Un modello di crescita con tasso endogeno di fecondità

 3
trade-off tra reddito e numero di figli. Ecco quindi che l’inserimento di variabili demografiche 
in modelli con capitale umano può dirsi avvenire in maniera abbastanza “naturale”. 
 
Un’altra precisazione è necessaria quando si intende parlare di endogenizzazione dei 
comportamenti che portano all’evoluzione delle variabili demografiche. In tutti i modelli 
proposti dalla letteratura recente, infatti, si trascurano volutamente tutte quelle complicazioni 
che riguardano scelte non razionali, ma basate su strutture di tipo etico o morale e si basano le 
proposizioni dimostrabili sulla possibilità, per gli agenti rappresentativi, di avere un pieno 
controllo delle proprie facoltà riproduttive guidato esclusivamente da preferenze di natura 
economica. 
 
Questo lavoro, partendo dalla discussione dei principali contributi proposti in letteratura 
sulla relazione fra variabili economiche e variabili demografiche, si propone di studiare la 
caduta dei tasso di fecondità in un modello di ottimizzazione intertemporale. Utilizzando il 
contesto elaborato da Uzawa (1965) e reinterpretato da Lucas (1988) si introduce il numero di 
figli nella struttura delle aspettative e si ipotizza che il numero di figli penalizzi 
l’accumulazione di capitale umano e, per questa via, la formazione del reddito. E’ questo, 
evidentemente, un contesto molto semplificato; tuttavia, sulla scorta di altri lavori presenti in 
letteratura si ritiene che le informazioni teoriche che possono derivarsi siano di notevole 
interesse. 
 
 Il presente lavoro inizia con una rassegna dei diversi approcci proposti storicamente dalla 
letteratura economica per l’analisi del rapporto tra variabili economiche e variabili 
demografiche, con particolare riferimento al tasso di fecondità. Nel secondo capitolo viene 
affrontato il lavoro di ricerca vero e proprio; il modello di accumulazione di capitale umano di 
Uzawa-Lucas viene proposto con l’introduzione di alcune modifiche per consentire al tasso di 
fecondità di entrare a far parte della funzione di utilità degli agenti economici rappresentativi 
assieme al livello del consumo. Inoltre, tale tasso è inserito anche nella funzione di 
produzione del capitale umano la cui accumulazione ne risulta negativamente influenzata. Lo 
studio dello stato stazionario del modello permette di formulare alcune proposizioni sulla 
relazione fra variabili economiche e tasso di fecondità. In particolare, viene riprodotta la 
relazione tra il tasso di crescita del capitale umano, e quindi del reddito, e il tasso di fecondità. 
Le conclusioni ripercorreranno i risultati principali del lavoro. 
 4
CAPITOLO I 
 
 
LA RELAZIONE TRA CRESCITA DELLA POPOLAZIONE 
E CRESCITA ECONOMICA 
 
 
1.1 - Introduzione 
 
Questa sezione presenta una rassegna dei principali contributi offerti in letteratura a 
proposito della relazione tra la crescita economica e alcune componenti della dinamica della 
popolazione. Storicamente può dirsi, in termini molto generali, che l’iniziale attenzione per il 
nesso tra variabili demografiche e variabili economiche presente in tutta la teoria economica 
classica
2
 è andata progressivamente spegnendosi per lasciare il passo ad un sostanziale 
disinteresse per tali tematiche nelle teorie di stampo neoclassico. Ciò che accade è che, fino ad 
anni relativamente vicini, i legami fra le variabili demografiche e l’economia reale sono del 
tutto trascurati. Nel modello neoclassico, infatti, gli aggiustamenti si verificano nel tasso di 
investimento del capitale fisico e non nel tasso di crescita della popolazione, esplicitamente 
assunto come un dato esterno; lo stock di capitale fisico cresce più lentamente quando il 
reddito pro-capite supera il suo livello di equilibrio mentre aumenta più rapidamente quando il 
reddito pro-capite è al di sotto dell’equilibrio. In questo tipo di modellistica, inoltre, la forza 
lavoro è interamente rappresentata dalla popolazione che si evolve secondo un tasso di 
crescita indipendente dalle variabili del modello. 
 
Solo recentemente si può parlare di un ritorno di attenzione per le relazioni esistenti tra 
crescita della popolazione e dinamica economica anche se può dirsi che tale attenzione si sia 
orientata con maggiore enfasi verso le relazioni esistenti tra crescita economica e implosione 
della popolazione in molti paesi sviluppati, piuttosto che verso le implicazioni economiche 
derivanti dall’esplosione demografica che caratterizza molti paesi in via di sviluppo. 
Nell’ambito della “Nuova Teoria della Crescita”, infatti, sono diversi i contributi che 
“internalizzano” almeno alcune delle componenti demografiche fondamentali. Tale letteratura, 
peraltro, può essere divisa in due correnti complementari. La prima è rimasta nell’alveo della 
tradizione neoclassica, lasciando esogeno il tasso di crescita dell’economia, ma 
endogenizzando alcune variabili demografiche, mentre la seconda, allontanandosi 
progressivamente dai dettami tradizionali, ha cercato di endogenizzare sia le dinamiche della 
popolazione sia quelle della crescita economica. 
 
Qui di seguito si approfondiranno i tre approcci fondamentali alle variabili demografiche 
discussi in questo paragrafo 
 
 
1.2 - Malthus e la teoria classica della crescita 
 
L’inserimento di variabili demografiche in contesti di crescita risale alle origini della 
scienza economica e diversi fra i primi pensatori economici si sono cimentati nel derivare utili 
relazioni tra andamento della popolazione ed economia. Un posto tutto speciale fra questi 
teorici è occupato dall’opera di Thomas Malthus (1798). Per questo autore, il modo in cui le 
condizioni materiali dell’economia influiscono sulla fecondità e sulla mortalità costituisce un 
                                                           
2
 Si pensi soprattutto a Malthus (1798) e Ricardo (1815). 
 5
elemento centrale dello sviluppo economico. Secondo il suo modello, la mortalità diminuisce 
e la fecondità aumenta quando il reddito supera il livello di equilibrio, mentre l’opposto 
accade quando il reddito è inferiore a quel livello. Come conseguenza, l’equilibrio dinamico 
del modello di Malthus può considerarsi uno stato stazionario
3
 in cui il tasso di crescita della 
popolazione è determinato dal tasso di crescita dell’output. La popolazione costituisce il 
meccanismo attraverso il quale il sistema raggiunge l’equilibrio
4
.  
 
Un aspetto, spesso trascurato, del pensiero malthusiano riguarda il modo, che appare 
sorprendentemente moderno, con cui egli ha risolto il problema del legame fra generazioni 
attuali e quelle future. Egli, infatti, considera i figli come beni capitali recanti futuri servizi di 
lavoro per i genitori; pertanto, le preferenze di procreazione dei genitori non possono non 
essere considerate come variabili di scelta all’interno della loro funzione di ottimizzazione.  
 
Sempre nell’ambito della teoria classica, Ricardo (1815), riprendendo il pensiero 
malthusiano, cerca di sviluppare un modello di crescita il quale, a differenza di quello 
malthusiano, fornisce una rappresentazione più rigorosa del perché la produzione di risorse 
può aumentare solo aritmeticamente.
5
 Nulla di nuovo è però offerto circa le relazioni tra 
variabili demografiche ed economiche. 
 
A conclusione di questo paragrafo può dirsi che il pensiero classico, per quanto suggestivo, 
ha esercitato una scarsa influenza sulle moderne teorie della crescita, probabilmente perché 
esso prevedeva che l’aumento degli standard di vita avrebbe inevitabilmente condotto ad una 
crescita esplosiva della popolazione. Contrariamente a queste previsioni, infatti, eccetto che 
nel caso limite di paesi o famiglie molto poveri, gli aumenti del reddito pro-capite si sono 
universalmente accompagnati ad una riduzione dei tassi di fecondità e di mortalità, 
contraddicendo con ciò le ipotesi malthusiane.  
 
Sebbene tali riscontri storici non abbiano confermato le previsioni di Malthus, occorre 
comunque sottolineare come tale approccio al problema della determinazione endogena dei 
movimenti della popolazione ha avuto il pregio di tenere, nella dovuta considerazione, le 
relazioni fra le variabili economiche e quelle demografiche con modalità che si sono 
conservate, nella teoria economica, fino ad anni relativamente recenti.  
 
 
1.3 - L’approccio della scuola neoclassica alla popolazione e la transizione verso la 
letteratura attuale 
 
Come discusso nel paragrafo precedente, il modello di crescita neoclassico trascura ogni 
riferimento alle variabili demografiche (cfr. Solow 1956, e Cass - Koopmans 1965) e 
considera un tasso di crescita della popolazione dato e non modificabile.  
 
Per capire il contesto in cui questo avviene si consideri la funzione di produzione. La 
formulazione Cobb-Douglas può scriversi: 
 
                                                           
3
 Per stato stazionario o steady state si intende l’equilibrio di lungo periodo dell’economia.  
4
 Le idee malthusiane non sono interamente originali. Già prima di lui, un pensatore come Botero (1589) si 
espresse a proposito del fatto che la fecondità umana crescesse fin tanto ché la quantità dei mezzi di sussistenza 
lo avessero permesso. 
5
 In quest’ottica egli attribuì un ruolo significativo alla scarsezza delle terre coltivabili e alla legge dei rendimenti 
decrescenti. 
 6
αα −
=
1
tt
LKY  
 
dove 
t
K  è lo stock di capitale fisico, 
t
L  rappresenta il fattore lavoro, α  è una costante 
compresa tra zero e uno. Solo il caso dei rendimenti costanti di scala è consentito, mentre a 
livello di singolo fattore produttivo vale la legge dei rendimenti decrescenti. La variazione 
dello stock di capitale, che indichiamo come 
dt
dK
K =
•
, è data dall’investimento netto, cioè dal 
risparmio meno il deprezzamento. In termini analitici abbiamo: 
 
tttt
KLsKK δ
αα
−=
−
•
1
 
 
dove s rappresenta la propensione marginale al risparmio e δ  è il tasso di ammortamento del 
capitale. A questo punto, il modello neoclassico suppone che la popolazione cresca ad un 
tasso esogeno 
L
L
n
•
=  e che sia tutta impiegata nel processo produttivo. Se si definisce la 
variabile 
t
t
t
L
K
k =  come il rapporto capitale-lavoro o semplicemente come lo stock di capitale 
pro-capite si può, dopo derivazione rispetto al tempo, ottenere la seguente formula : 
()
tt
t
ttt
t
t
knsk
L
LKLK
k +−=
−
=
••
•
δ
α
2
 
 
la quale rappresenta le modalità con le quali il livello del capitale pro-capite 
t
k  si aggiusta nel 
tempo. L’equazione mostra che il capitale per lavoratore viene ridotto dalla crescita della 
popolazione in modo del tutto analogo a come esso viene ridotto dagli ammortamenti. Gli 
ammortamenti riducono 
t
k  in quanto una parte del capitale giunge al termine della sua vita 
economica, mentre la crescita della popolazione riduce 
t
k  in quanto lo stock di capitale deve 
essere rapportato a una popolazione più grande. Dividendo la precedente equazione per 
t
k , si 
ottiene la seguente espressione che rappresenta il tasso di crescita del capitale pro-capite: 
 
()nsk
k
k
t
+−=
−
•
δ
α 1
 
 
Ora, essendo lo stato stazionario
6
 quello stato in cui tutte le variabili crescono ad un tasso 
costante, possiamo porre 0=
•
k
k
 per ottenere l’espressione:  
 
()nsk
t
+=
−
δ
α 1
  
 
                                                           
6
 Essendo lo stato stazionario  l’equilibrio di lungo periodo dell’economia, quale che sia il livello iniziale di 
capitale, l’economia finirà col pervenire allo stato uniforme dove 0=
⋅
k  e 
∗
= k
t
k . 
 7
dalla quale si evince come nello stato uniforme il risparmio 
1−α
t
sk  sia tale da consentire il 
mantenimento del livello di capitale pro-capite. 
 
Nello stato stazionario con tasso di crescita della popolazione pari a n, la quantità di 
capitale per lavoratore di stato stazionario, 
∗
k , e il prodotto per lavoratore di stato stazionario, 
∗
y , rimangono invariati. Poiché la popolazione e quindi il numero dei lavoratori cresce a un 
tasso n, il capitale totale e il prodotto totale dovranno anch’essi aumentare al tasso n. In questa 
situazione, è evidente che il tasso di crescita della popolazione ha solamente un ruolo 
“passivo” nel determinare il tasso di crescita del prodotto totale e non ha nessuna possibilità di 
contribuire all’aggiustamento dell’economia sulla stato stazionario.  
 
Come già anticipato nel paragrafo precedente, con l’avvento delle nuove teorie della 
crescita e con la tendenza a spiegare all’interno dei modelli un numero sempre crescente di 
variabili, è andato crescendo l’interesse per contributi che cercano di inserire anche variabili 
demografiche nel complesso meccanismo della crescita economica. Il lavoro di Becker (1960) 
può essere considerato come il primo serio tentativo in questo senso. Formalmente, Becker 
introduce un tasso endogeno di fecondità nella funzione di scelta dei genitori. Egli riconosce 
che i genitori manifestano preferenze sia per la quantità che per la qualità della loro 
discendenza, intesa come un “bene di consumo”, che, al pari degli altri beni obbedisce alle 
leggi economiche della domanda e dell’offerta.  
 
 
1.4 - Modelli con popolazione endogena e tasso di crescita esogeno 
 
 E’ da sottolinearsi come l’inserimento delle variabili demografiche nella modellistica 
economica è avvenuto dapprima all’interno del modello tradizionale solowiano che vedeva il 
progresso tecnologico esogenamente determinato e solo successivamente all’interno della 
nuova modellistica sulla crescita, dove, invece, anche il tasso di crescita dell’economia è 
determinato dalle scelte ottimali effettuate dagli agenti rappresentativi. 
 
La letteratura che ha considerato la fecondità come una variabile endogena ha indagato 
sulle possibili relazioni che questa variabile demografica può avere, da una parte, con i diversi 
aspetti della crescita economica e, dall’altra, con il livello della salute degli agenti 
rappresentativi.  
 
Limitando la nostra analisi al ruolo della fecondità e alle sue relazioni con i principali 
aspetti della dinamica della crescita, un ruolo importante è ricoperto, in questa letteratura, 
dalla funzione obiettivo dei genitori. Così come indicano Malthus (1798) e Becker (1960), due 
sono le ragioni di fondo che possono spingere agenti rappresentativi razionali a mettere al 
mondo dei figli. Una ragione riguarda la possibilità che i figli possano apportare benefici 
materiali o psicologici alla famiglia. L’altra ragione ha a che fare, invece, col fatto che la 
discendenza viene inserita nella funzione di utilità da massimizzare alla stregua di qualsiasi 
altro bene di consumo. I benefici materiali sono di due tipi: i figli possono contribuire al 
bilancio familiare con il lavoro oppure fungere come una sorta di assicurazione, non 
necessariamente economica, per i genitori durante la vecchiaia. Anche i benefici di tipo 
psicologico possono essere di diverso tipo e ciò dipende dal modo in cui i figli entrano nella 
funzione di utilità dei genitori.
7
  
                                                           
7
 Si parla in tal caso di  motivo “puramente altruistico”.  
 8
A seconda del motivo che spinge i genitori a mettere al mondo dei figli, gli autori 
appartenenti a questa corrente, derivano relazioni di tipo diverso tra le variabili demografiche 
ed economiche. Tra questi il Leibenstein (1963) è uno dei primi a rilevare come i programmi 
di sicurezza sociale forniti dallo stato alle famiglie, in quanto alternativi al possibile supporto 
fornito dai figli nell’anzianità, possano ridurre il tasso di fecondità. Cain (1983) sviluppa una 
“Teoria del comportamento dei genitori” secondo la quale il numero di figli è deciso dai 
genitori in funzione dei benefici materiali che essi possono apportare durante la vecchiaia. 
Secondo l’autore, la percezione del numero minimo ottimale di figli, necessario per assicurare 
loro un sostegno durante la vecchiaia, dipende da diversi fattori: la probabilità che hanno i 
figli di raggiungere l’età adulta per poter fornire un adeguato supporto, l’aspettativa di un 
adeguato livello di tale supporto e la disponibilità di altre fonti di sostegno alternative ai figli. 
Becker (1988) propone un modello che analizza le modalità del trade-off tra numero dei figli, 
qualità degli stessi (in termini di capitale, umano o fisico, investito) e livello dei consumi; le 
scelte dei valori ottimali del consumo, del numero dei figli e della quantità del capitale 
investito in ciascun figlio, da parte di genitori altruisti, avvengono tenendo conto dei costi 
necessari per l’allevamento dei figli e della dipendenza della loro utilità da quella dei loro 
figli. Becker e Barro (1988) ipotizzano una funzione di utilità “dinastica” dove genitori 
altruisti verso i figli effettuano le loro scelte di fecondità e consumo ottimali. Da questa 
assunzione segue che, in un’economia aperta, la fecondità dipende positivamente dal tasso di 
interesse reale di lungo periodo, dal livello di altruismo e dalle probabilità di sopravvivenza 
dei figli, e negativamente dal tasso di crescita del progresso tecnico. Barro e Becker (1989) 
considerano invece una economia chiusa in cui genitori altruisti effettuano la scelta sulla 
dimensione familiare tenendo conto dei livelli dei consumi, dei risparmi, del tasso di interesse 
e dei trasferimenti intergenerazionali. Willis (1989) sviluppa un approccio teorico che può 
essere utilizzato per sottoporre a tesi l’ipotesi che i figli fungano da assicurazione contro la 
vecchiaia. Egli si aspetta di osservare una predominanza di questo motivo laddove vi sia 
incertezza sulla longevità dei figli e il mercato delle rendite sia imperfetto. In questo caso, i 
genitori dipenderebbero, durante la vecchiaia, in parte dai loro risparmi e in parte dai loro 
figli. Di qui l’ipotesi che l’imperfezione del mercato delle rendite avrebbe l’effetto di 
incoraggiare la fecondità. 
 
Indipendentemente dal fatto che il motivo principale che spinge i genitori a mettere al 
mondo i figli sia puramente altruistico oppure sia rappresentato dall’aspettativa di benefici 
materiali o psicologici che facciano da assicurazione durante la vecchiaia, la qualità dei figli 
costituisce una variabile di scelta dei genitori che influisce sul tasso di fecondità. Per qualità 
dei figli si intende il livello di capitale umano da essi posseduto. Molti autori considerano 
necessario, infatti, considerare congiuntamente la qualità e la quantità dei figli come variabili 
di scelta dei genitori. Considerare l’una senza l’altra genererebbe fuorvianti conclusioni circa 
le relazioni esistenti tra variabili demografiche e crescita economica. La prima sistematica 
analisi dell’interazione tra qualità e quantità dei figli è offerta da Becker e Lewis (1973). Essi 
considerano il caso di genitori che massimizzano una funzione di utilità in cui la qualità e la 
quantità dei figli sono variabili distinte di scelta. Questo modello offre una semplice 
spiegazione del fatto che la fecondità può essere correlata negativamente con il livello del 
reddito. Invece di sottolineare il ruolo del livello del capitale umano dei figli, Eckstein e 
Wolpin (1985) pongono l’accento sul ruolo giocato dal livello di capitale umano dei genitori. 
Essi considerano il caso di genitori che non effettuano alcun  investimento di capitale umano 
nei loro figli e assumono che l’utilità dei genitori dipende dal livello del consumo e dal 
numero di figli ma non dalla qualità di questi ultimi. Sotto l’assunzione che il reddito pro-
capite cresce continuamente a causa della accumulazione di capitale umano, il loro modello 
genera uno scenario di prima crescente e poi calante tasso di fecondità, spiegando perciò una 
 9
delle caratteristiche della nota “Transizione Demografica”. Galor e Weil (1996) analizzano un 
meccanismo originale che lega il tasso di fecondità alla crescita: la scelta del tasso di 
fecondità ottimale è una funzione dei livelli dei salari relativi degli uomini e delle donne. Da 
qui, più alti salari per le donne elevano i costi opportunità per l’allevamento dei figli più di 
quanto non contribuiscano ad aumentare il reddito familiare. Ciò comporta una riduzione del 
numero dei figli che le coppie scelgono di avere.  
 
 
1.5 - Modelli con popolazione e crescita endogeni 
 
L’approccio seguito dai modelli con popolazione e crescita endogeni si basa sul tentativo di 
spiegare il processo di crescita dell’economia introducendo la dinamica demografica e il 
comportamento degli operatori economici. Notevole, infatti, è l’interesse manifestato verso le 
decisioni di procreazione delle famiglie rispetto alla quantità e alla qualità della prole, ai 
trasferimenti intergenerazionali (tenendo conto delle aspettative circa i futuri tassi di 
rendimento), ai redditi e ai prezzi, incorporando queste variabili in un modello di equilibrio 
generale e dinamico.  
 
In questo senso si spiega l’interesse manifestato verso l’analisi delle cause che hanno 
portato le economie più sviluppate da uno stato di stagnazione dei redditi, con alta fecondità e 
mortalità, verso un regime di crescita persistente in cui, prima la mortalità, poi la fecondità, 
sono calate. Un fenomeno questo, noto come “Transizione Demografica”.  
    
I primi tentativi di spiegare il fenomeno della transizione demografica sono stati rilevanti 
nella loro acutezza ma incompleti. Tra questi citiamo il Notestein (1945) il quale ritiene che la 
fecondità sia stata alta nella società antecedente quella moderna a causa dei convincimenti 
religiosi e dei codici morali. Una alta fecondità è poi necessaria per contrastare un alto tasso di 
mortalità.  
 
Ancora più importante è, forse, il tentativo di studiare le relazioni che possono sussistere 
tra le variabili demografiche e la produzione di capitale umano. In questo filone di ricerca 
citiamo: Becker, Tamura e Murphy (1990) i quali cercano di dimostrare come il diverso tasso 
di fecondità di un paese influisce sul rendimento del capitale umano del paese stesso. Ciò 
costituisce il primo vero tentativo di offrire un modello di crescita in cui le variabili 
demografiche influenzano quelle economiche e sono, contemporaneamente, da queste 
influenzate. Questo lavoro fornisce, forse per la prima volta, una spiegazione plausibile e 
fondata sul comportamento ottimizzante degli individui della transizione demografica; Ehrlich 
e Lui (1991) offrono un approccio alternativo del rapporto che lega i genitori ai figli: 
all’interno di un modello con generazioni sovrapposte le decisioni di investimento circa 
l’entità dell’investimento in capitale umano verso i figli derivano da una combinazione di 
altruismo e di valutazione dell’interesse personale. Il capitale umano costituisce, in questo 
modello, il motore della crescita; Galor e Weil (1998) sviluppano un modello che riproduce 
l’evoluzione della relazione tra crescita della popolazione, progresso tecnico e standard di 
vita. Il cuore del modello si basa su una spiegazione originale del motivo per cui i genitori 
preferiscono investire in qualità piuttosto che nella quantità dei loro figli. Secondo Galor e 
Weil ciò avviene non per effetto di un determinato ed elevato livello dei redditi, bensì in 
risposta ad un “disequilibrio” innescato dal progresso tecnico che alza il tasso di rendimento 
dell’investimento in capitale umano, inducendo così alla sostituzione della qualità rispetto alla 
quantità dei figli.  
 10
CAPITOLO II 
 
 
UN MODELLO DI CRESCITA  CON TASSO ENDOGENO DI 
FECONDITÀ 
 
 
2.1 – Introduzione 
 
Il lavoro di Uzawa-Lucas (1988) sulla “meccanica dello sviluppo economico”, riproduce 
un sistema economico chiuso con orizzonte temporale continuo e infinito, con due settori 
produttivi. Nel primo settore si ha la produzione del bene fisico. Nel secondo settore, invece, 
si ha la produzione di capitale umano. La produzione del secondo settore viene realizzata 
utilizzando, come input, il capitale umano già accumulato e il tempo trascorso nello studio. 
Possiamo interpretare il capitale umano come una misura del livello di istruzione dei soggetti: 
un lavoratore dotato di capitale umano pari ad 
1
h  è, da un punto di vista produttivo, preferibile 
ad un lavoratore dotato di capitale umano pari a 
2
h , con 
21
hh > . Si tratta di un’espressione 
qualitativa del fattore lavoro che dal punto di vista formale si traduce in un fattore produttivo 
distinto dal bene fisico. Ciò comporta alcune conseguenze rilevanti: l’esistenza di due 
funzioni di produzione, una per il fattore produttivo fisico ed una per il  capitale umano, e la 
difficoltà di analisi che si crea nella dinamica del modello verso il raggiungimento dello stato 
stazionario. Una volta raggiunto lo stato stazionario, il rapporto tra i due fattori deve rimanere 
costante. Se questo non avviene, con il tendere del tempo all’infinito, il rapporto varia e uno 
dei due fattori inevitabilmente si annulla; in questo modo l’economia torna ad avere un solo 
settore. 
 
Un elemento fondamentale, che ha reso questo modello una fonte di fruttuose discussioni 
in letteratura, riguarda la considerazione di una tecnologia lineare nella funzione di 
produzione del capitale umano. 
 
L’esternalità
8
 viene ormai riconosciuta come uno dei fattori per ottenere funzioni di 
produzione che esprimono rendimenti costanti rispetto ai fattori accumulabili e rendimenti di 
scala crescenti rispetto a tutti i fattori. Ciò viene riconosciuto come un fattore chiave per avere 
crescita endogena. In realtà, nel lavoro di Lucas, essa non costituisce un fattore strettamente 
necessario per avere crescita endogena, come avviene peraltro in altri modelli  quali quello di 
Barro della spesa pubblica (1990) o il modello “Learning by Doing” di Romer (1986). Nel 
modello di Lucas, inoltre, tale fattore produttivo è presente anche nel primo settore. 
 
 
2.2 – Un modello di crescita con tasso endogeno di fecondità 
 
Si consideri un sistema economico chiuso composto da due settori produttivi con orizzonte 
temporale continuo e infinito. La produzione del primo settore, 
f
t
y , può essere utilizzata sia 
                                                           
8
 L’esternalità consiste in un fattore di produzione la cui presenza i singoli agenti del mercato non sono in grado 
di individuare ma che produce ugualmente degli effetti sulla produzione; tali effetti possono essere positivi o 
negativi. 
 
 11
per il consumo sia per gli investimenti e viene ottenuta utilizzando capitale fisico, 
t
k , e 
capitale umano, 
t
h , secondo la seguente funzione: 
 
()
h
t
ttt
f
t
h
huAky
γαα
∧
−
=
1
 
 
dove f , all’apice, sta per final ed indica il settore finale, A è un parametro tecnologico, α  è 
l’elasticità della produzione rispetto al fattore produttivo fisico, 
t
u è la frazione di capitale 
umano dedicata alla produzione nel settore del capitale fisico, 
t
h
∧
 può essere considerato un 
valore medio di capitale umano presente nel sistema economico, infine 
h
γ  è un fattore di 
esternalità sul capitale umano, cioè un elemento che l’agente economico privato non 
percepisce nella sua entità, in quanto pur sapendo che è presente nel sistema non riesce ad 
identificarlo, a differenza del pianificatore sociale. 
 
Tenendo conto del consumo, 
t
c , il vincolo dell’accumulazione del capitale fisico sarà il 
seguente: 
 
()
t
h
t
tttt
f
tt
c
h
huAkcyk −=−=
∧
−
•
γαα 1
     (2.P/1) 
 
Ai lavoratori, dopo aver dedicato la frazione 
t
u  del loro tempo alla produzione del capitale 
fisico, rimane la frazione ()
t
u−1  da dedicare alla produzione del capitale umano che cresce 
secondo la seguente legge: 
 
()
ε
δ
−
•
−== nuhyh
tt
e
t
t
1        (2.P/2) 
 
dove e , all’apice, sta per education e indica il settore della produzione di conoscenza o del 
capitale umano, δ  è un parametro tecnologico,  n  indica il numero dei figli ed 0>ε  
rappresenta l’elasticità della produzione del capitale umano rispetto alla fecondità. Si noti che 
le due funzioni di produzione sono considerate, per semplicità, al netto del deprezzamento. 
Per ragioni di maggiore chiarezza espositiva, in ciò che segue, faremo cadere il pedice t. 
 
Le preferenze dei singoli operatori economici sono rappresentate dalla seguente funzione di 
utilità logaritmica: 
 
dtenc
t
tntutc
ρ
θθ
−
∞
−+


]ln)1(ln[
max
0
)(),(),(
      (2.P/3) 
 
con 0≥
t
c , 0≥
t
k , 0≥
t
h , 0≥
t
n , dove θ  rappresenta il peso del consumo nella funzione di 
utilità degli agenti economici e ()θ−1  rappresenta quello del numero dei figli; ρ  è un fattore 
positivo di sconto.  
 
 La soluzione del problema (2.P/i) con i=1,2,3, può determinarsi attraverso la costruzione 
dell’Hamiltoniano in valore corrente, il quale ci consente di trovare il sentiero di crescita 
ottimale costituito dalla combinazione di k, c, h, u ed n  che massimizza (2.P/3), rispettando i 
 12
vincoli (2.P/1) e (2.P/2), date le condizioni iniziali () ()
00
0,0 hhkk == . Si definiscano tutti i 
parametri come )θαρεγδω ,,,,,,
h
A≡  Ω∈ , dove ()1,0
42
××∈Ω
+++
RR . 
 
 
2.3 - Soluzione di mercato 
 
 Poiché siamo interessati alla soluzione competitiva, l’agente rappresentativo percepisce 
∧
h  
come un dato. Il seguente Hamiltoniano in valore corrente ci consente di massimizzare il 
problema dell’agente rappresentativo:  
 
 ()[]() ( )[]
ε
γαα
δλλθθ
−
∧
−
−+







−+−+= nuhchuhAKncH
h
1ln1ln
2
1
1
  (2.3) 
 
dove 
1
λ  e 
2
λ   rappresentano i prezzi ombra, rispettivamente, del capitale fisico e del capitale 
umano. Le variabili di controllo sono u, c ed n, mentre le variabili di stato sono k e h.  
 
Per la risoluzione di questo tipo di problema di massimizzazione occorre calcolare prima di 
tutto le condizioni del primo ordine. In particolare si dovrà porre: 
a) le derivate dell’Hamiltoniano rispetto alle variabili di controllo uguali a zero; 
b) le derivate dell’Hamiltoniano rispetto ai moltiplicatori di Lagrange uguali alla 
variazione delle variabili di stato; 
c) le derivate dell’Hamiltoniano rispetto alle variabili di stato uguali al moltiplicatore per 
il tasso di sconto intertemporale meno la variazione del moltiplicatore stesso. Nel caso 
dell’Hamiltoniano (2.3) avremo: 
 
0=
∂
∂
c
H
 ;  
1
1
λθ =
−
c       (2.4) 
 
0=
∂
∂
n
H
 ;   () ()
ε
δελθ
−
−=− nuh 11
2
    (2.5) 
 
0=
∂
∂
u
H
 ;   ()
ε
γααα
δλαλ
−
∧
−−
=− nhhhuAk
h
2
11
1
1   (2.6) 
 
•
=
∂
∂
k
H
1
λ
 ;   () chuhAkk
h
−=
−
•
γαα 1
    (2.7) 
 
•
=
∂
∂
h
H
2
λ
 ;   ()
ε
δ
−
•
−= nuhh 1      (2.8) 
 
•
−=
∂
∂
11
λρλ
k
H
;    ()[]
h
huhkA
γαα
αλρλλ
−
−
•
−=
1
1
111
 (2.9) 
  
 
•
−=
∂
∂
22
λρλ
h
H
 ;    ()[]()[]
εγααα
δλαλλρλ
−−−
•
−−−−= nuhuhAk
h
11
2
1
122
 (2.10) 
 
 13
Il modello è consistente solo se si pone hh =
∧
, per cui, sostituendo, si può riscrivere come 
segue: 
 
()
εγααα
δλαλ
−+−−
=− nhhuAk
h
2
11
1
1       (2.6-bis) 
 
k
c
huAk
k
k
h
−=
+−−−
•
γααα 111
       (2.7-bis) 
 
()
ε
δ
−
•
−= nu
h
h
1          (2.8-bis) 
 
[]
h
huAk
γααα
αλρλλ
+−−−
•
−=
111
11
1
      (2.9-bis) 
 
()[]()[]
εααγα
δλαλρλλ
−−−
•
−−−−= nuuhAk
h
11
2
1
122
   (2.10-bis) 
 
più le due condizioni di trasversalità
9
: 
 
 0)()(lim
1
=
−
∞→
tkte
t
t
λ
ρ
          (T1) 
 
0)()(lim
2
=
−
∞→
thte
t
t
λ
ρ
          (T2) 
 
Le condizioni di trasversalità (T1) e (T2) rendono definita la soluzione che altrimenti 
resterebbe solo generale. Esse, infatti, servono ad individuare, fra tutte le possibili traiettorie 
che soddisfano il sistema canonico, quella particolare traiettoria che, date le condizioni iniziali 
() ()
00
0,0 hhkk == , è in grado di massimizzare il problema dell’agente rappresentativo 
ovvero di condurre all’equilibrio di stato stazionario.  
 
Posto che le condizioni del primo ordine sono necessarie, ma non sufficienti, per stabilire 
che l’eventuale soluzione che si troverà sia un massimo, si procede a calcolare le condizioni 
del secondo ordine (Vedi discussione in Appendice Matematica 4.1). Dal calcolo delle 
derivate seconde si evince che le condizioni del secondo ordine discriminano una condizione 
di massimo se vengono rispettate le condizioni ()1<α , ()1<u  e 







+
<
α
α
1
u . In tale caso il 
problema dell’agente rappresentativo è effettivamente massimizzato.  
 
 
 
 
                                                           
9
 Per essere precisi, la condizione di trasversalità dovrebbe essere scritta nel modo seguente: 
                                   () () () ()[ ] 0lim
21
=+
−−
∞→
thtetkte
tt
t
λλ
ρρ
 
Appare chiaro che il soddisfacimento contemporaneo  di (T1) e (T2),  implica a fortiori anche questa condizione 
singola. 
 14
2.3.1 -  Studio dello stato stazionario 
  
Con l’aggiunta del tasso di fecondità nella funzione di utilità nella funzione di produzione 
del capitale umano, si ha a che fare con tre variabili di controllo. L’analisi dello stato 
stazionario si baserà sulla utilizzazione delle condizioni del primo ordine, la cui combinazione 
permetterà di ottenere le soluzioni di equilibrio della frazione del tempo di lavoro spesa nella 
produzione del reddito e del tasso di fecondità. Inoltre, una volta determinati i tassi di crescita 
di stato stazionario del capitale umano e del reddito, sarà possibile analizzare le relazioni 
esistenti con il tasso di fecondità.  
 
Dalla prima delle condizioni del primo ordine sull’Hamiltoniano (2.4), calcolando i 
logaritmi e le derivate rispetto al tempo, si ottiene il tasso di crescita di stato stazionario del 
consumo: 
 
1
1
λ
λ
ξ
••
−==
c
c
c
(2.11)
 
Dalla condizione sull’Hamiltoniano (2.9), dividendo tutte e tre gli addendi per il  
valore 
1
λ , si ottiene la seguente espressione:  
 
αγαα
λ
αρ
λ
λ
ξ
−+−−
•
−==
h
huAk
111
1
1
1
      (2.12) 
 
che rappresenta il tasso di crescita di stato stazionario del prezzo ombra del capitale fisico. 
Sostituendo la (2.12) nella (2.11) si  ottiene il tasso di crescita del consumo di stato 
stazionario
10
: 
 
ραξ
γααα
−==
+−−−
•
h
c
huAk
c
c
111
      (2.13) 
 
La condizione del primo ordine sull’Hamiltoniano (2.7) rappresenta il vincolo di bilancio 
intertemporale dell’agente rappresentativo che percepisce l’esternalità come un dato. 
Applicando il principio di consistenza e dividendo tale espressione per k, si ottiene 
l’espressione (2.7-bis) che esprime il tasso di crescita del capitale fisico di stato stazionario 
che indichiamo con il simbolo 
k
ξ : 
 
k
c
huAk
k
k
h
k
−==
+−−−
•
γααα
ξ
111
      (2.7-bis) 
 
                                                           
10
 Questo tasso di crescita del consumo non presenta il moltiplicatore 
σ
1
 , pari all’elasticità intertemporale di 
sostituzione, come nel  modello standard di Lucas originario, in quanto essendo in questo caso la funzione di 
utilità di tipo logaritmico, essa presenta  1=σ . 
 
 15
L’equazione (2.8) rappresenta l’equazione di moto del capitale umano. Dividendo questa 
espressione per h si ottiene l’espressione (2.8-bis) che esprime il tasso di crescita del capitale 
umano. Si indichi questo con il simbolo 
h
ξ : 
 
()
ε
δξ
−
•
−== nu
h
h
h
1         (2.8-bis) 
 
 Dati i tassi di crescita precedentemente illustrati, può enunciarsi la seguente proposizione: 
 
Proposizione 1. Nello stato stazionario vale l’uguaglianza: 
 
kc
ξξξ ==          (2.14) 
 
Dimostrazione:  
 
Dalla relazione (2.13) che definisce il tasso di crescita del consumo, si ottiene la seguente 
espressione equivalente:  
 
 
h
c
huAk
γααα
α
ρξ
+−−−
=
+
111
       (2.13-bis) 
 
che sostituita nell’equazione (2.7-bis), da luogo alla seguente relazione: 
 
k
c
k
k
c
k
−
+
==
•
α
ξρ
ξ         (2.15) 
 
Poiché nello stato stazionario 
c
ξ  e  
k
ξ  sono costanti , ne deriva che : 
 
=−
+
=
k
c
k
c
ξ
α
ξρ
costante       (2.16) 
 
da cui applicando le derivate e i logaritmi si ha: 
 
kc
k
k
c
c
ξξ ===
••
         (2.17) 
Q. E. D. 
 
Data la proposizione 1 e le condizioni (2.13-bis)-(2.17), nello stato stazionario, consumo e 
capitale devono crescere ad uno stesso tasso. L’inserimento del tasso di fecondità n all’interno 
della funzione di produzione del capitale umano e nella struttura delle preferenze degli agenti 
rappresentativi non comporta differenze, a proposito della relazione di equivalenza tra i tassi 
di crescita del consumo e del capitale fisico, rispetto al modello di Lucas. 
 
Determinati i tassi di crescita del consumo (2.13) e del capitale fisico (2.7-bis) di stato 
stazionario e, dopo aver dimostrato che essi devono crescere ad uno stesso tasso, si procede 
calcolando il tasso di crescita del capitale umano. A tal fine, indicato questo con il simbolo 
h
ξ , può darsi il seguente lemma: 
 16
 
Lemma 2. Se vi è una esternalità positiva, cioè per 0>
h
γ , la seguente relazione lega, nello 
stato stazionario, il tasso di crescita del capitale umano a quello del capitale fisico:  
 
()
()
k
h
h
ξ
γα
α
ξ
+−
−
=
1
1
        (2.18) 
 
Dimostrazione:  
 
 Si parta dalla relazione (2.13-bis) che, come già detto, definisce il tasso di crescita del 
consumo: 
 
 
h
c
huAk
γααα
α
ρξ
+−−−
=
+
111
 
 
calcolando i logaritmi e le derivate, se u è costante, si ottiene la seguente relazione
11
: 
 
()
k
k
h
h
h
••
+−
−
=
γα
α
1
1
 
 
la quale è equivalente alla (2.18). 
Q. E. D. 
  
 La relazione (2.18) pone in evidenza il ruolo dell’esternalità positiva sul capitale umano. 
Per 0=
h
γ , i tre tassi di crescita del capitale umano, del capitale fisico e del consumo 
coinciderebbero. Anche in questo caso la presenza del tasso di fecondità non comporta alcuna 
differenza rispetto ai risultati ottenuti dal modello Uzawa-Lucas. 
 
 Per ottenere il tasso di crescita di stato stazionario del prezzo ombra del capitale umano si 
parta dalle due condizioni del primo ordine sull’Hamiltoniano (2.6-bis) e (2.10-bis). 
Combinando le due condizioni si perviene al seguente risultato
12
: 
 
 
ε
λ
δρ
λ
λ
ξ
−
•
−== n
2
2
2
        (2.19) 
 
 Questo risultato mostra che il prezzo ombra del capitale umano diminuisce secondo un 
tasso che è funzione della tecnologia presente nella produzione di capitale umano δ , del 
numero dei figli n e dell’elasticità della produzione di capitale umano rispetto alla fecondità, 
ε ; si noti come nel caso del modello di Uzawa-Lucas l’assenza del numero dei bambini e la 
relativa non considerazione dell’elasticità, contribuiscono a determinare un tasso di crescita 
del prezzo ombra del capitale umano pari, semplicemente, al valore negativo di δ . 
 
Lemma 3. La seguente relazione esprime il tasso di crescita del capitale umano in funzione 
dei parametri del modello: 
 
                                                           
11
 Vedi Appendice Matematica 4.2 
12
 Vedi Appendice Matematica 4.2. 
 17
 ρδξ
ε
−=
−
n
h
         (2.0) 
 
Dimostrazione: 
 
 Segue dalla combinazione delle relazioni (2.6-bis); (2.12), (2.14)e (2.19)
13
.  
 
            Q. E. D
 
 Evidentemente, ai fini di una determinazione completa dei parametri, in funzione dei quali 
è determinato il tasso di crescita del capitale umano nello stato stazionario, occorre pervenire 
al valore di 
∗
n che esprime il numero dei figli di equilibrio. Dalla (2.20) può darsi, comunque, 
la seguente proposizione: 
 
Proposizione 3. 
 
Nello stato stazionario il tasso di crescita del capitale umano, dipende positivamente dal 
parametro che indica la tecnologia del settore δ  e, negativamente, dal tasso di sconto 
intertemporale ρ , dal tasso di fecondità di stato stazionario 
∗
n  e dall’elasticità della 
produzione di capitale umano rispetto a tale tasso, ε .  
 
Dimostrazione: 
 
Segue direttamente dalla dimostrazione del lemma 3.  
Q. E. D.  
 
 Dalla considerazione del lemma 3 e della proposizione 3, a parità di valori assunti dai 
parametri δ  e ρ , il numero dei figli 
∗
n , rappresentante il numero ottimale dei figli scelto 
dagli agenti rappresentativi
14
 e il valore assunto dall’elasticità nel settore della produzione di 
capitale umanoε , influiscono sull’accumulazione di capitale umano. La relazione (2.20) 
mostra che la scelta di una prole più numerosa penalizzerebbe la produzione di nuovo capitale 
umano. Effetti analoghi sortirebbero per valori più elevati del parametro ε : per valori 
crescenti dell’elasticità della produzione di capitale umano rispetto al numero dei figli si 
determinerebbero valori più bassi del tasso di crescita del capitale umano. 
 
Dal momento che, da quanto detto in sede di presentazione iniziale del modello, la 
produzione del primo settore 
f
t
y  è ottenuta utilizzando capitale fisico k e capitale umano h, 
dalla considerazione del lemma 3, relazione (2.20), si evince come il numero dei figli di stato 
stazionario 
∗
n  influisce, indirettamente, sulla produzione del reddito; da quanto detto, può 
darsi il seguente lemma:  
 
Lemma 4. Nello stato stazionario, la seguente funzione esprime il tasso di crescita del 
reddito: 
 
()
()
[]()[]ρδαρδ
α
γα
αξ
εε
−−+−
−
+−
=
−∗−∗
)(1)(
1
1
nn
h
y
   (2.21) 
 
                                                           
13
 Vedi Appendice Matematica 4.2. 
14
 Vedi anche Becker, Tamura e Murphy (1990).