Un' Analisi del Value at Risk: metodi di calcolo e problematiche

Un’analisi del Value at Risk: metodi di calcolo e problematiche 
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tutti i rischi di mercato e non, con un solo mezzo, ed è quindi possibile 
confrontarli direttamente ed aggregarli. 
- Dare una misura di rischio chiara e interpretabile da tutti, sia 
agli addetti ai lavori e sia agli altri rami e livelli di amministrazione; 
infatti, il VaR essendo un ammontare monetario, determinato secondo 
un certo livello di confidenza, e quindi di probabilità, è comprensibile 
da tutti. 
- Infine il VaR riesce a risolvere i problemi di allocazione delle 
risorse nelle banche; infatti, in una banca è molto importante decidere 
dove e in che ammontare destinare il capitale, che come sappiamo è 
una risorsa scarsa e fondamentale per gli enti creditizi. Prendere 
queste decisioni significa conoscere il rendimento delle varie aree 
d'affari della banca e, dato che considerare il rendimento da solo porta 
ad un’allocazione non efficiente del capitale, bisogna tenere in 
considerazione anche il livello di rischio assunto. Per questo, 
attualmente, si usa il VaR per misurare sia l’esposizione al rischio 
complessiva dell'intera banca (VaR reale o desiderato) e sia per 
misurare l’esposizione delle singole business unit, o aree d'affari, in 
modo da poter calcolare anche la redditività corretta per il rischio. Così 
facendo, con l'uso del VaR, si riesce anche a dare un limite di 
posizione chiaro ai vari centri di profitto, in modo che ogni operatore 
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della banca possa muoversi liberamente durante la giornata, con il 
solo vincolo di rispettare il proprio limite di posizione alla chiusura dei 
mercati e, quindi, per questo, si riesce, a gestire il capitale in maniera 
più efficiente. 
Nel presente lavoro, tratterò in modo dettagliato tutti i metodi di calcolo 
del VaR. 
 In particolare, nel primo capitolo spiegherò cosa sono i rischi finanziari 
e cos’è il VaR, dandone una prima definizione e descrivendo cosa è in grado 
di misurare questa tecnica. 
 Nel secondo capitolo, parlerò dell’approccio parametrico, o varianze-
covarianze, e di tutti i suoi metodi di calcolo. 
 Nel terzo capitolo, tratterò, invece, l’approccio della simulazione, le 
sue due varianti e le cosiddette Prove di Stress, una tecnica per il 
monitoraggio del rischio, complementare al VaR. 
Nel quarto capitolo, farò, invece, un approfondimento sulla normativa 
in materia di vigilanza bancaria, attualmente vigente in Italia, proponendone 
le maggiori problematiche e le critiche eccepitegli.  
 In fine, farò delle conclusioni sull’utilizzo, sia a fini gestionali e sia a fini 
di vigilanza, di questa tecnica, cercando di descrivere anche le principali 
applicazioni per cui oggi è utilizzato il Value at Risk. 
Il Value at Risk: una prima definizione 
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I 
IL VALUE AT RISK: UNA PRIMA DEFINIZIONE 
 
I.1 I RISCHI FINANZIARI 
 
In questo capitolo descriverò cos'è il rischio e cos’è in grado di 
misurare la tecnica del Value at Risk.  
Innanzi tutto definiamo il concetto di rischio come la variabilità dei 
risultati intorno ad un valore atteso. S’introduce così una definizione ampia, 
che riguarda l’eventualità d’accadimenti futuri, suscettibili di portare perdite 
sia assolute (distruzione di ricchezza esistente), sia relative (mancato 
conseguimento di ricchezza). In questo lavoro parleremo, però, solo dei 
rischi finanziari e non dei rischi puri, valgono a dire dei rischi che interessano 
la gestione finanziaria di un’azienda, in pratica, particolarmente legati 
all’andamento di variabili economiche e della gestione finanziaria; in ogni 
caso, la caratteristica principale dei rischi finanziari, che li contraddistingue 
dai rischi puri, è che questi non necessariamente hanno solo manifestazione 
negativa, ma, appunto, potrebbero averla anche positiva, quindi in termini di 
maggior guadagno rispetto alle aspettative. Per questo motivo, parliamo di 
variabilità dei risultati intorno ad un valore atteso. 
Il Value at Risk: una prima definizione 
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Tra i rischi finanziari si distinguono due grandi categorie: il rischio di 
mercato e il rischio di credito. A queste due categorie possiamo poi 
aggiungere il rischio di variazione del margine d’interesse e il rischio di 
liquidità. 
Per quanto riguarda la categoria del rischio di credito, possiamo 
distinguere tra il rischio di controparte e il rischio di regolamento. 
Il rischio di controparte è relativo a tutti quegli asset che prevedono 
una prestazione monetaria futura nei nostri confronti, eseguita appunto da 
una controparte. In particolare, si parla di rischio perché la controparte 
potrebbe trovarsi in dissesto finanziario e non effettuare la propria 
prestazione (default), o farlo solo in parte. Questo evento, dipende dalla 
situazione finanziaria della controparte e, quindi, dal suo livello di rating 
(grado di solidità e solvibilità), oltre che dalla volontà di pagare. Il rischio di 
controparte prevede non solo la stima della probabilità di default, ma anche 
la stima della probabilità di migrazione, in pratica, delle possibili variazioni nel 
grado di rating che un soggetto può subire nel tempo, siano esse favorevoli e 
quindi che migliorino il proprio grado di rating, siano esse sfavorevoli. Alcuni 
includono in questa categoria anche il rischio paese, che è quello che 
prevede il rimborso parziale o addirittura il non rimborso, di obbligazioni 
emesse da Paesi esteri, appunto considerando questi Stati esteri come una 
controparte qualsiasi. 
Il Value at Risk: una prima definizione 
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Per rischio di regolamento, invece, s’intende solo il fatto che una 
controparte si trovi in un dissesto finanziario momentaneo, il quale non gli 
permetta il regolamento a scadenza, ma magari in tempi maggiori; si 
ricomprende in questa categoria anche il rischio relativo ai sistemi di 
pagamento, qualora quest’ultimi non adempiano esattamente alle loro 
funzioni. Questi problemi potrebbero portare degli scompensi anche al 
creditore. 
Altro genere è il rischio di variazione del margine di interesse, vale a 
dire il rischio associato all'andamento più o meno favorevole delle principali 
poste di bilancio di una banca, le quali appunto formano il margine di 
interesse. Ovviamente questo è un rischio legato all'andamento dei tassi 
d'interesse, in quanto incidono direttamente sull'ammontare degli interessi 
sia attivi e sia passivi. 
Da ultimo definisco il rischio di liquidità, che è la misura della variabilità 
delle perdite, causate dalla dismissione di un bene in tempi brevi; infatti, per 
momentanee esigenze, potremmo trovarci a dismettere un’attività in breve 
tempo, sopportando quindi un grosso deprezzamento della stessa, causato 
appunto dal suo basso grado di liquidità. 
Dei rischi di cui ho appena parlato farò solo un altro breve accenno 
riguardante le tecniche di Valore a Rischio che possono essere seguite per la 
loro misurazione, poiché la loro trattazione esula da questo lavoro; tratterò, 
Il Value at Risk: una prima definizione 
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invece, in modo più dettagliato, già dal prossimo paragrafo, la categoria dei 
rischi di mercato. 
Il Value at Risk: una prima definizione 
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I.2 IL RISCHIO DI MERCATO 
 
Il rischio di mercato è sicuramente la categoria più grande e 
importante di rischio, poiché riguarda direttamente la gestione di portafoglio, 
sia inteso come trading di borsa, sia come gestione dell’attivo.  
La gestione dei rischi di mercato è determinante per qualsiasi 
intermediario, poiché è sempre presente nelle operazioni che questi effettua 
e, da qualche tempo a questa parte, in particolar modo la gestione di 
portafoglio, sta crescendo sempre più.  
Per rischi di mercato s’intendono, in prima approssimazione, tutti quelli 
strettamente legati all’andamento di variabili economiche. Essi si distinguono 
nelle seguenti quattro categorie: 
- Il rischio di interesse: si manifesta quando il valore delle 
posizioni assunte è sensibile a variazioni dei tassi d'interesse. È un 
rischio tipico delle obbligazioni e dei contratti derivati su tassi di 
interesse. Per una banca il rischio di interesse non si manifesta solo 
con la diminuzione del corso, ad esempio, di un titolo obbligazionario 
o con la diminuzione del rendimento di un titolo a tasso variabile, ma 
si manifesta anche in termini di mancato guadagno, nel caso, ad 
esempio, di un mutuo stipulato a tasso fisso e di un aumento dei tassi, 
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perché in questo caso la banca potrebbe guadagnare di più 
riscattando il mutuo e concedendone uno nuovo ad un tasso 
maggiore. 
- Il rischio di cambio: è quello che dobbiamo considerare in tutte 
le posizioni denominate in valuta diversa da quella domestica. In 
particolare, in questo caso, tutti gli asset denominati in valuta estera 
sono soggetti a cambiamenti di valore proprio in funzione degli 
apprezzamenti o deprezzamenti del tasso di cambio. 
- Il rischio di prezzo: è definito come la variabilità del valore di 
titoli, o delle merci, causata dall’incontro della domanda e dell’offerta 
nei mercati regolamentati. E’ un rischio tipico dei titoli azionari e di 
tutte le attività quotate in borsa. Nel caso di una banca, generalmente 
il rischio di prezzo grava solamente sul valore dei titoli azionari 
detenuti in portafoglio. 
- Il rischio di volatilità: questo tipo di rischio prende in 
considerazione la variazione del valore di un titolo, causata da 
variazioni della volatilità del titolo stesso.  La volatilità di un titolo è una 
misura di rischio e, generalmente, è rappresentata dalla varianza o 
dallo scarto quadratico medio dei rendimenti dello stesso, che sono, 
appunto, misure della variabilità dei valori del titolo intorno al proprio 
valore atteso. Il rischio di volatilità è un rischio tipico dei derivati. In 
Il Value at Risk: una prima definizione 
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particolare, per questo tipo di rischio il VaR riesce a fare ben poco, 
anzi, come vedremo, il fatto che la volatilità non sia stabile nel tempo, 
è un problema per l’utilizzo di questa tecnica. 
Per tutti i tipi di rischio che ho descritto sopra esistono delle tecniche 
che li misurano e, da qualche tempo a questa parte, essi possono essere 
descritti anche con tecniche di Valore a Rischio, che, come vedremo nel 
prossimo paragrafo, si differenziano l'una dalle altre per modalità di calcolo o 
per categoria di rischio che affronta. 
Il Value at Risk: una prima definizione 
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I.3 IL VALUE AT RISK 
 
In questo paragrafo, descriverò cos'è il Value at Risk, le sue varianti e 
i metodi di calcolo.   
Nell'accezione più comune il VaR rappresenta “….La perdita associata 
ad un portafoglio di attività finanziarie che, con data probabilità pari ad ∆, non 
è superata in un orizzonte temporale di riferimento… ” (J.P. Morgan)
1
. In 
pratica il VaR ci dice qual è la perdita che il nostro portafoglio può subire in 
un determinato arco temporale, con un certo livello di probabilità da noi 
deciso. Ad esempio, se scegliamo un livello di confidenza del 95% e il VaR 
calcolato è di 1000 € giornalieri, il nostro portafoglio non dovrebbe superare 
la perdita stimata di 1000 €, nell'arco delle prossime 24 ore, in 95 casi su 
100. 
In formule il VaR si esprime così:  
Equazione 1 
Prob ⊥      ∆      1VARV
t
 
                                                 
1
 Vedi MORGAN J. P., REUTERS, “RiskMetrics™ - Technical Document” Fourth Edition, 1996, (cfr. 
www.riskmetricsgroup.com). 
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dove “t” è il periodo di detenzione o holding period, 
t
V è il valore della perdita 
in t, (1 – ∆) è il livello di confidenza e VaR è il valore che soddisfa l’equazione 
e che cerchiamo, vale a dire la massima perdita stimata. 
A questo punto posso descrivere le varie tecniche di VaR attualmente 
esistenti. Come ho scritto sopra, il VaR nella sua accezione generale misura i 
rischi di mercato e, nel caso di un holding period di un giorno, è chiamato 
anche con il nome di Dealy earning at Risk (DeaR), appunto come misura di 
rischio giornaliera. 
Anche per i soli rischi di mercato esistono diversi metodi per il calcolo, 
che, principalmente, si distinguono in Historical approach e Simulation 
approach.  
I primi sono basati su un approccio storico, vale a dire hanno come 
principale assunzione che i dati passati siano la migliore approssimazione 
del futuro e si caratterizzano per esser fondati su delle ipotesi molto forti, non 
sempre riscontrabili nella realtà, e perciò sono criticati. I secondi, invece, 
sono basati su approcci di simulazione, cioè sulla generazione di molti 
scenari di evoluzione dei valori in portafoglio e sul conseguente calcolo del 
VaR in base al percentile desiderato. Quest’ultimi sono migliori dei primi, in 
quanto non assumono alcuna ipotesi sull’andamento delle variabili, anche se, 
allo stesso tempo, sono più onerosi in termini di calcolo e richiedono 
un’elevata quantità di dati che sono difficili da reperire. 
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Riguardo all’approccio storico, debbo dire che il metodo più diffuso è il 
cosiddetto approccio varianze-covarianze o approccio parametrico, il quale 
assume come dati fondamentali la stima della volatilità, le correlazioni fra 
asset ed è sottoposto all’ipotesi di normalità dei rendimenti. Di quest’ultimo 
se ne conoscono diverse varianti, differenti l’una dall’altra in base a cosa si 
assume come variabile determinante per l’andamento del portafoglio, quindi, 
come oggetto di studio  per il calcolo del VaR. 
Le tre varianti principali sono le seguenti: 
- L’approccio Delta Normal, dove il portafoglio è scomposto in 
posizioni sensibili all’andamento di poche variabili principali, i risk 
factor, i quali sono oggetto dell’ipotesi che i loro rendimenti siano 
distribuiti normalmente e, quindi, sono i soli ad essere oggetto di 
stima. Come risk factor si usano i singoli fattori di rischio alla base 
della variazione del prezzo delle attività finanziarie (tassi di interesse, 
tassi di cambio, ecc.). 
- L’approccio Asset Normal, che è anche quello usato da J.P 
Morgan in RiskMetrics™ e prevede anch'esso l’assunzione dell’ipotesi 
di normalità dei rendimenti, ma, a differenza del primo, quest’ultima 
riguarda i rendimenti delle posizioni in portafoglio, opportunamente 
scomposte attraverso un processo di mapping e dette benchmark, le 
quali sono trattate come fossero titoli zero coupon e analizzate 
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secondo i fattori determinanti per quest’ultimi (indici di mercato, 
struttura a termine dei tassi di interesse relativi agli zero coupon, ecc.). 
- L’approccio Portfolio Normal, che si basa invece sull’analisi 
diretta del valore del portafoglio complessivamente considerato, 
trattato come un’unica entità e, quindi, come un’unica variabile 
aleatoria.  Quest'ultimo approccio è sicuramente il più complesso 
perché prevede la rivalutazione di tutto il portafoglio. 
Per il calcolo delle tre varianti suddette si usa il c.d. modello Delta, dove i 
rendimenti logaritmici degli asset sono considerati normalmente distribuiti e 
lineari. Nel caso che nel portafoglio ci siano strumenti con pay-off non lineari 
(es. opzioni), si usa, invece, un’approssimazione detta Delta-Gamma, dove si 
approssima la funzione dei rendimenti ad un grado maggiore del primo, in 
modo da eliminare l’effetto c.d. di convexity e cioè di non linearità. 
Quest’ultimo metodo di calcolo, tra gli approcci parametrici, è quello più 
usato, in quanto raccomandato da J.P Morgan in RiskMetrics™. Oltre a 
questi ve ne sono altri, meno importanti, ma ugualmente utilizzati come parte 
integrante dei suddetti modelli.  Di essi ricordo l’approccio basato sul Capital 
Asset Pricing Model, dove si calcola, prima, il VaR di un indice di riferimento 
per il nostro portafoglio e poi, si calcola il VaR del portafoglio, moltiplicando il 
primo per il  Ε del portafoglio rispetto all’indice (per  Ε intendo un coefficiente 
che misura la sensibilità di un titolo rispetto a variazioni del mercato, in 
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questo caso, la sensibilità dell’intero portafoglio a variazioni di un indice, 
appunto preso come riferimento del mercato)
2
. 
Nettamente differenti sono i modelli basati sull’approccio della 
simulazione; questi, come ho già detto, non si basano su alcuna ipotesi, ma 
si basano sulla generazione di numerosi scenari con cui rivalutare il 
portafoglio di attività. 
 Principalmente distinguiamo due approcci di simulazione: 
- La simulazione storica, dove si rivaluta il portafoglio secondo i 
valori passati delle attività, poi lì si ordina dal miglior caso al peggiore 
e, infine, si estrae il valore del portafoglio secondo il percentile 
desiderato. In pratica, se abbiamo 100 osservazioni passate, 
rivalutiamo il portafoglio secondo i 100 valori, ordiniamo i valori così 
ottenuti dal migliore al peggiore e poi, nel caso che abbiamo scelto un 
intervallo di confidenza del 95%, prendiamo la differenza tra il 95-
esimo valore ordinato e il valore corrente del portafoglio, come valore 
di perdita massima. In questo modello non si formula nessuna ipotesi, 
ma si assume implicitamente che il passato si ripeta in futuro, quindi, 
si assumono implicitamente sia la distribuzione dei rendimenti e sia le 
volatilità e le correlazioni dei valori. 
 
                                                 
2
 Per il calcolo del Ε con il CAPM, vedi più avanti, il paragrafo II.2 IL MAPPING a pag. 32.