Capitolo 1
Introduzione generale
1.1 Computational Fluid Dynamics (CFD)
La CFD è la disciplina che studia la dinamica dei fluidi, la trasmissione del calore e
i vari fenomeni associati (reazioni chimiche) mediante procedure di simulazione su
calcolatori. Essa è in grado di fornire una previsione quantitativa di un flusso per
mezzo di:
• Modelli Matematici (Equazioni differenziali alle derivate parziali);
• Metodi numerici (Tecniche di Discretizzazione e di risoluzione);
• Software Tools (Solvers, Pre- e Post-processing Utilities).
L’impiego di questa tecnica cresce di anno in anno conquistando sempre più un
ruolo rilevante e articolandosi nei diversi settori di applicazione quali l’industriale,
l’agricolo, l’urbanistico, il biomedico e sanitario, il petrolifero, il meteorologico e
tanti altri. I motivi sono:
1. Riduzione sostanziale di tempi e costi di nuovi progetti;
2. Possibilità di studiare sistemi dove l’approccio sperimentale risulta complesso
o persino impossibile da adottare;
3. Capacità di studiare sistemi in condizioni lontane da quelle nominali;
Nonostante gli indubbi vantaggi elencati qui sopra, risulta tuttora molto importan-
te la validazione e la calibrazione attraverso dati sperimentali. L’affidabilità degli
strumenti CFD è legata alle ipotesi e ai modelli utilizzati che spess semplificano il
comportamento reale del problema fisico studiato. Strutturalmente un’analisi CFD
si presenta come schematizzato in figura 3.2. Si comincia con la definizione del
problema e quindi la conoscenza della fisica, della geometria e delle condizioni
1
1 – Introduzione generale
Figura 1.1: Schema esemplificativo di un’analisi CFD
operative, del regime e delle proprietà del flusso. Dopodiché si passa alla scelta
del modello matematico che più si adatta al genere di problema, si definiscono
il dominio di calcolo, le leggi di conservazione e le condizioni iniziali e al contor-
no. Terminato il primo step si passa alla generazione della Griglia di calcolo, le
cui caratteristiche topologiche e geometriche vengono scelte in funzione della com-
plessità del problema (possono essere strutturate o non strutturate, esaedriche o
tetraedriche,ecc...).
L’intera fase finora descritta viene definita: Pre-Processing. La seconda fase,
chiamata Solver, analizza tutto ciò che concerne la risoluzione matematica delle
equazioni in gioco. Le PDE vengono trasformate in una serie di equazioni algebri-
che, approssimando sia le derivate spaziali (discretizzazione spaziale) che quelle
temporali (discretizzazione temporale). È in questa fase che si è alla ricerca di
una strategia risolutiva più consona al tipo simulazione, tenendo conto che le equa-
zioni algebriche non-lineari accoppiate devono essere risolte iterativamente. I vari
metodi numerici per essere utilizzati devono rispettare alcuni parametri che sono:
1. Consistenza: ladiscretizzazionerisulteràesatta(erroreditroncamentonullo)
all’annullarsi della dimensione delle celle della griglia;
2. Stabilità: l’errore non aumenta al progredire della simulazione;
3. Convergenza: la soluzione dell’equazione discretizzata tende alla soluzione
esatta all’annullarsi della dimensione delle celle della griglia;
4. Conservazione: la soluzione deve rispettare la conservazione delle quantità
fisiche sia su scala locale che globale;
5. Boundedness: la soluzione deve stare all’interno dei propri limiti fisici;
6. Realizzabilità;
2
1.2 – Le Leggi di Conservazione
7. Accuratezza: quanto meglio una soluzione calcolata approssima quella esat-
ta, ovvero limita gli errori di modellazione di discretizzazione e iterazione.
I tempi di calcolo della Simulazione dipendono da molti fattori quali la scelta degli
algoritmi numerici, gli strumenti algebrici lineari, i parametri di discretizzazione e
molti altri. La qualità invece dipende dal modello matematico, dal tipo di appros-
simazione e dalla stabilità dello schema numerico, mesh, ecc... Infine chiude il ciclo
la fase di Post-Processing con l’analisi dei dati. Essa serve proprio per estrarre
dai risultati della simulazione le informazioni desiderate:
• calcolo di quantità derivate,
• parametri integrali,
• visualizzazione 1D, 2D e 3D,
• streamline, vettori...
1.2 Le Leggi di Conservazione
Le leggi di conservazione che governano il flusso di un fluido vengono ricavate predi-
ligendo un approccio euleriano (più adatto ad un approccio quale la CFD), ovvero,
trattando il fluido all’interno di una regione di spazio definita volume di controllo, e
considerando proprietà intensive, ovvero indipendenti dalla quantità di materia (es.
la densità).
Una peculiarità della forma conservativa delle equazioni è la presenza del termine
della divergenza all’interno delle equazioni e non la derivata sostanziale, trattandosi
di un volume di controllo infinitesimo [4]. Di conseguenza si avrà a che fare con i
flussi di massa, quantità di moto ed energia che saranno le variabili all’interno delle
equazioni e non più le singole p, rho, v...
1.2.1 Conservazione della Massa
La legge di continuità afferma che il tasso di incremento della massa all’interno
dell’elemento fluido è uguale alla variazione netta del flusso di massa all’interno
dell’elemento fluido [3]. In notazione vettoriale compatta è:
∂ρ
∂t
+5· (ρv) = 0. (1.1)
Quest’equazione vale per un flusso instazionario, tridimensionale e comprimibile.
Mentre per un fluido incomprimibile (ρ =cost) l’equazione di continuità vale:
5·v = 0. (1.2)
3
1 – Introduzione generale
1.2.2 Conservazione della Quantità di Moto
Esistono tanti modi per derivare l’equazione per la conservazione della quantità di
moto ma tutto parte dalla seconda legge di Newton, dove la variazione della quantità
di moto uguaglia la somma delle forze sulla particella. Le forze a loro volta si sud-
dividono in forze superficiali (di pressione, viscose e di gravità) e volumetriche
(centrifughe, di Coriolis ed elettromagnetiche). In notazione vettoriale compatta
vale:
∂ρu
i
∂t
+5· (ρu
i
v) =5·t
i
+ρb
i
. (1.3)
dove:
t
i
= (2μD
ij
−
2
3
μδ
ij
5·v)i
j
−pi
i
(1.4)
e
D
ij
=
1
2
(
∂u
i
∂x
j
+
∂u
j
∂x
i
) (1.5)
e b
i
rappresenta la componente i-esima della forza volumetrica (di solito l’accelera-
zione di gravità g).
Per flussi a densità variabile si può dividere il termine ρg
i
in due parti:
ρ
0
g
i
+ (ρ−ρ
0
)g
i
(1.6)
dove ρ
0
è la densità di riferimento. La prima parte può essere inclusa assieme al
termine delle pressione lasciando come termine gravitazionale solo la variazione di
densità: ecco che si ha l’approssimazione di Boussinesq.
1.2.3 Conservazione dell’Energia
L’equazione dell’energia si ricava dal primo principio della termodinamica che affer-
ma che il tasso di variazione dell’energia di una particella fluida è uguale al tasso di
calore aggiunto alla particella più la variazione del lavoro svolto sulla particella. La
forma generale e conservativa dell’equazione dell’energia è:
∂ρE
∂t
+5· (ρEv) =−5· (pv) +
∂τ
ij
u
i
∂x
j
+5· (k5T ) +S
E
(1.7)
dove S
E
è un termine sorgente che rappresenta la variazione del lavoro svolto dalle
forze volumetriche. Generalmente per flussi comprimibili è più corretto, e sicura-
mente meno complicato, esprimere l’equazione dell’energia in termini di un’altra
variabile: l’entalpia totale.
∂ρh
0
∂t
+5· (ρh
0
v) =
∂p
∂t
+
∂τ
ij
u
i
∂x
j
+5· (k5T ) +S
h
. (1.8)
4
1.3 – Modello del fluido
1.2.4 Conservazione delle quantità scalari
Un’equazione che racchiude, un pò in forma generale le varie forme conservative
descritte in precedenza è l’equazione di trasporto di una proprietà generica φ
∂ρφ
∂t
+5· (ρφv) =5· (Γ5φ) +q
φ
. (1.9)
dove il primo termine rappresenta la variazione di φ all’interno del volume di con-
trollo. Il secondo termine è quello convettivo quindi di trasporto di φ. Il terzo è
diffusivo dove Γ rappresenta la diffusività diφ mentre l’ultimo elemento è il termine
sorgente variabile dal tipo di problema considerato.
L’equazione appena illustrata si pone come punto di riferimento iniziale per le
procedure di calcolo con il metodo ai volumi finiti.
1.3 Modello del fluido
Seguendo lo schema a blocchi 3.2, la prima operazione da intraprendere per sempli-
ficare opportunamente un problema CFD comporta l’ipotesi sul modello di fluido
che nei nostri calcoli avrà le seguenti caratteristiche:
1. Gas perfetto che segue la ben nota equazione di stato: p =ρRT;
2. Fluido newtoniano, ovvero le tensioni viscose sono linearmente proporzionali
alle velocità di deformazione;
3. Modellazione delle proprietà termofisiche (di solito costanti).
1.4 Metodo ai Volumi Finiti
LoscopogeneraledelladiscretizzazioneèditrasformareunaopiùPDEinunsistema
di equazioni algebriche [4]. Tale processo può essere suddiviso in due parti: la
discretizzazione del dominio della soluzione e quella dell’equazione.
La discretizzazione fornisce una descrizione numerica del dominio di calcolo,
compresa sia la posizione dei punti in cui va ricercata la soluzione che il contorno.
Lo spazio è diviso in un numero finito di regioni discrete, chiamate celle o volumi
di controllo. Per simulazioni instazionarie l’intervallo di tempo è anche suddiviso in
un numero finito di time-steps. Queste operazioni portano ad una trasformazione
appropriata delle equazioni in espressioni algebriche.
Il FVM si basa principalmente sulle seguenti proprietà:
• Si discretizza la forma integrale delle equazioni su ogni volume di controllo.
Quindi le quantità base, come la massa e la q.d.m. si conserveranno in forma
discreta.
5
1 – Introduzione generale
Figura 1.2: Esempi di discretizzazione per FVM
• Le equazioni sono risolte in un sistema di assi cartesiani su una griglia fissa
nel tempo. Il metodo è applicabile sia per lo stato stazionario che per i calcoli
transitori.
• I volumi di controllo possono essere di forma poliedrica, con un numero varia-
bile di celle vicine in modo da creare una mesh non strutturata.
• IsistemidiPDEvengonotrattateinformasegregata, ciòsignificacheverranno
risolte sequenzialmente. Le PDE non lineari vengono linearizzate prima della
discretizzazione.
L’equazione conservativa su cui si basa il FVM nella forma integrale è:
Z
S
~
J
φ
·~ ndS =
Z
S
ρφ(
~
U·~ n)dS
| {z }
Convezione
−
Z
S
Γ
φ
(5Φ·~ n)dS
| {z }
Diffusione
=
Z
φ
q
φ
dΩ
| {z }
Sorgente
. (1.10)
Come descritto sopra, un’equazione viene applicata su ogni volume di controllo
Figura 1.3: rappresentazione schematica dei flussi
dell’intero dominio. Per ottenere un’equazione algebrica, i tre integrali devono essere
6
1.4 – Metodo ai Volumi Finiti
approssimati per mezzo delle formule di quadratura. Per l’analisi dei vari tipi di
approssimazioni è stato utile considerare l’approccio utilizzato da Peric (1.4) [5].
Figura 1.4: rappresentazione schematica dei flussi secondo Peric
1.4.1 Approssimazione degli integrali di volume: Termini
Sorgenti
L’integraledivolumesiapprossimaconsiderandoilvaloremediodelterminesorgente
q moltiplicato per il volume.
Q
p
=
Z
Ω
qdΩ =~ qΩ. (1.11)
Si può anche assumere che il valore medio è uguale a quello del nodo centrale del
volume di controllo.
Q
p
=q
p
Ω. (1.12)
Tale assunzione è veritiera se il valore esatto di q è quello vero o al massimo varia
linearmente, altrimenti lo si approssima al secondo ordine.
1.4.2 Approssimazione degli integrali di superficie
Il flusso netto che attraversa i bordi del volume di controllo si calcola sommando
sulle sei facce l’integrale di superficie del flusso totale normale j composto sia dai
contributi convettivi che diffusivi.
Z
S
~
J·~ ndS =
Z
s
j
n
dS =
X
k
Z
S
k
jdS =
X
k
ξ
k
. (1.13)
Ènecessarioavereilvaloredij sututtelefacceS
k
, maquestoèimpossibileinquanto
sipossiedonosoloivaloridiφcalcolatialnodoperciòènecessariointrodurrequalche
approssimazione.
7
1 – Introduzione generale
• L’integrale può essere approssimato mediante i valori variabili in uno o più
punti sulla faccia della cella;
• I valori nelle facce vengono approssimati in termini dei valori al nodo;
Per il primo caso:
• regola del punto medio: il valore sulla faccia è uguale a quello del suo centro
ξ =j
e
S
e
. Questa approssimazione è accurata al secondo ordine.
• regola del trapezio: il valore sulla faccia è la media tra gli estremi della faccia
(vertici della cella) condivisi con le celle limitrofe ξ
e
=S
e
1
2
(j
ne
+j
se
). Questa
approssimazione è ancora accurata al secondo ordine.
• regola di Simpson: il valore sula faccia è una combinazione del valore al centro
della faccia e i valori ai verticiξ
e
=S
e
1
6
(j
ne
+4j
e
+j
se
). Quest’approssimazione
è invece del quarto ordine.
L’ordine di accuratezza deve essere mantenuto anche se si effettua un’approssima-
zione nodale ovviamente dello stesso ordine.
1.4.3 Flusso diffusivo
Il flusso diffusivo, approssimandolo con il punto medio si ottiene:
Z
S
Γ
φ
(5φ·~ n)dS =
X
k
S
k
(ρΓ
phi
5φ)
k
=
X
k
S
k
(ρΓ
φ
)
k
(5φ)
k
. (1.14)
Per il calcolo dei gradienti ad esempio al contorno può valere, considerando la figura
sopra:
(5φ)
e
=
φ
E
−φ
P
x
E
−x
P
. (1.15)
oppure:
(5φ)
P
=
1
Ω
X
k
S
k
φ
k
. (1.16)
Interpolando poi (5φ)
P
e (5φ)
E
si trova il valore sulla faccia e.
1.4.4 Flusso convettivo
Anche qui utilizzando la regola del punto medio si ottiene:
Z
S
ρφ(
~
U·~ n)dS =
X
k
S
k
(ρφU
n
)
k
=
X
k
S
k
(ρU
n
)
k
φ
k
=
X
k
F
k
φ
k
. (1.17)
Il trasporto di phi attraverso le facce è stato calcolato in modo diretto, il problema
ora si sposta nel ricercare l’espressione di φ
k
coinvolgendo solo i valori ai nodi.
Questo è il processo cruciale per tutto il processo di discretizzazione.
8
1.5 – Equazioni di Navier-Stokes trasformate
1.5 Equazioni di Navier-Stokes trasformate
La forma differenziale delle equazioni di Navier-Stokes è [14]:
∂U
∂t
+∇·F
c
(U) =∇·F
d
(U,∇U) (1.18)
dove U è un vettore conservativo.
U =
ρ
ρu
ρv
ρw
ρE
(1.19)
dove F
c
= (F
x
c
, F
y
c
, F
z
c
) è il tensore dei flussi convettivi:
F
x
c
=
ρu
ρu
2
+p
ρuv
ρuw
(ρE +p)u
,F
y
c
=
ρv
ρvu
ρv
2
+p
ρuw
(ρE +p)v
,F
z
c
=
ρw
ρwu
ρwv
ρw
2
+p
(ρE +p)w
(1.20)
dove F
d
= (F
x
d
, F
y
d
, F
z
d
) è il tensore dei flussi dissipativi:
F
x
d
=
0
τ
xx
τ
xy
τ
xz
uτ
xx
+vτ
xy
+wτ
xz
+q
x
,F
y
d
=
0
τ
yx
τ
yy
τ
yz
uτ
yx
+vτ
yy
+wτ
yz
+q
y
,
F
z
d
=
0
τ
zx
τ
zy
τ
zz
uτ
zx
+vτ
zy
+wτ
zz
+q
z
(1.21)
e τ
ij
il tensore degli sforzi dissipativi:
τ
ij
=
τ
xx
τ
yy
τ
xz
τ
yx
τ
yy
τ
yz
τ
zx
τ
zy
τ
zz
(1.22)
Grazie all’assunzione di fluido newtoniano la matrice risulta simmetrica e una fun-
zione lineare dei gradienti di velocità.
1.6 Schemi di Differenziazione ed Interpolazione
Glischemid’interpolazionehannoloscopodiotteneredeivaloriindiversipuntioltre
ai nodi di calcolo, soprattutto se si vuole raggiungere un alto ordine di accuratezza
[5].
9
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