Tomografia a microonde: esperimenti numerici per la diagnostica di tumori al seno

5 
acquistando molti consensi anche in campo biomedico [3],[4],[5], dove riscuote un notevole 
interesse proprio grazie alla sua potenziale capacità di fornire una accurata mappa della 
distribuzione delle proprietà elettriche dell’intero corpo umano a partire dalle misure del 
campo diffuso. 
 Poiché le variazioni delle proprietà elettriche dei tessuti umani possono essere messe in 
relazione con lo stato delle cellule che li compongono, tale determinazione può consentire di 
caratterizzare cellule malate o inclusioni anomale. A riguardo si noti che, nel caso specifico 
del cancro, si è di mostrato come la presenza di cellule tumorali all’interno di cellule sane 
corrisponda ad un elevato salto delle proprietà elettriche suddette: in altre parole c’è una 
grande differenza in termini di permittività e conducibilità tra le cellule malate e quelle sane. 
Attualmente il metodo più usato per la diagnostica del cancro è la diagnostica a raggi X, che 
ad oggi rappresenta la migliore tecnica per la rilevazione della densità interna di un generico 
corpo e di conseguenza si propone di rilevare e localizzare l’inclusione tumorale grazie ad una 
esame della densità delle cellule sotto esame. 
 I motivi per i quali la tomografia a microonde sta divenendo una validissima alternativa alle 
radiografie a raggi X sono molteplici. 
Innanzitutto, mentre si è sperimentalmente dimostrato che la presenza di cancro all’ interno 
di una qualunque parte del corpo umano causa un salto di proprietà elettriche molto alto 
(quindi facilmente rilevabile con tecniche tomografiche), si è visto come, a fronte della 
medesima malattia, il salto di densità dei tessuti non sia altrettanto forte (quindi più 
difficilmente rilevabile dalle tecniche a raggi X).  
A motivi diagnostici si affiancano poi motivi pratici. Infatti, al contrario delle tecniche 
tomografiche, la tecnica basata sull’uso di raggi X richiede sia l’esposizione della parte del 
corpo da analizzare a radiazioni ioniche (che possono costituire fattori mutageni) sia la  sua 
compressione meccanica. 
Questi due ultimi fattori, e specialmente il primo, comportano effetti non benefici sul 
paziente ed una loro eliminazione apporterebbe non trascurabili vantaggi che renderebbero 
l’esame più confortevole e meno rischioso. A riguardo si osservi che le tecniche di tomografia 
a microonde richiedono livelli di campo elettromagnetico inferiori a quelli irradiati dai più 
moderni telefoni cellulari e pertanto totalmente innocui.  
6 
Al fine di studiare i problemi di diffusione elettromagnetica, si osservi che, esclusi pochi casi 
particolari, ottenere soluzioni analitiche in forma chiusa per le equazioni della diffusione non è 
possibile [6]. Inoltre, nel problema inverso, il legame tra i dati rilevabili e le incognite è “non 
lineare”. È necessario dunque far ricorso a procedure numeriche che, attraverso una 
opportuna discretizzazione delle equazioni coinvolte, permettano di giungere in modo 
efficiente a soluzioni accurate, anche se approssimate, di tali equazioni. 
In questa ottica, negli ultimi anni, sono stati effettuati studi che hanno portato 
all’introduzione di un nuovo modello, denominato Contrast Source Extended Born (CS-EB) [7]. 
Tale modello, inizialmente introdotto per affrontare i problemi di diffusione da oggetti 
cilindrici in scenari con perdite e stato poi esteso al caso di geometria tridimensionale ed è 
fondato su una diversa e più opportuna riformulazione delle equazioni integrali della 
diffusione. Tale riformulazione sfrutta il peculiare comportamento della funzione di Green, 
che diviene particolarmente “piccato” in presenza di mezzi con forti perdite.  
Rispetto agli approcci classici, il modello CS-EB mostra da un lato una maggiore efficienza e 
un minor onere computazionale nell’affrontare il problema diretto [8] , dall’altro una maggiore 
robustezza rispetto al problema delle false soluzioni per quel che riguarda la soluzione del 
problema inverso [9]. La soluzione di questo ultimo presenta, infatti, notevoli difficoltà legate 
alla “non-linearità” del legame tra i dati (i campi diffusi misurati) e le incognite (i parametri 
caratteristici dei diffusori) e, conseguentemente, alla possibilità che la procedura di 
inversione resti intrappolata in una “falsa soluzione” [10]. 
Alla non linearità si aggiungono le ’ulteriori difficoltà legate alla mal posizione del problema. 
Infatti, i dati indipendenti a disposizione, oltre ad essere corrotti da inevitabili errori di 
misura, appartengono ad uno spazio di dimensione finita mentre le incognite del problema 
appartengono, invece, ad uno spazio di dimensione infinita. Pertanto il problema da risolvere è 
mal posto secondo Hadamard ed è quindi necessaria l’introduzione di opportune tecniche di 
regolarizzazione [7]. 
Obiettivo di questo lavoro di tesi è quello di effettuare uno studio preliminare delle 
potenzialità offerte dal modello CS-EB nell’ambito della diagnostica del tumore al seno, 
studiando il caso realistico di inclusioni tumorali tridimensionali. 
7 
Nello specifico, in seguito sarà verificata la possibilità  di ricostruire la forma, la posizione ed 
eventualmente le dimensioni e le caratteristiche elettromagnetiche di inclusioni tumorali 
benigne e/o maligne contenute all’interno di un seno femminile. 
Tale argomento è stato già affrontato con esiti più che soddisfacenti nel caso semplificato di 
geometria bidimensionale [11]. Sfruttando gli strumenti teorici e numerici presentati in [11], 
questa tesi mira a mostrare che affrontando il problema inverso mediante la procedura di 
inversione basata sul modello CS-EB è possibile correttamente individuare e localizzare  le 
inclusioni tumorali incognite e distinguere inclusioni benigne da quelle maligne.  
In seguito, verrà mostrato che la qualità dei risultati ottenibili può essere significativamente 
incrementata sfruttando le informazioni disponibili sullo scenario investigato. Queste ultime, 
infatti, consentono di definire un nuovo punto iniziale per la procedura di inversione che si è 
rivelato capace di migliorarne le prestazioni rispetto a quelle ottenute utilizzando per 
l’inizializzazione la soluzione di backpropagation, come solitamente è fatto in letteratura [12]. 
Inoltre, sarà messo in evidenza che la scelta di un opportuno liquido di adattamento consente 
di controllare il grado  di non linearità del problema inverso che può essere reso di tipo 
polinomiale qualora  si sfrutti il modello CS-EB. A riguardo, è da sottolineare che tale modello 
è caratterizzato da un ridotto grado di non-linearità rispetto ai modelli tradizionali (Electric 
Field Integral Equatons e modello Contrast Source). Ciò è dovuto alla differente natura 
dell’operatore impiegato nelle equazioni del CS-EB rispetto a quella dell’analogo operatore dei 
tradizionali modelli.  
Il controllo del grado di non linearità del legame tra dati ed incognite si traduce nella 
possibilità di ridurre la complessità del problema inverso. D’altra parte, ciò rende la procedura 
di inversione più robusta rispetto al problema delle false soluzioni ed incrementa la possibilità 
di ottenere ricostruzioni accurate. 
A riguardo, sarà mostrato che l’uso di un liquido di adattamento con permittività minore di 
quella del seno, consente di calcolare efficientemente il campo diffuso da una o più inclusioni 
tumorali mediante la serie CS-EB. La convergenza di tale serie unitamente al numero di 
termini necessari per raggiungere possono, infatti, essere assunti come indici del grado di non 
linearità del problema invero. 
Il lavoro di tesi presentato è strutturato nel seguente modo. 
8 
Nel I° capitolo, viene effettuata una trattazione sintetica dell’equazioni della diffusione e 
sono elencare le possibili formulazioni dei problemi di diffusione elettromagnetica con la 
descrizione dei relativi sviluppi in serie. Questi, quando applicabili, consento un’efficiente 
calcolo del campo diffuso. Nel II° capitolo sono, invece, presentati alcuni esempi atti a 
confrontare il diverso comportamento delle serie CS e CS-EB-s in presenza di scenari tipici 
della diagnostica del tumore al seno. In particolare, viene mostrato come la scelta del liquido 
di adattamento influisce sul comportamento convergente o divergente delle due serie.  
Il III capitolo è dedicato alla descrizione del problema inverso e della procedura adottata 
per risolverlo. La procedura adottata è un approccio di tipo bilineare e richiede la 
minimizzazione di un opportuno funzionale di costo, che può essere convenientemente 
effettuata con la tecnica iterativa del Gradiente Coniugato. Sfruttando la natura 
convoluzionale degli operatori coinvolti, l’efficienza computazionale è incrementata calcolando 
gli operatori diadici coinvolti mediante l’uso dei codici di tipo FFT. 
Nel IV capitolo è presentata una analisi numerica finalizzata a mostrare le potenzialità 
offerte dalla procedure di inversione basata sul modello CS-EB ai fini della diagnostica del 
tumore al seno. Mediante numerosi esempi numerici viene mostrato come una appropriata 
scelta del punto iniziale, unitamente alla scelta del liquido di adattamento e all’uso della 
tecnica del frequency hopping (per l’elaborazione di dati multi-frequenza), consente di 
localizzare e caratterizzate in modo soddisfacente le inclusioni tumorali. 
 
 
 
 
 
 
 
9 
CAPITOLO I 
DIFFUSIONE ELETTROMAGNETICA: MODELLI E SVILUPPI 
IN SERIE 
 
 
In questo capitolo saranno presentati diversi modelli integrali usati in letteratura per  
formulare i problemi di diffusione elettromagnetica . A partire da questi, saranno introdotti 
ed analizzati diversi sviluppi in serie attraverso cui risolvere in modo efficiente l’equazione 
integrale interna.  
  
 
I.1  EQUAZIONI INTEGRALI DELLA DIFFUSIONE 
 
Si consideri un mezzo omogeneo con caratteristiche elettromagnetiche    
bb
 ς Π Η ,,
0
 in cui 
sono immersi uno o più oggetti diffusori non necessariamente omogenei e con caratteristiche 
elettromagnetiche        r,,r  ςΠ Η
0
. 
 
Figura I.1.1  Configurazione di interesse (e di misura) 
10 
 
Sia  : il dominio d’indagine e si supponga di posizionare i trasmettitori ed i ricevitori su una o 
più circonferenze concentriche ad  :, come mostrato in figura I.1.1; si indica con  ∗ l’insieme 
delle circonferenze di misura. 
Si consideri un sistema di riferimento Oxyz centrato in  : e si indichi con     z,y,xr    la 
posizione del generico punto di osservazione e con     z,y,xr χ χχ   χ  quella del generico punto 
sorgente.  
Sia, inoltre,     r Φ  la funzione complessa “contrasto”, così definita: 
 
    
    
1  
eqb
eqs
r
r
 Η
 Η
 Φ                                            ( I.1.1 ) 
dove  
        
    
0
 Ζ Η
 ς
Η Η
r
jrr
s
seqs
                                       ( I.1.2 )  
0
 Ζ Η
 ς
 Η Η
b
beqb
j                                                  ( I.1.3 ) 
 
sono rispettivamente le permittività relative equivalenti dello scatteratore e del mezzo 
ospitante. 
I modelli che successivamente vengono proposti per descrivere i fenomeni di diffusione 
elettromagnetica sono di tipo integrale. Questi ultimi sono particolarmente convenienti e in 
molti casi preferibili alle formulazioni differenziali in quanto tengono automaticamente conto 
delle condizioni di radiazione all’infinito ed inoltre consentono di introdurre in modo semplice 
modelli di tipo approssimato.  
La dipendenza temporale è espressa mediante il termine     tj Ζ  exp  e non sarà indicata nel 
seguito della trattazione. 
Si supponga di illuminare il dominio di indagine mediante un insieme di 
 Θ
N  trasmettitori che 
irradiano altrettanti campi incidenti; se consideriamo il caso particolare di onde piane 
polarizzate linearmente secondo y , ciascuno dei campi incidenti può essere espresso nel modo 
seguente: 
11 
                        
    
   
   
    
    yˆrkjexpyˆrEE
inc
inc
       
Θ
 Θ
Θ
          ⊥  
v
N,...,1 Θ                        ( I.1.4 )  
 
dove 
    Θ
k  è il vettore di propagazione nel mezzo ospitante.  
Partendo dalle equazioni del potenziale scalare e del potenziale vettoriale, tenendo conto delle 
correnti indotte           rErjrJ
bind
 ΦΖ Η , si ottiene, mediante una serie di passaggi analitici, 
che il campo elettrico totale in  : soddisfa la relazione [13]: 
 
    rE
)( Θ
   rE
)(
inc
 Θ
        rdrErRkGk
)(
bb
χχχ 
 ≥
 :
 Θ
Φ
2
           : r                    ( I.1.5 ) 
 
dove R indica la distanza in R
3
 tra punto di osservazione e punto sorgente 
 
            
222
zzyyxxrrR
χ   χ    χ     χ                                             ( I.1.6 ) 
 
e     RkG
b
 è la funzione diadica di Green in spazio omogeneo, che (per 0 ζR ) vale 
 
                  
    
r
rjkexp
k
IRkG
k
IRkG
b
b
b
b
b
 Σ4
22
 
 ÷
÷
 ≠
 •
 ♦
 ♦
 ♥
 ♣    
  
 ÷
÷
 ≠
 •
 ♦
 ♦
 ♥
 ♣    
                                  ( I.1.7 ) 
 
Con lo stesso ragionamento si determina l’espressione del campo diffuso all’esterno del 
dominio di indagine 
 
              rE
)(
s
 Θ
         rdrErRkGk
)(
b
b
b
χχ χ  
 ≥
 :
 Θ
Φ
2
         ∗ r                                 ( I.1.8 ) 
 
L’equazione ( I.1.5 ) è nota in letteratura come “E.F.I.E.” (Electric Field Integral Equation). 
L’insieme delle  espressioni ( I.1.5 ) e ( I.1.8 ) può essere espresso in modo sintetico mediante 
i due operatori integrali di diffusione 
i
A  ed 
e
A  implicitamente definiti da: 
 
12 
    rE
)( Θ
   rE
inc
)( Θ
 >  ≅  
)(
i
EA
 Θ
Φ           rdrErRkGk
)(
bb
χχχ  
 ≥
 :
 Θ
Φ
2
     : r           ( I.1.9 ) 
    rE
s
)( Θ
 >  ≅  
)(
e
EA
 Θ
Φ           rdrErRkGk
)(
bb
χχχ 
 ≥
 :
 Θ
Φ
2
           ∗ r              ( I.1.10 ) 
 
Questi operatori, di natura diadica, consentono di ottenere il campo diffuso rispettivamente 
all’interno e all’esterno di  :. 
La funzione diadica di Green presenta una singolarità non integrabile per R=0, cioè quando 
punto di osservazione r  e punto sorgente r
 χ
 coincidono, si ottiene che l’integrale sul dominio 
d’indagine, che è presente nella (I.1.5) deve essere considerato come integrale al valor 
principale.   
Ponendo                 EJ Φ , il  problema può essere formulato analiticamente  nel modo seguente:  
 
         χ χ
 ≥
 :
rdrJRkG
b
0 ο :
 Η
lim                
≈
 …
 ≡
 ↔
 ←
 ♠
χ χχ χ
≥ ≥
 : :   :
 Η Η
rdrJRkGrdrJRkG
bb
           ( I.1.11 ) 
 
La singolarità è in questo modo isolata nell’integrale esteso al dominio di esclusione 
 Η
 :. 
Dall’espressione della funzione di Green, si ha che tale integrale può essere espresso come : 
 
0 ο :
 Η
lim         
 ≥
 :
χ χ
 Η
rdrJRkG
b
 
0 ο :
 Η
lim           χ χ
 ÷
 ÷
 ≠
 •
 ♦
 ♦
 ♥
 ♣    
  
 ≥
 :
rdrJRkG
k
I
b
b
 Η
2
  
0 ο :
 Η
lim          χ χ
 ≥
 :
 Η
rdrJRkG
b
2
1
b
k
0 ο :
 Η
lim        rdrJRkG
b
 χχ     
 ≥
 :
 Η
                            ( I.1.12 ) 
 
Nella ( I.1.12 ) il primo termine tende a zero perchè l’integrando va all’infinito, quando 0  R , 
come R1  ed è perciò integrabile. Il secondo limite invece è diverso da zero in quanto 
l’integrando ha, per 0  R , una singolarità del tipo 
3
1 R e quindi non è sommabile. 
Quest’ultimo termine è dipendente dalla forma scelta per 
 Η
 :, la sua espressione è [13]: 
 
          
2
1
b
k
0 ο :
 Η
lim         rdrJRkG
b
χ χ    
 ≥
 :
 Η
 
2
1
b
k
   rJL  
 Η
                     ( I.1.13 ) 
13 
 
Per cui la ( I.1.9 ) può essere riscritta così 
 
    
    
 >  ≅  
Θ
Φ ErA
i
2
b
k .p.v           rdrErRkG
)(
b
χχχ 
 ≥
 :
 Θ
Φ       rErL
)( Θ
 Η
 Φ              ( I.1.14 ) 
 
Se si suppone 
 Η
 :  sia di forma sferica o cubica,  si ottiene: 
 
IL
3
1
  
 Η
                             ( I.1.15 ) 
 
ed è possibile  definire una “nuova” funzione  di Green che vale anche per 0  R , avente 
espressione: 
 
          > ≅    rrI
k
rrRkG
k
IRkG
b
b
b
b
χ    χ    
 ÷
÷
 ≠
 •
 ♦
 ♦
 ♥
 ♣    
   ΓΓ
22
3
1
1                          ( I.1.16 ) 
L’operatore interno può  essere scritto come  nella ( I.1.5 ), ovvero: 
 
    
 >  ≅           rdrErRkGkEA
)(
bb
i
χχχ  
 ≥
 :
 ΘΘ
ΦΦ
2
           : r                            ( I.1.17 ) 
 
valida anche per 0  R , grazie alla riformulazione di     RkG
b
. 
Si osservi che l’equazione del campo diffuso ( I.1.10 ) non cambia in quanto  :  χr  mentre 
 ∗ r  e pertanto non si verifica mai la condizione 0  R .