Valutazione della resistenza all'avanzamento di una imbarcazione tramite simulazioni stazionarie RANS

1 MODELLI MATEMATICI
Engineers study interesting real-world
problems but fudge their results.
Mathematicians get exact results but study
only toy problems. But computer scientists,
being neither engineers nor
mathematicians, study toy problems and
fudge their results.
G.W. Flake
1.1 equazioni di navier–stokes
Nello studio della resistenza all’avanzamento di una imbarcazione
possiamo ritenere i fluidi (aria e acqua) newtoniani, incomprimibili ed
isotermi; queste ipotesi ci permettono di ridurre il numero delle variabili
del problema e conseguentemente il numero delle equazioni necessarie
alla sua soluzione. In particolare, l’ipotesi di considerare un fluido
incomprimibile ci permette di ritenere costante la densità r mentre
l’ipotesi di fluido isotermico ed incomprimibile ci permette di non
considerare l’equazione della energia: sotto queste ipotesi le equazioni
di Navier Stokes si esprimono mediante il principio di conservazione
della massa ed il principio di conservazione della quantità di moto.
Le variabili del problema in tutto sono23:
 equazione di continuità (1 equazione);
 equazione delle quantità di moto (3 equazioni);
 equazione della energia (1 +1 equazioni);
 equazioni costitutive
– equazioni di stato (2 equazioni)
– legge di Navier (6 +6 equazioni)
– legge di Fourier (3 equazioni)
Abbiamo pertanto23 equazioni in altrettante incognite.
Essendo il nostro problema isotermo ed essendo entrambi i fluidi
incomprimibili (r(x, t) = cost) consideriamo solamente l’equazione di
continuità, l’equazione della quantità di moto (3 equazioni) e la legge
di Navier (6 + 6 equazioni), in tutto abbiamo pertanto 16 equazioni
nelle16 incognite v
i
(3), p(1), t
ij
(6), D
ij
(6) [2].
3
4 modelli matematici
1.1.1 Equazione di conservazione della massa
Riportiamo la forma integrale (o conservativa) del principio di conserva-
zione della massa
¶
¶t
Z
V
r dV = Z
¶V
rv n ds
nella qualeV R
n
è il volume di controllo, ¶V il suo contorno ed n la
normale uscente.
E’ possibile esprimere la precedente relazione anche in una forma
differenziale
¶r
¶t
+r (rv)= 0 (1.1)
la quale, nel caso di un fluido incomprimibile (da un punto di vista
strettamente matematico, dire che un fluido è incomprimibile equivale a
porre r(x, t)= cost) assume la seguente forma (3 incognite: v
1
, v
2
, v
3
)
r v= 0 (1.2)
1.1.2 Equazione di conservazione della quantità di moto
Per esprimere il principio di conservazione della quantità di moto per il
modello di fluido di interesse nautico si parta dalla forma differenziale
del principio di conservazione della quantità di moto
1
scritta per un
generico fluido
¶(rv)
¶t
+r (rv v)r T= rg
Per un fluido viscoso newtoniano, il tensore degli sforzi assume la
forma
T=T(v, p)= 2mD  p m
0
r v
 I
nella quale
D(v)=
1
2
h
rv+(rv)
T
i
è il tensore delle velocità di deformazione, m il coefficiente di viscosità
dinamica e m
0
il secondo coefficiente di viscosità dinamica [13]. Per un
1 Con il simbolo è stato introdotto il prodotto tensoriale, la cui rappresentazione per
componenti è (a b)
ij
= a
i
b
j
e per il quale vale la seguente identità notevole
r (rv v)= rvr v+vr(rv)
1.2 equazioni di navier–stokes mediate 5
fluido incomprimibile, essendor v= 0 il tensore degli sforzi per un
fluido newtoniano si esprime nella forma
T=T(v, p)= 2mD(v) pI
Avremo così
¶(rv)
¶t
+r (rv v)r n
m
h
rv+(rv)
T
i
 pI
o
= rg
¶(rv)
¶t
+r (rv v)r n
m
h
rv+(rv)
T
io
+r (pI)
| {z }
rp
= rg
D(v)=
1
2
h
rv+(rv)
T
i
)rv+(rv)
T
= 2D(v)
¶(rv)
¶t
+r (rv v)r n
m
h
rv+(rv)
T
io
| {z }
2mD(v)
+r (pI)
| {z }
rp
= rg
avremo così l’equazione che esprime il principio di conservazione della
quantità di moto per un fluido newtoniano ed incomprimibile
¶(rv)
¶t
+r (rv v)+rpr [2mD(v)] = rg (1.3)
1.2 equazioni di navier–stokes mediate
Il flusso che lambisce una imbarcazione è generalmente turbolento su
gran parte dello scafo; ciò che caratterizza un campo di moto turbolento
è la presenza di fenomeni non stazionari e vorticosi che fanno variare
rapidamente l’intensità turbolenta della corrente, pertanto le grandezze
che descrivono il fenomeno turbolento variano su ampie scale di tempo
e di spazio. La presenza di fenomeni turbolenti rendono, in termini di
potenza di calcolo richiesta, estremamente oneroso l’impiego di metodi
Direct Numerical Simulation (DNS)
2
basati sulla soluzione diretta delle
equazioni di Navier–Stokes che richiederebbero l’utilizzo di griglie di
calcolo tanto raffinate da catturare tutte le strutture turbolente: discende
infatti dalla teoria di Kolmogorov (1941) sulla turbolenza omogenea
e isotropa, che una simulazione di un flusso turbolento mediante le
Navier–Stokes Equations (NSEs)
3
dovrebbe avere un numero di nodi tali
per cui N
3
 Re
9
4
.
Una soluzione alle complicazioni introdotte dai flussi turbolenti è
stata proposta da Reynolds applicando un operatore di media alle NSEs
dando così origine alle RANS. L’approccio proposto da Reynolds consiste
nel decomporre le grandezze in gioco in una componente mediah i
2 Ricorrendo alla simulazione numerica diretta le equazioni di Navier-Stokes vengono
risolte numericamente senza alcuna necessità di adottare alcun modello di turbolenza.
3 Equazioni di Naver–Stokes.
6 modelli matematici
[17] (indipendente dal tempo) ed in una fluttuante (intorno al suo
valore medio), avremo così
p=hpi+ p
0
v=hvi+v
0
mentre per quanto concerne la densità, trattando fluidi incomprimibili
(r= cost) avremo
r=hri
L’equazione di continuità espressa mediante il valore medio di
Reynolds assumerà, per un fluido incomprimibile, la forma
rhvi= 0
Ci si occupi ora della equazione di conservazione della quantità di
moto espressa mediante il valore medio di Reynolds
 ¶(rv)
¶t
 +hr (rv v)i+hrpi hr [2mD(hvi)]i=hrgi
¶hrvi
¶t
+rhrv vi+rhpir h2mD(hvi)i=hrgi
per un fluido incomprimibile avremo
¶hvi
¶t
+rhv vi+
1
r
rhpi 1
r
rh2mD(hvi)i= g
n= m/r
¶hvi
¶t
+rhv vi+
1
r
rhpir h2nD(hvi)i= g
posto orahvi= V,hpi= P ehv vi=hV Vi+hv
0
 v
0
i
¶V
¶t
+rhV Vi+r  v
0
 v
0
 +
1
r
rPr h2nD(V)i= g
e, dal momento che una soluzione media si può considerare come uno
stato stazionario avremo che ¶/¶t = 0, con ciò le RANS per il moto
medio assumono la seguente forma
rhvi= 0 (1.4)
rhV Vi+r  v
0
 v
0
 | {z }
R
+
1
r
rPr h2nD(V)i= g (1.5)
Nella seconda equazione la presenza del terminehv
0
 v
0
i, chiamato
tensore (simmetrico) degli sforzi di Reynolds (R), introduce 6 nuove
1.3 modello di turbolenza: sst k w 7
incognite e pertanto il sistema delle RANS non permette di determinare
i campi di velocità (V) e di pressione (P) medi: le equazioni (1.4) e
(1.5) non costituiscono pertanto un sistema chiuso. E’ quindi necessario
introdurre un modello che leghi il tensore degli sforzi di Reynolds al
campo di velocità medio.
Per risolvere il problema legato alla chiusura delle RANS seguiremo
l’approccio proposto da Boussinesq, il quale prevede che gli sforzi
turbolenti si possano scrivere nella forma
  v
0
 v
0
 = 2n
t
D(V) 2
3
kI
in questo modo è possibile risolvere le equazioni RANS una volta speci-
ficato la viscosità turbolente n
t
(x, t), caratteristica locale della corrente
turbolenta. Il compito di specificare
n
t
=
m
t
r
è affidato ad un modello di turbolenza.
1.3 modello di turbolenza: sst k w
E’ un modello di turbolenza proposto da Menter [14] basato su due
equazioni di trasporto funzioni della energia cinetica turbolenta (k)
e del fattore di dissipazione specifico (w). La particolarità di questo
modello è che permette, attraverso una funzione interpolante (blending
function), di applicare in prossimità della carena il modello di turbolen-
za k w e, via via che ci si allontana da essa, il modello k #. Il modello
k w fornisce ottimi risultati in prossimità della regione di parete ma
ha un’efficienza che degrada rapidamente via via che ci si allontana da
essa, al contrario il modello k # buoni risultati nella regione di flusso
lontana da parete ma non risolve efficacemente lo strato limite per quei
campi di moto che presentano dei gradienti di pressione avversi, come
avviene in campo nautico nella zona poppiera. Paragrafo da ul-
timare Le equazioni per l’energia cinetica turbolenta k e per il tasso specifico
di dissipazione w sono date da:
¶(r k)
¶t
+r (rv k)r [(m+m
t
s
k
)rk] =
˜
P b
k
r kw
¶(rw)
¶t
+r (rvw)r [(m+m
t
s
w
)rw] =
gr
m
t
P b
w
rw
2
+
+ 2s
w
(1 F
1
)
r
w
rkr w
nelle quali b
k
, b
w
, g, s
k
e s
w
sono delle costanti.
8 modelli matematici
L’espressione della viscosità turbolenta da inserire nel tensore degli
sforzi di Reynolds è
n
t
=
m
t
r
=
k
w
1
max
n
1
a
 ;
S F
2
a
1
w
o
nella quale
a
 = a
 ¥
 a
 0
+Re
t
/R
k
1+Re
t
/R
k
 Re
t
=
r k
mw
1.4 equazione per la superficie libera
In campo nautico, nel dominio computazionaleV sono presenti fluidi
multifase, incomprimibili e tra loro non miscibili, tali per cuiV =
V
W
[V
A
, doveV
A
è il volume in cui è presente l’aria (fase primaria) e
V
W
quello in cui è presente l’acqua (fase secondaria); in ognuna delle
due fasi le proprietà del fluido (r, m) sono assunte costanti e ciò che
si vuole determinare è la posizione e forma della interfaccia
4
G che le
divide. Il metodo adottato è denominato Volume of Fluid (VOF) e si basa
su di un approccio euleriano nel quale la griglia di calcolo con cui è
stato discretizzato il dominio computazionale durante il procedere della
simulazione rimane fissa e l’evoluzione della superficie libera viene
descritta da una equazione di continuità (1.6) nella frazione di volume
della fase a densità maggiore(a
W
) impostata in ANSYS Fluent® come
fase secondaria
¶a
W
¶t
+vr a
W
= 0 (1.6)
L’interfacciaG sarà contenuta in tutti quei volumi di controllo nei quali
sono presenti entrambe le fasi, ovvero 0 < a
q
< 1 (dove q = A, W),
considerando ad esempio l’acqua si avrà infatti che:
 a
W
= 0 se nel volume di controllo non vi è acqua ma solamente
aria;
 a
W
= 1 se nel volume di controllo vi è solamente acqua;
 0 < a
W
< 1 se il volume di controllo contiene l’interfaccia tra
acqua ed aria.
L’equazione di continuità della frazione di volume a
A
(fase primaria)
non viene risolta in quanto determinata, nota a
W
mediante la seguente
relazione
a
A
= 1 a
W
(1.7)
4 Chiamata anche superficie libera.
1.4 equazione per la superficie libera 9
Possiamo così concludere che per le applicazioni nautiche, nelle
quali occorre modellare un fluido bifase aria-acqua, per descrivere la
posizione dell’interfaccia è necessario risolvere le equazioni (1.6) (1.7)
unitamente alle due equazioni di Navier–Stokes (1.2) (1.3), nelle quali i
valori di densità e viscosità si ricavano dalle espressioni sotto riportate
r= a
A
r
A
+a
W
r
W
m= a
A
m
A
+a
W
m
W
2 RESISTENZA
ALL’AVANZAMENTO
2.1 glossario dei termini nautici utiliz-
zati
Di seguito si riportano le definizioni ed i concetti utilizzati per descri-
vere la geometria di una imbarcazione, ai quali si farà riferimento nel
proseguo della trattazione; la simbologia che verrà adottata segue le
norme suggerite dall’ITTC [8].
 Scafo (hull): solido simmetrico rispetto al piano verticale, fusi-
forme con sezioni e curvature che variano lungo la direzione
longitudinale.
 Prua (bow): rispetto alla direzione del moto è l’estremità anteriore
dello scafo.
Figura 1: Rappresentazione grafica dei principali termini nautici utilizzati.
11