Le polizze index-linked: aspetti definitori, quadro normativo 22
la riserva di bilancio e la riserva stocastica (ai premi di tariffa con basi di terzo ordine):
Et = Rt − V̂ (3)t .
Nelle polizze i-l e nelle polizze u-l l’utile finanziario EIt costituisce la componente piu` rile-
vante di Et. Tuttavia mentre nelle u-l l’utile finanziario e` essenzialmente costituito dalle
commissioni di gestione, e si sviluppa quindi lungo la durata di vita del contratto, nelle
i-l la principale fonte di utile finanziario e` costituita dal caricamento l (tipicamente, la
differenza tra capitale assicurato e prezzo d’acquisto B0 del titolo strutturato sottostante).
Per le polizze a premio unico, quindi, l’utile finanziario si forma immediatamente alla data
di attivazione.
L’embedded value
Sia:
At := V (t;Z)
il valore del portafoglio in cui sono investite le riserve tecniche, e si consideri la riserva
stocastica Vt = V (t; X˜)−V (t; Y˜), calcolata (a esempio) al 1o ordine. Nella logica dell’asset-
liability management, la differenza:
Ωt := At − Vt
definisce il “surplus” dell’attivita` assicurativa al tempo t. Al lordo delle spese, dei gravami
fiscali e del costo del capitale, il surplus Ωt fornisce anche una misura dell’embedded value
in t dell’attivita` assicurativa, e puo` decomporsi significativamente come:
Ωt = [At −Rt] + [Rt − Vt]
dove: il termine At−Rt rappresenta l’eccedenza di valore presente nel portafoglio di investi-
mento rispetto agli impegni di legge verso gli assicurati, e identifica quindi una componente
del capitale proprio e/o le plusvalenze immediatamente realizzabili come utili d’impresa;
il termine EIt = Rt − Vt rappresenta la componente finanziaria del valore intrinseco del
business-in-force (valore mark-to-market degli utili finanziari futuri, impliciti nel portafoglio
delle polizze in essere).
Le polizze index-linked: aspetti definitori, quadro normativo 23
OSSERVAZIONE. Naturalmente, la definizione si estende immediatamente, ponendo:
Ω̂(3)t := [At −Rt] + [Rt − V̂ (3)t ] = [At −Rt] + EIt + EDt + ERt + ELt .
Nella logica generale dell’alm e` rilevante la non-negativita` del surplus, che si ottiene col
rispetto della disuguaglianza (debole):
At ≥ Vt ;
nell’ambito assicurativo va anche rispettato il vincolo di vigilanza:
Ât ≥ Rt ,
essendo Ât il valore contabile del portafoglio di investimento.
OSSERVAZIONE. In generale, il rispetto del vincolo di vigilanza Ât ≥ Rt non implica necessariamente equilibrio
finanziario, dato che potrebbe aversi ugualmente At < Vt. Tuttavia, una situazione in cui sia At < Rt non implica
necessariamente uno squilibrio finanziario, dato che la minusvalenza Rt − At potrebbe essere compensata da un
valore intrinseco sufficientemente alto, cioe` Et ≥ Rt −At.
Il caso di una i-l al primo ordine
Si consideri una polizza i-l a premio unico U , attivata in t = 0, con durata m, per un capitale
iniziale C0 = CV0 = C
M
0 unitario, indicizzata secondo lo schema dell’attivo sottostante.
Il titolo a copertura sia un coupon-bond stocastico, con valore nominale unitario, payoff a
scadenza Ym e cedole:
cn = c′n + c′′n , n = 1, 2, . . . ,m ,
essendo c′n la parte di cedola trattenuta dall’assicuratore e c
′′
n la parte retrocessa all’assicu-
rato.
Sia Qt la quotazione in t del titolo, considerata ex-coupon, e comprensiva dell’intero
ammontare delle cedole future cn per n > t.
Se si ragiona al 1o ordine (e si esclude quindi la possibilita` di riscatto), la prestazione dovuta
in caso di morte o in caso di vita a scadenza e` data da:
Cn = Qn , per n = 1, 2, . . . ,m−1 ,
Cm = Qm = Ym .
Questa prestazione va sommata alla parte di cedola ceduta in t = n in caso di vita:
c′′n , per n = 1, 2, . . . ,m .
Le polizze index-linked: aspetti definitori, quadro normativo 34
Esempi di contratti di tipo quanto sono:
– contratto forward:
YEUR(T ) = NEUR (SUSD(T )−KUSD) ;
– opzione call su S:
YEUR(T ) = NEUR max[SUSD(T )−KUSD, 0] ;
– opzione call sul rendimento di S:
YEUR(T ) = NEUR max[SUSD(T )/SUSD(0)−K, 0] .
OSSERVAZIONE. Nei contratti degli esempi e` implicitamente fissato a 1 il cambio a termine EUR/USD.
Il prezzo forward di un contratto quantizzato
Sia (N = 1EUR):
YEUR(T ) = (SUSD(T )−KUSD) .
Per un investitore in USD, in T il contratto ha valore:
YUSD(T ) = c(T )YEUR(T ) = c(T ) (SUSD(T )−KUSD),
essendo c(t) il cambio USD/EUR in t (quantita` di dollari per un euro).
Il prezzo forward e` il livello K che rende nullo, in t, il valore del contratto:
FUSD(t, T ) = K tale che V (t;YUSD(T )) = 0;
si ha:
FUSD(t, T ) = S(t) e(rf−q+ρcsσSσc)(T−t),
con:
rf : il tasso (intensita`) di interesse estero (USD);
q : il tasso (intensita`) di dividendo estero (USD);
σS : la volatilita` di S;
σc : la volatilita` del cambio USD/EUR;
La valutazione dell’attivo (sottostante, a copertura) 46
Il problema della valutazione in t < T e` un problema di calcolo del prezzo V (t;YT ); puo`
essere impostato considerando diversi modelli – e metodi – di valutazione.
OSSERVAZIONE. Il problema della valutazione puo` anche essere caratterizzato come problema di calcolo di
“misure” di rischiosita` (lettere greche, Value-at-Risk).
Un esempio di procedura di valutazione
La procedura di valutazione di un contratto strutturato potrebbe essere articolata per fasi,
come segue:
1 – Formalizzazione del contratto:
1a – traduzione in formula delle caratteristiche contrattuali, per consentire il calcolo del
flusso di cassa generato dal contratto in tutte le date di scadenza significative;
1b – scomposizione del contratto nelle componenti “base” (deterministica, aleatoria).
2 – Scelta del modello di riferimento:
2a – il modello dipende dalle fonti di rischio (sottostanti) che caratterizzano il contratto;
in generale si utilizzano modelli con piu` variabili base;
2b – la scelta del modello va basata su considerazioni di convenienza (trade-off tra pre-
cisione e complessita` matematica e statistica). Inoltre non si puo` prescindere dal-
le consuetudini del mercato. Ancora, potrebbe risultare significativo utilizzare
modelli alternativi.
3 – Scelta delle tecniche di calcolo: la scelta dipende dal modello utilizzato e dal tipo di
formula (condizione/i a scadenza) che descrive le caratteristiche contrattuali.
4 – Calcolo del prezzo (e di “misure” di rischiosita`).
3.2 La definizione del modello di mercato
Per la definizione del modello di mercato, si utilizzeranno le equazioni differenziali stoca-
stiche, in particolare le equazioni differenziali stocastiche di Ito.
Dato un processo di diffusione 1 {Xt, t > 0}, la sua dinamica puo` essere descritta dall’e-
1Un processo di diffusione e` un processo di Markov a traiettorie continue. A sua volta un processo si dice di
Markov se la distribuzione di probabilita` dei valori futuri del processo e` determinata unicamente sulla base del
valore che il processo assume nell’istante corrente e non dipende dalla storia passata del processo. Ovvero, dato un
processo {Xn, n > 0}:
P(Xn ∈ A|Fk) = P(Xn ∈ A|Xk) , n > k
essendo Fk la filtrazione “fino a k” del processo.
Il mercato italiano delle polizze index-linked nel triennio 2003-2005, rendimenti e derivati 73
vra” sono rappresentate dal livello di partecipazione e/o dal livello del rendimento minimo
a scadenza.
OSSERVAZIONE. E` appena il caso di osservare che, a parita` di livello di partecipazione e/o rendimento minimo,
si potrebbe agire sul numero e/o la “qualita`” dei sottostanti e/o lo scadenzario di fixing (per le strutture 2 e 4).
Tuttavia, queste eventualita` non sono prese in considerazione in questa sede.
Nella figura 4.13 e` riportato il livello di partecipazione “necessario alla sostenibilita`” (“di
equilibrio”) per le quattro strutture, nel periodo analizzato. La linea bianca, parallela al-
l’asse x al livello del cento percento, rappresenta la partecipazione “originale” – nel senso del
payoff – della polizza. Livelli inferiori alla linea bianca evidenziano una “non-sostenibilita`
originale” al disopra, viceversa per livelli superiori.
Figura 4.13: quattro esempi di struttura: partecipazione “di equilibrio” 2000− 2005
struttura: 1 2 3 4
0%
50%
100%
150%
200%
250%
g
e
n
-
0
0
m
a
g
s
e
t
g
e
n
-
0
1
m
a
g
s
e
t
g
e
n
-
0
2
m
a
g
s
e
t
g
e
n
-
0
3
m
a
g
s
e
t
g
e
n
-
0
4
m
a
g
s
e
t
g
e
n
-
0
5
m
a
g
s
e
t
Figura 4.14: quattro esempi di struttura: rendimento minimo “di equilibrio” 2000− 2005
struttura: 1 2 3 4
-20.00%
-15.00%
-10.00%
-5.00%
0.00%
5.00%
10.00%
15.00%
g
e
n
-
0
0
m
a
g
s
e
t
g
e
n
-
0
1
m
a
g
s
e
t
g
e
n
-
0
2
m
a
g
s
e
t
g
e
n
-
0
3
m
a
g
s
e
t
g
e
n
-
0
4
m
a
g
s
e
t
g
e
n
-
0
5
m
a
g
s
e
t
Nota: I valori sono espressi su base periodale.
Nella figura 4.14 e` riportato il livello di rendimento minimo “necessario alla sostenibilita`”
(“di equilibrio”) per le quattro strutture, nel periodo analizzato. La linea bianca, paral-
Una applicazione al mercato 77
LAMETODOLOGIA DI VALUTAZIONE. Il valore (fair value) delle componenti deterministiche dei contratti
e` calcolato considerando le strutture per scadenza dei tassi di interesse caratteristiche del mercato alla data di
valutazione; il valore delle componenti aleatorie dei contratti e` calcolato utilizzando modelli alla BS, con metodo
Monte Carlo impostato con 10000 iterazioni. Nei casi di strutture con piu` sottostanti, se il paniere si puo` considerare
come “indice sintetico”, il valore delle componenti aleatorie dei contratti puo` essere calcolato considerando il caso
di una fonte di incertezza (l’indice sintetico) o il caso di piu` fonti di incertezza (le componenti del paniere).
5.1 I contratti selezionati: caratteristiche generali
Nella tabella 5.1 sono riportate le caratteristiche generali dei contratti con una descrizio-
ne sintetica del derivato incorporato dalla struttura. Nella tabella 5.2 sono indicati gli
emittenti/garanti dei contratti e i relativi rating2.
Tabella 5.1: caratteristiche generali dei contratti analizzati
alias decorrenza scadenza durata opzione sottostanti
1 Index A 14/11/2003 14/05/2007 3 anni e 6 mesi cliquet sul rimborso 1
2 Index B 15/10/2004 15/10/2010 6 anni digitale sulle cedole 5
3 Index C 01/12/2004 01/04/2010 5 anni e 4 mesi worst sulle cedole 1
4 Index D 01/12/2004 01/04/2010 5 anni e 4 mesi digitale sulle cedole 7
5 Index E 15/12/2004 15/04/2010 5 anni e 4 mesi spread sulle cedole 2
6 Index F 29/12/2004 29/12/2008 4 anni cliquet sul rimborso 1
7 Index G 16/03/2005 16/03/2012 7 anni best sul rimborso 6
8 Index H 22/04/2005 22/04/2010 5 anni asiatica sul rimborso 4
9 Index I 03/05/2005 05/05/2009 4 anni asiatica sul rimborso 1
10 Index J 17/05/2005 17/05/2011 6 anni worst sulle cedole 30
11 Index K 05/12/2003 09/01/2009 6 anni worst sulle cedole 1
I contratti hanno durate variabili tra i tre e mezzo e i sette anni; i payoff caratteristici, pur
presentando caratteristiche che sono “tipiche” di piu` generi, individuano essenzialmente sei
“classi” di opzioni: cliquet, digitale, worst, best, asiatica, spread.
5.2 I contratti selezionati: la traduzione in formule delle carat-
teristiche contrattuali
Il primo fondamentale passo consiste nella traduzione in formule delle caratteristiche con-
trattuali dei contratti. Le caratteristiche contrattuali sono state desunte dai prospetti in-
formativi disponibili pubblicamente sui siti web delle Compagnie. Nelle sei classi di opzioni
sono stati individuati nove tipi per gli undici contratti, a evidenziare il carattere variegato
2
ISVAP dispone alle Compagnie la pubblicazione su un quotidiano e sul proprio sito internet della denominazione
e dei rating dell’emittente/garante il contratto (cfr. ISVAP (2005), p.7). Su successive richieste di ANIA del 22
marzo 2005, il 29 marzo 2005 sono state escluse la pubblicazione della denominazione dell’emittente/garante sul
quotidiano e la pubblicazione di tutti i rating dell’emittente/garante sul quotidiano a condizione che nel caso in cui
i rating delle agenzie non coincidano sia pubblicato il rating “peggiore”.
Una applicazione al mercato 78
Tabella 5.2: emittenti/garanti dei contratti analizzati
alias denominazione rating rating rating
emittente/garante Moody’s Standard&Poor’s Fitch Ibca
1 Index A Banca Intesa Spa A1 [A-] nd
2 Index B Citigroup Inc Aa1 [AA-] nd
3 Index C Citigroup Inc Aa1 [AA-] nd
4 Index D Credito Emiliano Spa [A3] [A-] A
5 Index E Unicredito Italiano Spa Aa2 [AA-] [AA-]
6 Index F Goldman Sachs Group Inc Aa3 [A+] nd
7 Index G Cassa Cent Raiffeisen AA A3 A- nd
8 Index H Islandsbanki Hf A1 A+ [A]
9 Index I Dexia Crediop Spa Aa2 [AA-] nd
10 Index J Credito Emiliano Spa [A3] [A-] A
11 Index K Morgan Stanley Dean Witter&Co. Aa3 [A+] nd
Nota: Tra parentesi quadrate e` riportato il rating peggiore tra quelli disponibili.
dei meccanismi di indicizzazione di questo tipo di polizze. Seguono le descrizioni formali
dei tipi.
5.2.1 Definizioni generali
Si definiscono le seguenti grandezze, di validita` generale:
– t : istante di valutazione del contratto;
– t0 : istante di decorrenza del contratto;
– s : istante di scadenza del contratto;
– T0 : istante di fixing del livello iniziale (strike) degli indici;
– t := {t1, t2, ..., tm = s} : scadenzario degli importi;
– T := {T1, T2, ..., Tn} : istanti di fixing degli indici di riferimento (Tn ≤ tm);
– N : valore nominale del contratto strutturato;
– c′k : componente della cedola staccata in tk trattenuta dalla Compagnia;
– c′′k : componente della cedola staccata in tk retrocessa all’assicurato dalla Compagnia;
– ck : valore della cedola staccata in tk (ck := c′k + c′′k).
I payoff caratteristici del generico contratto strutturato possono essere rappresentati for-
malmente dal flusso:
y := {c1, c2, ..., cm−1, cm+Ym}
Una applicazione al mercato 85
del tipo zero-coupon bond di valore nominale Nimin, con segno contabile “−”.
Risultano:
BVt = V (t;Ym); OVt = 0; BV ′t =
∑m
k=1 V (t; c
′
k);
BV ′′t =
∑m
k=1 V (t;
bc′′k);
OV ′′t =
∑m
k=1 V (t;
oc′′k).
5.2.6 Tipo 5
Il tipo 5 e` “di classe best”. In generale, una struttura tipica di classe best e` costituita da una componente
deterministica assimilabile a un generico coupon bond con cedole retrocesse all’assicurato, cedole trattenute dalla
Compagnia e rivalutazione del valore nominale alla scadenza, e da una componente aleatoria assimilabile a un
portafoglio di opzioni best, standard e non standard, anche con esclusione e consolidamento, con livelli cap e floor,
scritte su uno o piu` sottostanti.
Il generico sottostante delle opzioni e` un’azione, un indice, un cambio oppure un paniere di azioni, di indici, di
cambi.
caratterizzazione dei flussi di cassa
I flussi di cassa caratteristici risultano definiti dalle:
c′k := kj N c′′k := kiN
Ym := N +N max
{
β
[
1
n
n∑
r=1
(
Sir(Tr)
Sir(T0)
− 1
)]
, Imin
}
con:
S := {S1, S2, . . . , Sp} : insieme dei titoli o degli indici di mercato di riferimento all’emis-
sione del contratto (p ≥ n);
Si1 : elemento dell’insieme {Sl, l = 1, 2, . . . , p} che ha registrato il migliore rendimento
nel periodo [T0, T1];
Si2 : elemento dell’insieme {Sl, l 6= i1} che ha registrato il migliore rendimento nel periodo
[T0, T2];
Sir : elemento dell’insieme {Sl, l 6= i1, i2, . . . , ir−1} che ha registrato il migliore rendi-
mento nel periodo [T0, Tr];
· · ·
Sin : elemento dell’insieme {Sl, l 6= i1, i2, . . . , in−1} che ha registrato il migliore rendi-
mento nel periodo [T0, Tn];
kj : tasso annuo della cedola trattenuta k;
Una applicazione al mercato 86
k
i : tasso annuo della cedola retrocessa k;
β : fattore di retrocessione;
M := 1 + Imin : fattore di rivalutazione minima del valore nominale.
valutazione del contratto
Se si effettua la scomposizione call, il valore nominale rivalutato, Ym, puo` essere scomposto
in un contratto del tipo zero-coupon bond (bYm, di valore nominale NM) e in un contratto
derivato, oYm:
Ym := bYm + oYm = NM +N max
{
β
[
1
n
n∑
r=1
(
Sir(Tr)
Sir(T0)
− 1
)]
− Imin, 0
}
.
Risultano:
BVt = V (t; bYm); OVt = V (t; oYm); BV ′t =
∑m
k=1 V (t; c
′
k);
BV ′′t =
∑m
k=1 V (t; c
′′
k);
OV ′′t = 0.
5.2.7 Tipo 6
Il tipo 6 e` “di classe asiatica”. In generale, una struttura tipica di classe asiatica e` costituita da una componente
deterministica assimilabile a un generico coupon bond con cedole retrocesse all’assicurato, cedole trattenute dalla
Compagnia e rivalutazione del valore nominale alla scadenza, e da una componente aleatoria assimilabile a un
portafoglio di opzioni asiatiche di tipo “a media aritmetica” e di tipo “a media geometrica”, con livelli cap e floor,
scritte su uno o piu` sottostanti.
Il generico sottostante delle opzioni e` un’azione, un indice, un cambio oppure un paniere di azioni, di indici, di
cambi.
caratterizzazione dei flussi di cassa
I flussi di cassa caratteristici risultano definiti dalle:
c′k := kj N c′′k := kiN
Ym := N +N max
[
I ′′ + β
(
F (Tn)
F (0)
− β′′
)
, Imin
]
con:
kj : tasso annuo della cedola trattenuta k;
k
i : tasso annuo della cedola retrocessa k;
β : fattore di retrocessione;
Una applicazione al mercato 93
Tabella 5.5: contratti selezionati: parametri caratteristici
alias tipo p n d w′′ β β′ B Imin I′min I′′ I′max i1 i2 i′′ imin imax
1 Index A 1 1 42 - - 100.0 - - 4.25 −1 - 1 - - - - -
2 Index B 2 5 4 - - - - 98.5 - - - - 5.75 0 - - -
3 Index C 3 1 24 12 - 200.0 - - - - - - - - 0 0.0 -
4 Index D 2 7 5 - - - - 100.0 - - - - 5.10 0 - - -
5 Index E 4 2 3 - - 100.0 - - - - - - - - - 0.0 10
6 Index F 1 1 30 - - 100.0 - - 0.00 −1 - 1 - - - - -
7 Index G 5 6 6 - - 60.0 - - 0.00 - - - - - - - -
8 Index H 6 4 19 - - 50.0 - - 6.25 - - - - - - - -
9 Index I 7 1 4 - - 84.5 100 - 0.00 - 0 - - - - - -
10 Index J 8 30 6 - - 100.0 - - - - - - - - - 1.5 -
11 Index K 9 1 12 4 2 100.0 - - - - - - - - 5 0.0 12
Legenda:
p : numero di sottostanti;
n, d : numeri di fixing;
w′′ : numero di performance peggiori;
β, β′ : fattori di retrocessione (di aggiustamento);
B : barriera;
Imin, I ′min, I ′′, I ′max : tassi per il calcolo della rivalutazione del valore nominale;
i1, i2, i
′′
, imin, imax : tassi per il calcolo delle rivalutazioni delle cedole.
Nota: I fattori di retrocessione e la barriera sono espressi in percentuale; i tassi sono espressi in percentuale e su base periodale.
Tabella 5.6: contratti selezionati: i sottostanti
descrizione valuta A B C D E F G H I J K
1 Aegon Nv EUR x
2 Altria Group Inc USD x
3 Amsterdam Exchanges Indx EUR x
4 Bae Systems Plc GBP x
5 Barclays Plc GBP x
6 Cac 40 Index EUR x
7 Citigroup Inc USD x
8 Coca-Cola Co/The USD x
9 Dax Index EUR x x
10 Dell Computer Corp USD x
11 Dj Euro Stoxx 50 P Index EUR x x x x x
12 Enel Spa EUR x
13 Euromobiliare Capitalfit EUR x
14 Ftse 100 Index GBP x x
15 General Electric Co USD x
16 Glaxosmithkline Plc GBP x
17 Hang Seng Index HKD x x x
18 Honda Motor Co Ltd JPY x
19 Iberdrola Sa EUR x
20 Kraft Foods Inc-A USD x
21 Lucent Technologies Inc USD x
22 Microsoft Corp USD x
23 Nasdaq 100 Stock Index USD x
24 Nikkei 225 Index JPY x x x x x x
25 Novartis Ag-Reg Shs CHF x
26 Ntt Docomo Inc JPY x
27 Oracle Corp USD x
28 Pfizer Inc USD x
29 Procter&Gamble Co USD x
30 Repsol Ypf Sa EUR x
31 Royal Dutch Petroleum EUR x
32 S&P 500 Index USD x x x
33 S&P/Mib Index EUR x
34 Siemens Ag-Reg EUR x
35 Societe Generale-A EUR x
36 Sony Corp JPY x
37 Swiss Market Index CHF x x x
38 Takeda Chemical Industries JPY x
39 Tesco Plc GBP x
40 Total Fina Elf Sa EUR x
41 Unicredito Italiano Spa EUR x
42 Unilever Nv-Cva EUR x
Nota: Per Index H i 4 sottostanti definiscono un paniere “equipesato”.
di quotazione t, come “tasso di parita`” (par yield) rispetto alla struttura per scadenza dei
Una applicazione al mercato 99
Tabella 5.11: controllo del valore
alias BTQ OTQ Q BTV OTV V BTD OTD D
1 Index A 98.13 3.38 101.51 98.13 2.46 100.59 0.00 0.92 0.92
2 Index B 88.49 7.88 96.37 88.49 12.70 101.19 0.00 −4.82 −4.82
3 Index C 93.16 0.00 93.16 95.09 1.06 96.16 −1.93 −1.06 −3.00
4 Index D 84.71 9.56 94.27 84.71 8.62 93.33 0.00 0.94 0.94
5 Index E 89.48 5.52 95.00 89.48 5.20 94.67 0.01 0.32 0.33
6 Index F 92.42 3.97 96.39 92.42 1.47 93.89 0.00 2.50 2.50
7 Index G 86.45 6.16 92.61 86.45 4.27 90.72 0.00 1.89 1.89
8 Index H − − − 89.90 0.97 90.87 − − −
9 Index I 91.04 8.96 100.00 90.26 6.11 96.37 0.78 2.85 3.63
10 Index J − − − 94.39 0.60 94.99 − − −
11 Index K 93.34 4.17 97.51 94.14 4.09 98.23 −0.81 0.08 −0.72
data valutazione: 31.03.2005
Legenda:
BTQ : quotazione della componente obbligazione del contratto;
OTQ : quotazione della componente derivato del contratto;
Q :=BT Q+OT Q : quotazione del contratto;
BTV : fair value della componente obbligazione del contratto;
OTV : fair value della componente derivato del contratto;
V :=BT V +OT V : fair value del contratto;
BTD :=BT Q−BT V : differenza componente obbligazione;
OTD :=OT Q−OT V : differenza componente derivato;
D := Q− V : differenza contratto.
Fonte: Le quotazioni dei contratti sono state rilevate sul quotidiano Il Sole 24 ore e sui siti web delle Compagnie.
Nota: I valori sono espressi in euro per 100 euro di nominale.
Figura 5.1: Index K: quotazione vs fair value della componente obbligazione
Nota: I valori sono espressi in euro per 100 euro di nominale.
Una applicazione al mercato 100
Figura 5.2: Index K: quotazione vs fair value della componente derivato
Nota: I valori sono espressi in euro per 100 euro di nominale.
Figura 5.3: Index K: quotazione vs fair value del contratto
Nota: I valori sono espressi in euro per 100 euro di nominale.
geriscono che le strutture risky8 utilizzate per l’attualizzazione dei flussi della componente
8Le strutture risky sono ricavate sommando alle strutture per scadenza zero-coupon swap le strutture per
scadenza dei credit spread.
Una applicazione al mercato 106
Tabella 5.14: Index B: una analisi di sensitivita` del valore
vol div v vol div v
vols d 12.70 vol3 d 11.88
d1 14.85 d1 13.78
d2 16.17 d2 15.05
d3 16.78 d3 15.56
d0 16.91 d0 15.68
vol1 d 14.87 vol4 d 11.09
d1 17.47 d1 12.91
d2 19.03 d2 14.08
d3 19.81 d3 14.58
d0 19.94 d0 14.68
vol2 d 13.71
d1 16.02
d2 17.46
d3 18.18
d0 18.33
data valutazione: 31.03.2005
Legenda:
v : fair value componente derivato;
vols : volatilita` “base”;
vol1 : vols diminuite del 20%;
vol2 : vols diminuite del 10%;
vol3 : vols aumentate del 10%;
vol4 : vols aumentate del 20%;
d : tassi di dividendo “base”;
d1 : d diminuiti di un punto percentuale con minimo a zero;
d2 : d diminuiti di due punti percentuali con minimo a zero;
d3 : d diminuiti di tre punti percentuali con minimo a zero;
d0 : tassi di dividendo nulli.
Nota: I parametri “base” sono quelli utilizzati per l’identificazione dei modelli alla data di valutazione (cfr. OT V della tabella 5.11);
i valori sono espressi in euro per 100 euro di nominale.
cresce con i decrementi di dividendo. Risultano un valore minimo uguale a 7.99 euro (in
corrispondenza della coppia di ipotesi vol4-d) e un valore massimo uguale a 12.93 euro (in
corrispondenza della coppia di ipotesi vol1-d0). Una possibile “calibratura implicita” si ha
in corrispondenza della coppia di ipotesi vol3-d1.
La tabella 5.16 riporta i risultati dell’analisi per il contratto 5. In questo caso si osserva
che, a questi livelli, il valore decresce con gli incrementi di volatilita` e/o i decrementi di
dividendo. Risultano un valore minimo uguale a 4.28 euro (in corrispondenza della coppia
di ipotesi vol4-d2) e un valore massimo uguale a 6.33 euro (in corrispondenza della coppia
di ipotesi vol1-d). Una possibile “calibratura implicita” si ha in corrispondenza della coppia
di ipotesi vol2-d2.
La tabella 5.17 riporta i risultati dell’analisi per il contratto 7. In questo caso si osserva che,
a questi livelli, il valore cresce con gli incrementi di volatilita` e/o i decrementi di dividendo
Una applicazione al mercato 111
Figura 5.8: Index A: effetto non monotono della volatilita` sul valore
Nota: E` indicata con il segno ’+’ la volatilita` “base” utilizzata per il calcolo del fair value
della componente derivato al 29.04.2005, uguale a 0.1255 (cfr. tabella 5.9, riga 11);
i valori sono espressi in euro per 100 euro di nominale.
Figura 5.9: Index J: effetto delle correlazioni sul valore
Nota: Con la linea parallela all’asse x e` riportato il fair value della componente
derivato al 29.04.2005, ottenuto con una correlazione media uguale a 0.1929;
i valori sono espressi in euro per 100 euro di nominale.
Figura 5.10: Index B: effetto delle correlazioni sul valore
Nota: Con la linea parallela all’asse x e` riportato il fair value della componente
derivato al 29.04.2005, ottenuto con una correlazione media uguale a 0.3771;
i valori sono espressi in euro per 100 euro di nominale.
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