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e/www/area/index.cfm?fareaid=28], una rete di 6 telescopi per uno studio
interferometrico a raggi infrarossi il cui scopo è la ricerca di vita nei pianeti simili alla
terra. Molto simile è TPF [http://planetquest.jpl.nasa.gov/TPF/tpf_index.html], una
rete di 4 telescopi in orbita intorno a L
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per la ricerca di pianeti simili alla terra.
Come ultima missione si cita JIMO (Jupiter Icy Moons Orbiter) un tour di tre lune
di Giove (Callisto, Ganimede, Europa) alla ricerca delle tre componenti fondamentali
che permettono la vita: acqua, energia, composti chimici. La missione utilizzerà un
motore elettrico alimentato da un reattore a fissione nucleare.
Non esiste una soluzione analitica per problemi con più di due corpi sottoposti a
mutua attrazione gravitazionale.
L’approccio tradizionale si articola in due fasi: dapprima viene progettata e
ottimizzata un’orbita che tiene conto di ipotesi semplificative che ne facilitano la
realizzazione, in un secondo momento la soluzione trovata viene validata tramite un
metodo numerico che tenga conto di una dinamica più completa, quale quella del
sistema solare.
Il metodo classico prevede di suddividere il trasferimento in più parti, in ognuna
delle quali si considera l’effetto dell’attrazione di un solo corpo, quindi per un
trasferimento interplanetario si ipotizza che il satellite nella prima fase della missione
risenta solo dell’attrazione gravitazionale del pianeta di partenza. Uscito dalla sua
zona di influenza, si considera solo l’attrazione del Sole per tutto il trasferimento fino
a giungere in prossimità del pianeta d’arrivo. Nell’ultima fase il satellite risente solo
dell’attrazione del pianeta d’arrivo. Le coniche, soluzioni del problema a due corpi,
vengono unite per formare il trasferimento completo. In un secondo momento si
recuperano i contributi delle forze ignorate in precedenza, si verifica la fattibilità della
soluzione trovata e si ottimizza il trasferimento.
L’approccio utilizzato nella presente tesi tratta il trasferimento interplanetario
come un problema ai quattro corpi: il Sole, il pianeta di partenza, quello di arrivo e il
satellite artificiale interagiscono gravitazionalmente tra loro. Per facilitarne la
soluzione si divide il trasferimento completo in due problemi ai tre corpi accoppiati.
Si ipotizza che le orbite siano complanari e circolari e che il satellite, essendo di
massa trascurabile, non influenzi il moto dei primari. Con queste ipotesi
semplificative esiste una soluzione al Problema Ristretto dei Tre Corpi Planare
Circolare (PR3CPC) usata da Poincaré più di cent’anni fa come esempio per quella
che lui stesso definì: Teoria del Caos.
Un gruppo di ricercatori del JPL e Caltech (Koon, Lo, Marsden, Ross e altri) ha
spiegato tramite la teoria dinamica del PR3C la cattura temporanea di comete da parte
di Giove. La conclusione cui sono giunti è che il sistema solare è attraversato da
“correnti” generate dalle interazioni gravitazionali tra i pianeti. Queste correnti
possono trasportare gratuitamente un corpo dotato di piccola massa, come ad esempio
un satellite per lunghe distanze. La dimostrazione matematica di questi concetti è
frutto di un gruppo di ricercatori dell’Università di Barcellona (Gomez, Marsdemon e
altri), essi hanno facilitato la comprensione dei complessi strumenti analitici necessari
all’analisi del PR3C, inoltre hanno sviluppato il problema considerando le tre
dimensioni dello spazio.
Gli alti ∆V necessari richiedono propulsioni con alto impulso specifico.
Sfortunatamente il profilo di spinta di una missione con motori elettrici (alto impulso)
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non è facilmente determinabile se si vogliono soddisfare i vincoli e gli obbiettivi.
Sono necessarie molte iterazioni da parte di un esperto di analisi di missione per
fornire una soluzione di primo tentativo in grado di effettuare con successo il
trasferimento. La successiva ottimizzazione non si allontana molto dalla prima first
guess, con il risultato di ottenere un ottimo locale. Per migliorare la situazione il
controllo della spinta è stato affidato a reti neurali con apprendimento evolutivo.
Questo è un campo di ricerca relativamente recente, in particolare Dachwald [8] ha
utilizzato una rete di neuroni statici per controllare la spinta durante trasferimenti
interplanetari con satelliti spinti da vele solari.
L’obbiettivo del presente lavoro è generare in maniera semiautomatica una
soluzione di primo tentativo il più possibile vicina all’ottimo globale. Per fare questo
si utilizza un neurocontrollore dinamico ad apprendimento evolutivo, nel senso che i
parametri fondamentali della rete di neuroni sono forniti da un algoritmo genetico. Un
algoritmo a base stocastica il cui comportamento simula quello dell’evoluzione degli
esseri viventi. Sopravvivono e si riproducono solo gli individui più adatti alla
situazione. Questo approccio dovrebbe analizzare tutto lo spazio delle soluzioni
trovando l’ottimo globale, a questo punto della sperimentazione non si ha la pretesa di
trovare la soluzione che descrive l’ottimo globale, ma solo una soluzione accettabile
in modo semiautomatico.
La mole di lavoro necessaria per la progettazione e l’apprendimento del
neurocontrollore viene sfruttata solo in parte se ci si limita alla determinazione a terra
dell’orbita. Si sono fatte considerazioni e prove numeriche per ipotizzare
l’integrazione del neurocontrollore a bordo del satellite.
Nel primo capitolo si presenta una breve introduzione ai sistemi dinamici non
lineari. Si espone il Problema Ristretto dei Tre Corpi con particolare attenzione alle
equazioni del moto nel sistema di riferimento sidereo e alle considerazioni che hanno
portato alla definizione del sistema di riferimento sinodico. Si prosegue descrivendo i
vantaggi derivanti dalla adimensionalizzazione delle variabili implicate e con
l’introduzione di un integrale del moto: la costante di Jacobi. Si analizzano le curve di
Hill, o curve a zero velocità, e le zone in cui è consentito il moto di un satellite con un
certo valore della costante di Jacobi.
La descrizione di cinque soluzioni particolari, cinque punti di equilibrio detti
Lagrangiani, si completa con l’analisi della stabilità degli stessi. Tramite un processo
di linearizzazione si identifica la natura delle varietà invarianti associate a detti punti.
Il discorso viene allargato alle orbite periodiche che si sviluppano intorno ai punti
collineari, alla loro instabilità e alla matrice di monodromia come strumento
indispensabile per trovare le varietà associate ad ogni punto dell’orbita. Sono infine
presentate alcune caratteristiche interessanti di dette varietà, in particolare, quella di
separare nettamente lo spazio delle fasi in due zone. I punti appartenenti ad una zona
generano traiettorie passanti, quelli appartenenti all’altra orbite non passanti.
Alla fine del capitolo vengono presentate la sezione di Poincaré e l’intersezione
delle varietà di pianeti diversi, strumenti utilizzati per trasferimenti interplanetari con
motori a spinta impulsiva. L’ultimo paragrafo introduce i trasferimenti studiati nella
Tesi (archi propulsi) presentando la variazione delle equazioni del moto propulso con
l’integrazione del termine di controllo.
Dopo aver introdotto la teoria alla base del problema si descrivono nel corso del
secondo capitolo gli strumenti necessari ad effettuare il trasferimento vero e proprio,
8
in particolare le reti neurali artificiali, con l’analisi del problema dell'apprendimento e
la scelta dei parametri ottimali nel caso di processi non supervisionati. Si presentano
due tipi di rete, quella statica e quella dinamica. Elencando i vantaggi e gli svantaggi
dei due tipi si forniscono gli elementi che hanno portato alla scelta di un
neurocontrollore dinamico ricorsivo.
Il capitolo prosegue con la presentazione degli algoritmi evolutivi, con particolare
attenzione alle modifiche personali apportate all’Algoritmo Genetico di terze parti
utilizzato nella presente Tesi. Se ne presenta la nomenclatura e il funzionamento
generale. La determinazione del profilo di spinta è un problema di cui non si conosce
a priori la soluzione (non supervisionato): la scelta e l’ottimizzazione dei parametri
costitutivi del neurocontrollore viene demandata all’Algoritmo Genetico, lasciando
all’operatore il compito di fornire l’intervallo nel quale cercare la soluzione ottimale.
Il controllo della spinta in un trasferimento interplanetario può essere analizzato in
due modi: diretto o indiretto. Nel primo il controllore fornisce direttamente la spinta,
nel secondo fornisce i pesi da inserire nelle equazioni che regolano la variazione dei
parametri orbitali di un satellite propulso.
Nel paragrafo 2.5 si raccolgono le idee esposte nel capitolo e si presenta il
neurocontrollore scelto, in particolare si definisce la struttura della rete. Vengono
inoltre scelti gli ingressi e la funzione di attivazione dei neuroni dinamici.
La fase personale e innovativa della Tesi inizia nel terzo capitolo: viene esposto il
metodo adottato per realizzare i trasferimenti interplanetari. Nel primo paragrafo si
presentano i motori elettrici e il loro utilizzo nel presente lavoro. Il trasferimento tra
due pianeti viene scomposto in tre fasi distinte, di cui solo la seconda necessita di
propulsione. Sfruttando le varietà instabili e stabili dei punti Lagrangiani si
costruiscono la fase di partenza e la fase di arrivo senza alcun intervento del sistema
propulsivo. Per completare il trasferimento, si calcola la fase propulsa che unisce con
una spirale le due varietà.
Sempre nel corso del terzo capitolo vengono presentati alcuni dettagli tecnici
relativi alle scelte del tipo di integrazione numerica implementata con Matlab®.
Nel quarto paragrafo si presenta in dettaglio la funzione Fitness, vero cuore
dell’Algoritmo Genetico, in particolare la struttura a gradino con la scelta degli ambiti
di ottimizzazione. Si richiama l’attenzione su come la variazione di alcuni pesi della
Fitness possa cambiare il risultato ottenuto. Si evidenzia inoltre che il cambiamento
dei pianeti implicati nel trasferimento comporta solo poche modifiche di alcuni
parametri della funzione di ottimizzazione. L’ultimo paragrafo è dedicato alla fuga e
cattura del satellite da parte di un pianeta, il tutto inserito nella dinamica propria del
PR3C.
Il quarto capitolo presenta i risultati ottenuti nelle simulazioni effettuate. Nel primo
paragrafo si procede alla scelta della zona di applicazione del metodo. Si analizza
tutto il Sistema Solare per trovare un ambito nel quale effettuare le simulazioni. Si
scelgono le Lune galileiane di Giove in quanto caratterizzate da alti rapporti di massa
e da un particolare interesse del mondo scientifico.
I risultati presentati comprendono alcuni trasferimenti Callisto-Ganimede ottenuti
con Fitness diverse, come anticipato nel capitolo precedente. Questo per dimostrare
l’importanza della definizione degli obbiettivi e della scelta dei pesi adatti. Come
seconda applicazione si presenta un trasferimento di andata e ritorno tra le due Lune
precedenti, puntando l’attenzione su come varia tale trasferimento se affrontato in un
diverso sistema di riferimento sinodico. La terza applicazione viene definita il Tour
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delle Lune di Giove: partendo esternamente a Callisto il satellite compie tre fasi
propulse intervallate da altrettante fasi balistiche di osservazione delle Lune. Come
ultima applicazione viene presentato un trasferimento Terra-Marte, l’ambito di
applicazione non ottimale si traduce in risultati imprecisi.
Il capitolo termina con l’analisi di come variano i risultati in presenza di errori.
Questo è molto importante nel caso si decida di installare il neurocontrollore a bordo
del satellite. Si sono analizzati i due errori più frequenti, quelli introdotti dai sensori e
quelli dipendenti dall’attuatore, nel nostro caso il motore. In entrambe le situazioni il
satellite è riuscito a completare l’orbita prevista contenendo gli errori, il
neurocontrollore è quindi risultato abbastanza robusto da compensare gli errori
artificialmente introdotti, è quindi ipotizzabile l’installazione a bordo della rete
neurale considerata.
Il capitolo quinto conclude la Tesi con alcune considerazioni finali sul
raggiungimento degli obbiettivi e con la descrizione di potenziali sviluppi futuri. In
particolare si evidenzia l’alto grado di precisione delle orbite trovate, sicuramente
ottime soluzioni di primo tentativo. L’algoritmo genetico ha permesso di generare
profili di spinta plausibili per tutti i trasferimenti caratterizzati da un alto valore del
parametro di massa (lune di Giove), mentre ha mostrato le sue limitazioni in caso
contrario (Terra-Marte).
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1 TRASFERIMENTI INTERPLANETARI NELLA
DINAMICA PROPRIA DI PROBLEMI
MULTICORPO
1.1 Introduzione ai sistemi dinamici non lineari e PR3C
La dinamica è lo studio di tutti i possibili moti di un dato sistema dinamico. Lo
scopo non è quello di trovare una soluzione generale in forma chiusa del problema,
spesso impossibile o comunque poco utile per comprendere il comportamento del
sistema stesso.
I tre principali approcci sono: qualitativo, quantitativo e formalistico.
Di questi il più elegante e spesso il più potente è l'approccio qualitativo, introdotto
da Poincaré [39] alla fine del XIX secolo che è ora conosciuto con il nome di Teoria
dei sistemi dinamici o Teoria del mapping o del caos.
Esso cerca di fornire un'immagine dell'evoluzione di tutti gli stati del sistema. Lo
spazio delle fasi è il più indicato per trattare problemi legati alla stabilità, all'esistenza
di soluzioni, integrabilità e riducibilità.
Poincaré adottò il Problema Ristretto dei Tre Corpi Planare Circolare (PR3CPC)
come uno dei modelli paradigmatici dell'applicazione della teoria sui sistemi
dinamici, ma pochi lo seguirono a causa della complessità intrinseca del sistema e
della scarsa utilità pratica. L'avvento del calcolatore elettronico fornì lo strumento di
cui la teoria del caos aveva bisogno per essere applicabile. Un esempio è il lavoro di
Henon sulla teoria dei sistemi dinamici applicata alla meccanica celeste.
Si può rappresentare un sistema dinamico nella forma classica di campo vettoriale
dove l'andamento degli stati nel tempo è funzione degli stati stessi, del tempo e
eventualmente di parametri (µ):
()µ,, txfx =
&
(1.1)
Oppure si può esprimerlo come mappa, ovvero una equazione alle differenze a
tempo discreto che esprime una mappatura del sistema in se stesso. Gli stati all'istante
successivo diventano g(x) e quindi appartenenti ancora all'insieme di partenza.
()µ,xgx → (1.2)
Per analizzare il sistema nella prima formulazione si guarda l'evoluzione nel tempo
degli stati; mentre, nella seconda, si applica iterativamente l'operatore g
m
( x, µ ).
Si definisce soluzione o traiettoria del sistema una funzione:
)(
:
txt
Ix
n
→
ℜ→
(1.3)
che associa ad ogni istante di tempo lo stato del sistema all’interno dello spazio delle
fasi.
Se si vuole mettere in evidenza la dipendenza dai valori iniziali, la soluzione
11
diventa x( t; t
0
, x
0
), detta anche curva integrale nello spazio ℜ
n
× I. Essa interseca lo
spazio delle fasi per t = t
0
, mentre nello spazio di dimensioni n+1 è chiamata flusso
ϕ (t,x
0
) e indica l’evoluto che parte da x
0
dopo un tempo pari a ( t - t
0
). Si definisce
orbita per x
0
l'insieme di tutti i punti dello spazio delle fasi le cui traiettorie passano
per x
0
.
Il problema generale degli n corpi può essere così formulato: dato lo stato iniziale
delle n particelle, determinarne il moto nello spazio, se esse sono sottoposte solo alla
loro mutua attrazione gravitazionale [1]. La dinamica di questo sistema è descritta da
3 n equazioni differenziali del secondo ordine di cui non si conosce una soluzione in
forma chiusa per n > 2. Il problema così formulato ammette alcune soluzioni nel caso
si adottino alcune ipotesi semplificative.
Un caso particolare del problema dei tre corpi generale è stato studiato da Eulero
(1762): due dei tre corpi, chiamati primari, ruotano con un moto dato intorno al loro
centro di massa descrivendo orbite circolari sotto l'influenza della loro mutua
attrazione gravitazionale. L’attenzione è puntata sul terzo corpo, chiamato da Poincaré
pianetoide, nel nostro caso satellite, assunto di massa irrilevante rispetto ai primari,
che si muove nel piano di rotazione dei primi, sottoposto alla loro attrazione
gravitazionale senza influenzarne il moto. Eulero individuò l'esistenza di tre soluzioni
collineari e pochi anni dopo Lagrange affrontando il problema da un altro punto di
vista individuò tutte e cinque le soluzioni di equilibrio, le tre collineari e le due
triangolari.
Verso la fine del XXVIII secolo Laplace riprese la formulazione di Lagrange per
studiare le anomalie presenti nel moto dei pianeti del sistema solare, soprattutto Giove
e Saturno, con una descrizione del moto dei satelliti di Giove.
Nel 1836 Jacobi scoprì la presenza di un integrale del moto, ciò ridusse
ulteriormente il problema. Gli studi di Hamilton sull’argomento consolidò quella che
viene oggi definita Teoria di Hamilton-Jacobi.
Per arrivare al termine ristretto si deve aspettare fino alla formulazione di Poincaré
del 1889, in occasione di una importante competizione internazionale di matematica,
“sponsorizzata” dal re di Svezia e Norvegia, Oscar II.
1.2 Equazioni del moto
Si definiscono le masse dei due primari m
1
e m
2
e in base alla distribuzione di
massa interna si possono considerare puntiformi. Si ipotizza la massa del terzo corpo
(m
3
) molto inferiore di quella dei primari, quindi, in accordo con la teoria, non
influente sul moto di m
1
e m
2
.
Il bilancio tra le forze gravitazionali e quelle centrifughe porta a scrivere
anmbnm
l
mm
k
2
2
2
1
2
21
== (1.4)
dove k è la costante di gravitazione Gaussiana, n è la velocità angolare di m
1
e m
2
rispetto al centro di massa, l è la distanza tra i primari, a e b sono rispettivamente le
distanze tra i primari e il centro di massa del sistema.
Il moto dei tre corpi con le relative grandezze è mostrato in Fig. 1.1, dove t* indica
il tempo dimensionale e la quantità (n t*) viene anche definita longitudine.
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