Un'estensione temporale delle logiche descrittive fuzzy

un’estensione temporale delle logiche descrittive fuzzy 
 verso  f _ +(D) 
 
Politecnico di Milano  4   marco furlan 2006/2007 
 
un’evoluzione temporale, globale oppure individuale. Non esiste settore che non offra esempi. 
Nel campo sanitario, i medici sono spesso più interessati all’andamento nel tempo dei fattori 
fisiologici (pressione, glicemia, temperatura ecc.), piuttosto che ai singoli valori istantanei. Nel 
campo ecoambientale, si discute di riscaldamento globale: interessa poco la singola temperatura 
della singola località, ma più l’evoluzione nel tempo delle temperature di un campione 
significativo di località. Nel campo del controllo automatico, esistono sistemi intrinsecamente 
dinamici. In un sistema preda – predatori, interessa sapere se il predatore si avvicina alla preda o, 
ancor più, se una determinata parte dei predatori si avvicina alla preda. 
Il mio approccio, valido per le logiche crisp, si applica facilmente alle logiche fuzzy e in esse si 
arricchisce. Le logiche fuzzy sono un’estensione delle logiche tradizionali aristoteliche (dette 
anche crisp), quelle del vero-falso e terzo escluso, dove ogni elemento appartiene ad un concetto 
oppure non vi appartiene, cioè vi appartiene con valore 0 o 1, in modo esclusivo. Nelle logiche 
fuzzy sono permessi invece diversi gradi d’appartenenza, compresi tra 0 e 1, e quindi sono 
ammessi concetti dai contorni sfumati, assai vicini all’intendere umano, quali Vicino, Giovane 
ecc., e che hanno difficoltà ad essere espressi nelle logiche crisp. 
Il mio intento è stato dunque ricercare un modo nuovo di esprimere alcune classi di concetti fuzzy 
contenenti il divenire, inteso come passaggio da un concetto ad un altro, quali Caduto, 
Avvicinato, Riscaldato ecc., e di ottenere altri concetti più complessi, che potessero esprimere gli 
andamenti di crescenza, decrescenza o costanza e le relative deviazioni od oscillazioni 
nell’appartenenza ad uno stesso concetto di base. Inoltre, ho voluto considerare i quantificatori 
fuzzy, che già esistono in alcune logiche fuzzy, e li ho estesi temporalmente, ottenendo i 
quantificatori temporali, che corrispondono agli avverbi di tempo nel linguaggio parlato: Spesso, 
A volte, Solitamente, Circa2voltesu3 ecc. 
In un sistema così descritto, numerose sono le query possibili a semantica del tutto originale. 
 
1.2  Contributi originali 
 
Esistono in letteratura alcune estensioni temporali di alcune DL; il mio approccio, tuttavia, ha 
caratteristiche originali. Nella maggior parte delle pubblicazioni, il tempo non entra a far parte 
interna dell’ontologia, ma è l’interpretazione, che è esterna all’ontologia e ne definisce la 
semantica, ad essere dipendente dal tempo. Inoltre, a mia conoscenza, non esiste un’estensione 
temporale fuzzy organicamente strutturata. 
Il mio approccio mantiene la struttura di base delle DL statiche: in particolare, prende in 
considerazione le logiche appartenti alla sottoclasse cosiddetta (D). Queste logiche 
hanno la caratteristica di essere decidibili ed avere una buona espressività e sono utilizzate, tra gli 
altri, dal linguaggio OWL-DL, un linguaggio per la definizione delle ontologie. Introduco la 
dimensione temporale internamente al linguaggio logico, come un dominio concreto, costituito 
da istanti di tempo puntuali a valore reale, eventualmente, ma non necessariamente, intervallati 
da distanza costante. L’interpretazione può rimanere così indipendente dal tempo. 
Ho definito un'Ontologia Superiore (Upper Ontology) che partiziona il mondo in individui statici, 
non soggetti ad evoluzione, ed individui dinamici, dipendenti dal tempo. 
Ogni individuo dinamico viene descritto associandogli i nuovi concetti di Linea Universo ULine e di 
Evento Event, concetti mutuati dalla fisica moderna. Un individuo dinamico è rappresentato 
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univocamente da una e una sola Linea Universo. La Linea Universo di un individuo è costituita 
dalla sequenza dei suoi Eventi. Un Evento Event è la rappresentazione dell'individuo in un 
particolare istante temporale. L’istante temporale è associato ad ogni Event da un predicato 
concreto. 
Gli Event corrispondono agli eventi spaziotemporali della fisica, ma potrebbero anche essere 
chiamati realizzazioni, incarnazioni, manifestazioni, istanziazioni o avatar della Linea Universo di 
un individuo. La Linea Universo ULine, composta di Event, a sua volta si potrebbe vedere anche, 
in se stessa, come l’astrazione o il se’ dell’individuo. 
Ogni Event è dunque caratterizzato dalla ULine cui appartiene e dal valore del dominio temporale 
ad esso associato. Mentre ogni Event appartiene ad una e una sola ULine, un istante temporale, 
ovviamente, può caratterizzare Event di ULine distinte: si hanno Event contemporanei, 
precedenti e successivi. Dall’ordinamento del dominio temporale viene dunque indotto un 
ordinamento degli Event. 
Parlando delle ontologie particolari, esistono concetti che costituiscono proprietà immutabili 
dell’individuo. Ad esempio, il concetto di Persona: se l’individuo marco è Persona, lo è per tutta 
la sua esistenza; oppure il concetto di Lampadina per l’individuo lampadinan. Nelle ontologie, 
questi concetti sono attribuiti alla ULine dell’individuo e sono ereditati da ogni suo Event.  
Altri concetti, invece, sono proprietà transeunti e modificabili dell’individuo. Ad esempio, il 
concetto di Funzionante (crisp) per un individuo lampadinan o Felice (fuzzy) per l’individuo 
marco. Questi concetti sono attribuiti, nell’ontologia, ai singoli Event interessati e non riguardano 
la ULine. 
Se osassi scomodare Aristotele, forse non sarebbe in totale disaccordo con questa parte della mia 
impostazione che riguarda la semantica dei concetti statici. Aristotele potrebbe dire che un 
concetto statico proprio della ULine è Sostanza ( ), mentre un concetto statico proprio di un 
Event, ma non della sua ULine, è Accidente ( ) (3). Chiaramente, Aristotele aveva 
introdotto Sostanza ed Accidente in un universo di concetti crisp: egli è il padre, appunto, della 
logica aristotelica. Nel nostro caso, consideriamo, in generale, anche concetti fuzzy.  
Oltre a questi concetti, che hanno una valutazione istantanea, esiste nel linguaggio parlato una 
vasta classe di concetti che hanno semantica, invece, intrinsecamente dinamica. Mi riferisco a 
concetti come Arricchito, Invecchiato, Sollevato, Avvicinato e ogni concetto sul divenire.  
Per descrivere questi, definisco una nuova semantica per alcuni operatori temporali, già esistenti 
in letteratura, che, applicati a concetti, costruiscono nuovi concetti dinamici. 
Essi sono gli operatori sometime ⃟, always ⃞, Until , Since , Next ⨁, Prev ⊖. I concetti 
dinamici richiedono, per essere valutati su un individuo, di considerare necessariamente tutto o 
una parte dell’insieme dei suoi Event. 
sometime ⃟ ed always ⃞ sono operatori unari, Until  e Since  sono binari, Next ⨁ e Prev ⊖ 
sono anch’essi unari. 
Con essi posso dire se la mia Pressione è stata “qualche volta (sometime) Alta” oppure è stata 
“sempre (always) Normale” oppure se è stata “Alta finché (Until )  non è iniziata la terapia” 
oppure se è stata “Normale da quando (Since) è iniziata la terapia”. Inoltre, posso valutare il 
valore della mia pressione nell’istante successivo (Next) o precedente (Prev) a quello in esame. 
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Tutto ciò vale sia per concetti crisp che per concetti fuzzy. Con i concetti fuzzy l’espressività del 
linguaggio aumenta (assieme, purtroppo, alla complessità). 
Combinando la sussunzione tra concetti ⊑ con gli operatori ⨁ e ⊖, ho ottenuto due nuovi 
operatori che ho chiamato SubsNext e SubsPrev. 
Dato un concetto C, il nuovo concetto SubsNext(C) è ottenuto da C ⊑ ⨁C, cioè dalla sussunzione 
tra C e ⨁C, dove ⨁C è il concetto contenente, per ogni Event, il valore in C assegnato all’Event 
successivo. Analogamente, SubsPrev(C) è ottenuto dalla sussunzione C ⊑ ⊖C.  
Sappiamo come la sussunzione tra due insiemi indichi l’inclusione o il grado di inclusione, nel caso 
fuzzy, di un insieme nell’altro.  
Viene spontaneo allora osservare che, considerato un certo insieme di individui Event, qualora ci 
sia una crescenza nel tempo dei valori assunti da questi Event in un dato concetto C, il valore di 
ognuno di questi Event è ≤ al valore dell’Event successivo. Dunque, i valori di questi Event nel 
concetto C sono ≤ ai valori degli stessi Event nel concetto ⨁C. 
Se gli Event considerati corrispondono ad uno stesso individuo ULine x, allora dire che, per gli 
Event di x, il valore in C cresce col tempo equivale a dire che, per gli Event di x, C è 
insiemisticamente incluso in ⨁C, ovvero che per x vale C ⊑ ⨁C, cioè x appartiene al concetto 
SubsNext(C), che equivale a dire che SubsNext(C)(x) = 1.0. L’appartenenza di una ULine al 
concetto SubsNext(C) corrisponde alla proprietà di crescenza del concetto C. 
Questo vale per concetti crisp: ad esempio se l’individuo lampadinan passa dallo stato di spento 
allo stato di acceso, il suo valore nel concetto Acceso passa da 0 a 1 e quindi 
SubsNext(Acceso)(lampadinan) = 1.0. 
Inoltre, vale per i concetti fuzzy: se l’individuo predatorep passa dalla distanza dalla preda d1 alla 
distanza d2, con d2 < d1, il suo valore nel concetto Vicino passa da v1 a v2, con v2 > v1, e 
quindi SubsNext(Vicino)( predatorep) = 1.0, supponendo l’avvicinamento monotòno. 
L’operatore SubsPrev descrive in modo del tutto analogo la caratteristica inversa, cioè la 
decrescenza dei valori. 
Cosa succede se l’andamento di crescenza (o decrescenza) non è monotòno? Nel caso di 
oscillazioni, la sussunzione crisp (inclusione perfetta) con concetti crisp dà valore 0 sia per 
SubsNext che per SubsPrev. Se invece consideriamo i casi fuzzy, cioè concetti fuzzy oppure 
sussunzione fuzzy oppure entrambi, si possono avere entrambi i valori non nulli. 
Vale una caratteristica importante: in presenza di una crescenza in media, il valore di SubsNext è 
maggiore del valore di SubsPrev e viceversa in caso contrario. I due valori sono invece uguali in 
caso di costanza in media. La media è qui assunta come interpolazione lineare dei dati. 
Inoltre, per ogni andamento in media, i valori dei concetti SubsNext(C) e SubsPrev(C) sono 
tanto inferiori quanto maggiori sono le ampiezze delle oscillazioni dei valori in C. 
Date queste considerazioni, mi è stato naturale, dato il generico concetto C, definire la terna di 
nuovi concetti: 
↗C ≡IncrC ≡Incr(C), ↘C ≡ DecrC ≡ Decr(C) e ⇌C ≡ ConstC ≡ Const(C), con la seguente 
semantica:  
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       ↗C (x) ≡IncrC (x) = max { SubsNextC (x) - SubsPrevC (x), 0.0},  
       ↘C (x) ≡DecrC (x) = max { SubsPrevC (x) - SubsNextC (x),  0.0 }, 
      ⇌C (x) ≡ConstC (x) = if SubsNextC (x) = SubsPrevC (x) then SubsNextC (x) else 0.0. 
Questi concetti rappresentano, dunque, gli andamenti, rispettivamente crescenti, decrescenti e 
costanti, e la loro monotonia. Li ho chiamati Concetti d’Andamento (Tendency Concepts) e 
operatori d’andamento (tendency operators) gli operatori corrispondenti. 
Ho fornito un’altra definizione per quelli che ho chiamato Concetti d’Andamento Monotòno 
(Monotonic Tendency Concepts), la cui semantica risente unicamente del grado di monotonia e 
non del valore dell’incremento o decremento. 
Restando ai Concetti d’Andamento, se un individuo, nel tempo, ha visto il suo valore 
d’appartenenza al concetto C crescere in media, pur oscillando, egli sarà membro del concetto ↗C 
e lo sarà con un grado tanto maggiore quanto maggiore è l’incremento e quanto inferiore è 
l’ampiezza delle oscillazioni. Analogamente per gli altri due concetti ↘C e ⇌C. E’ vero che una 
valutazione di crescenza è ottenibile anche con metodi statistici, quali l’interpolazione lineare, 
però quest’ultima dà la crescenza o decrescenza dell’andamento, non considera l’ampiezza delle 
oscillazioni. Altre statistiche lo fanno, ma allora sono piuttosto complesse. Il vantaggio principale, 
comunque, è che questi nuovi concetti si ottengono con semplici operazioni di sussunzione e sono 
concetti sui quali è possibile il Reasoning proprio delle Description Logics. 
Utilizzando anche i quantificatori fuzzy (Most, Some, Between(∼3)&(∼5) ecc.), l’espressività 
aumenta ulteriormente. Ho introdotto una rappresentazione semplificata di essi con una generica 
membership function lineare a tratti di forma trapezoidale, che può degenerare in triangolo, 
spalla destra, spalla sinistra o rettangolo crisp. 
In particolare, ho potuto, in modo naturale, con la sola applicazione di un ruolo, definire i nuovi 
quantificatori temporali, che corrispondono agli avverbi di tempo del linguaggio parlato associati 
alla frequenza, quali “Solitamente”, “Qualche volta”, “Spesso” ecc. 
Ho dimostrato con due teoremi che i quantificatori temporali che si trovano alle estremità della 
scala della quantificazione e che potremmo chiamare “Sometime” ed “Always” equivalgono agli 
operatori temporali sopra menzionati, gli operatori sometime ⃟ ed always ⃞. Questo, a 
supporto della coerenza del sistema costruito. 
Ho enunciato e dimostrato un terzo teorema, avente utilità pratica. 
Quantificatori ed operatori d’andamento possono essere utili in numerose applicazioni: ad 
esempio, per valutare se effettivamente esiste il riscaldamento globale del pianeta, cioè se “la 
maggior parte delle località ha temperature (mediamente) crescenti”: 
GlobalHeating = (Most)hasLocality. ↗TempLocality . 
Oppure, potremmo valutare, nel controllo automatico di un sistema prede – predatori, quali 
prede siano in pericolo, supponendo in pericolo le prede per cui almeno la metà dei predatori 
siano solitamente vicini: 
UsuallyInDangerPray = (MoreThanHalf)isPrayFor.(Usually)ClosePredator  
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oppure, alternativamente, supponendo in pericolo le prede per cui almeno la metà dei predatori 
siano costantemente vicini: 
ConstInDangerPray = (MoreThanHalf)isPrayFor.ConstantClosePredator  
=(MoreThanHalf)isPrayFor.((Sometime)ClosePredator ⊓ ⇌ClosePredator) 
Le prede possono rappresentare obiettivi di diversa natura e dimensione, che per essere raggiunti 
necessitano di automi non umani, per motivi ambientali, di sicurezza o di dimensione. Si può 
pensare ad una chiazza di petrolio da dissolvere, ad una profondità sottomarina o una cavità 
vulcanica da esplorare, alle mine da eliminare, fino alle metastasi di un tumore nell’organismo 
umano da aggredire. 
Un altro esempio, in campo sanitario. Possiamo valutare se l’andamento della pressione (o di 
qualsiasi altro indice fisiologico) si mantenga “ragionevolmente” costante nei valori normali. 
Se  NormalPressure è un concetto opportunamente definito, e  
NormalPressurePatient = Patient ⊓ ∃hasPressure.NormalPressure, allora 
ConstNormalPatient = (Sometime) NormalPressurePatient ⊓ 
⇌NormalPressurePatient 
è il concetto che rappresenta i pazienti con i valori di pressione mediamente costanti entro la 
normalità. 
Se, ad esempio, sono state introdotte alcune nuove terapie sperimentali e ci interessa sapere 
quali siano efficaci per la maggior parte dei pazienti, potremmo descrivere efficaci quelle terapie 
per cui la maggior parte dei pazienti che l’assumono ha una pressione che si mantiene 
costantemente nella norma: 
EffectiveTherapy = (Most)takenBy.ConstNormalPressurePatient. 
I costrutti utilizzati rendono questa un’estensione della classe delle DL +(D) fuzzy. 
Potremmo chiamarla f _ +(D). 
 
1.3  Schema dell’opera 
 
Questo mio lavoro è articolato nei seguenti capitoli. 
Nel capitolo 2 prendo in considerazione lo stato dell’arte riguardo ai principali argomenti 
coinvolti. 
Nel paragrafo 2.1 offro una panoramica delle logiche DL fuzzy: espressività, problemi con le 
definizioni delle norme, sintassi e semantica di alcune classi di linguaggi logici. Definisco una 
Knowledge Base e introduco i problemi d’inferenza di base. 
Nel paragrafo 2.2 introduco il concetto dei quantificatori fuzzy, assoluti e relativi, e descrivo il 
problema della cardinalità degli insiemi fuzzy. Concludo con il metodo GD (4) per le valutazioni 
delle espressioni quantificate. 
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Nel paragrafo 2.3, descrivo brevemente i contributi in letteratura alle logiche DL temporali e alle 
DL temporali fuzzy. 
Nel capitolo 3, introduco i modelli matematici oggetto di questa tesi.  
Nel paragrafo 3.1 descrivo il modello  fuzzy f_+(D), che ammette i quantificatori, 
considerati come insiemi fuzzy, e dove le espressioni quantificate sono interpretate con il metodo 
GD. Introduco poi una funzione parametrizzata lineare a tratti Trap, di forma genericamente 
trapezoidale, che sarà utilizzata nella definizione delle membership functions dei concetti concreti 
e dei quantificatori. Espressioni quantificate valide saranno dei due tipi QR.C e Q C ⊑ D.  
Il paragrafo 3.2 costituisce il cuore di questo lavoro, dove definisco il mio modello temporale. Il 
modello temporale è definito progressivamente, in un percorso di accrescimento dell’espressività. 
Inizio in 3.2.1, con le logiche crisp, introducendo una partizione dell’Universo e una struttura a 
semantica temporale che determina un ordinamento sugli individui. Definisco sintassi e semantica 
dei concetti dinamici (temporali) ottenuti con gli operatori temporali ⃞, ⃟,  e . Definisco gli 
operatori Next ⨁ e Prev ⊖ e alcune considerazioni sulla sussunzione mi portano alla definizione 
dei nuovi operatori SubsNext e SubsPrev  e degli operatori d’andamento Incr ↗, Decr ↘ e Const 
⇌, associati, rispettivamente,  alla crescenza, alla decrescenza e alla costanza dell’andamento nel 
tempo dei valori d’appartenenza ad un concetto. 
Estendo, in 3.2.2, il modello alle logiche crisp con le qualified number restrictions  e passo, in 
3.2.3, alle logiche fuzzy. Una rivalutazione degli operatori SubsNext e SubsPrev porta alla 
ridefinizione in ambito fuzzy degli operatori d’andamento Incr ↗, Decr ↘ e Const ⇌, come gli 
operatori associati anche alla monotonia dell’andamento nel tempo, per andamenti mediamente 
crescenti, decrescenti o costanti, rispettivamente. 
In 3.2.4, estendo il modello alle logiche fuzzy con  ed infine, in 3.2.5, estendo  in +, cioè 
ammetto anche i quantificatori fuzzy, che consentono le espressioni quantificate QR.C e QC ⊑ D. 
Definisco i nuovi quantificatori temporali fuzzy QT e la restrizione Qnow ; in seguito analizzo come 
trattare le query dipendenti dal tempo e le query che coinvolgano una sussunzione. 
Alla fine di ogni paragrafo del capitolo 3 sono proposti e, di volta in volta, aggiornati quattro 
esempi di applicazione del modello, in quattro differenti ambiti: il commerciale, il bancario, il 
controllo dei sistemi, ed il monitoraggio ambientale. 
Nel capitolo 4 espongo la progettazione e l’implementazione di un modulo di reasoning 
automatico che permetta la valutazione di query contenenti i costrutti più originali definiti nel 
capitolo 3. Esso consente la creazione e la gestione di una Knowledge Base, l’esecuzione di alcuni 
tipi di query e la persistenza della Knowledge Base in formato XML. 
Il capitolo 5 contiene la progettazione e l’implementazione di alcune applicazioni dimostrative, in 
cui si usa il modulo di reasoning oggetto del capitolo 4.  
In 5.1 descrivo un modulo di editing che permette la creazione e configurazione delle MBox e 
TBox di una Knowledge Base e la sua esportazione in formato xml. In 5.2 si presentano tre casi di 
monitoring, successivamente dettagliati.  
In 5.3 descrivo un modulo di monitoring in tempo reale, ove si ha una continuativa e periodica 
importazione dell’ABox dal sistema dinamico in esecuzione. Nello specifico, si riprende e si 
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implementa un esempio già analizzato, quello di un sistema dinamico di tipo preda – predatori. 
Motivi di efficienza impongono l’esecuzione degli algoritmi iterativi incrementali, ove si valutino 
operatori che ammettano un tal tipo di semantica. 
In 5.4 descrivo un modulo di monitoring che importa l’ABox da un database relazionale con una 
frequenza così bassa da permettere l’esposizione grafica dei dati importati nell’ABox, mediante 
diagramma a punti, in modo che l’utente possa avere anche una percezione visiva degli 
andamenti. Utilizzo questo tipo di monitoring in 5.4.1, per la valutazione di query connesse al 
problema del riscaldamento del pianeta e in 5.4.2 per la valutazione di query a carattere sanitario. 
Nel capitolo 6 do alcuni cenni conclusivi ed alcune idee su possibili sviluppi futuri. 
Nel capitolo 7 ci sono alcune appendici. In 7.1 enuncio e dimostro un teorema che non ho inserito 
nella parte teorica per non appesantirla, ma che consente maggior efficienza computazionale in 
implementazione. In 7.2 do un cenno schematico sul percorso di un reasoner nell’esecuzione di 
una query di sussunzione generale. In 7.3 si trova qualche brano più significativo di codice 
d’implementazione e documentazione. 
All’inizio di ogni capitolo è presente un’introduzione più dettagliata. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2  
 
Lo stato dell’arte 
 
 
 
In questo capitolo prendo in considerazione lo stato dell’arte riguardo agli argomenti coinvolti 
nella mia ricerca. 
Nel paragrafo 2.1 do una panoramica delle logiche DL fuzzy: nate come estensione delle logiche 
crisp, di cui aumentano l’espressività dei concetti e ruoli, richiedono una sintassi modificata e una 
revisione delle operazioni di base sugli insiemi. In 2.1.1, diverse norme sono state definite in 
letteratura, ricercando la compatibilità con differenti proprietà crisp, poiché non tutte possono 
essere mantenute: io adotto quelle tra le più comunemente usate.  
In 2.1.2, descrivo sintassi e semantica dei linguaggi logici f -  e da essi arrivo alla sintassi e 
semantica delle logiche f _(D). In 2.1.2.1 do alcuni cenni sui diversi aspetti dell’operatore 
di sussunzione, di come la sua interpretazione può fornire il grado d’implicazione tra concetti 
oppure il grado di inclusione tra insiemi. Spesso le due interpretazioni coincidono. 
In 2.1.3 do una definizione di una Knowledge Base, in generale per logiche fuzzy, dei suoi 
componenti e dei problemi d’inferenza di base. 
Nel paragrafo 2.2 introduco il concetto dei quantificatori fuzzy, assoluti e relativi. L’approccio 
basato sulla cardinalità porta al problema della cardinalità degli insiemi fuzzy e alle proposte dei 
diversi autori, in particolare alla cardinalità scalare e alla cardinalità fuzzy. Mi soffermo sulla non 
convessità della cardinalità fuzzy e sulla definizione di misura di cardinalità fuzzy assoluta ED di un 
insieme e poi relativa ER di un insieme rispetto ad un altro, proposte da Delgado et al (5). Da essi, 
passo alla valutazione GD delle asserzioni quantificate, come valutazione del grado di 
compatibilità tra il quantificatore e la cardinalità fuzzy, assoluta o relativa, del corrispondente 
insieme o della corrispondente coppia d’insiemi. Il metodo GD sarà da me adottato per le 
valutazioni delle espressioni quantificate. 
Nel paragrafo 2.3, descrivo brevemente le logiche DL temporali. In 2.3.1 è presente una veloce 
rassegna delle caratteristiche delle diverse DL temporali crisp. Mi soffermo poi sulla proposta 
  di Artale e Franconi(6) e sulle relative sintassi e semantica degli operatori temporali. In 
2.3.2 descrivo i contributi in letteratura alle DL temporali fuzzy.