
ma allo scopo di rappresentare uno spettro di sollecitazione di tipo random di applicazione
generale. Dato che gran parte dei fenomeni random ha andamento gaussiano, allora è stato
deciso di utilizzare lo spettro di carico gaussiano per eseguire i test sui provini.
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CAPITOLO 2
CARATT ERIZZAZIONE DEI PROV INI E
SPETTRO DI CARICO DI LABORATORIO
2.1 Introduzione
In questo capitolo sono caratterizzati i materiali metallici sui quali vengono condotte
le prove ed i problemi che possono nascere in seguito all’operazione di saldatura.
Viene poi descritta la procedura di esecuzione delle prove di fatica con una
descrizione della macchina di prova e degli spettri di carico che sono stati applicati. Dato
poi che il fenomeno della vita a fatica ad alto numero di cicli è fortemente influenzato dalla
geometria della saldatura e da eventuali difetti, allora si è ritenuto necessario calcolare il
fattore di concentrazione degli sforzi, in corrispondenza al piede di saldatura, per le due
geometrie in esame, di testa e a croce.
2.2 I materiali basso, medio e alto resistenziali
Nei codici di progetto comunemente usati per il dimensionamento dei giunti saldati
non viene fatta nessuna distinzione tra acciai a basso medio e alto grado resistenziale, con
la conseguenza che le caratteristiche di una particolare struttur rispetto ad un’altra è
ignorato.
Ciò potrebbe comportare il sovradimensionamento di parti di una data struttura,
dovuto al fatto che si preferisce usare materiali metallici basso resistenziali (Rp,0.2% < 400
MPa), dei quali è ampiamente documentato il comportamento. Si comprende però come
uno studio condotto sui materiali a medio e alto grado resistenziale può comportare la
realizzazione di strutture più leggere, lì dove si riuscisse a documentare il comportamento a
fatica di tali materiali. È proprio questa scarsa bibliografia di dati che costringe i progettisti
a ripiegare sull’uso di materiali basso resistenziali.
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Inoltre, quando si verificano carichi sulla struttura di livello uguale o maggiore del
limite elastico, i materiali bassore istenziali tendono a subire uno snervamento in misura
maggiore che non quelli alto resistenziali. Questo tipo di carichi, o meglio di sovraccarichi,
può insorgere in conseguenza di eventi di tipo saltuario come può essere un terremoto su
un ponte o un maremoto su una piattaforma off-shore, e possono influenzare la durata a
fatica. In condizioni di sovraccarichi (overloads), agenti sulle strutture, i materiali alto
resistenziali tendono a comportarsi meglio che non i basso resistenziali.
Da quanto detto risulta chiaro che, se si riuscisse a documentare il comportamento
dei materiali a più alto limite elastico, questo si rifletterebbe in un minor peso delle
strutture.
Inoltre l’uso di materiali alto resistenziali, consentendo un risparmio di peso,
renderebbe competitivo l’acciaio alto resistenziale nei confronti dell’alluminio che, se da
una parte è caratterizzato da buona resistenza e basso peso specifico rispetto agli acciai,
dall’altro richiede maggiore energia degli acciai per essere prodotto.
(fig. 2.1) - Curve SN parametrizzate rispetto al limite di fatica a 2⋅106, (a), e limite di fatica da
utilizzare in sede di progetto (b), secondo quanto riportato nelle norme di progetto IIW,
supponendo una Pf=2.3%[4-5].
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I materiali che sono stati approfonditamente esaminati sono quattro: due basso
resistenziali, uno medio e uno alto. Gli spessori presi in esame sono due: spessore t=10mm
e t=30mm. Inoltre i giunti saldati sono di due tipi e cioè giunti di testa e giunti a croce. Si è
allora analizzata una casistica complessiva di:
4 materiali x 2 spessori x 2 tipi di giunzione = 16 combinazioni
Le sigle di designazione dei quattro materiali sono riportate sotto:
1. Fe E 355 − S 355 N: normalizzato
2. Fe E 355 − S 355 M: meccanicamente trattato
3. Fe E 690 – S 690 Q temprato in acqua
4. Fe E 960 – S 960 Q temprato in acqua.
La composizione chimica è riportata in (tab. 2.1).
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