Test econometrici per il prezzo delle opzioni sul MIB30 nei modelli a volatilità stocastica

 -Test Econometrici per il prezzo delle opzioni sul Mib30 nei modelli a volatilità stocastica – IV 
Introduzione
 
 
di azioni dopo 90 giorni ad un prezzo di poco superiore a quello odierno. 
Se alla scadenza le azioni TELECOM perderanno il 10%, il nostro 
investitore non avrà più convenienza ad esercitare il diritto di opzione e lo 
lascerà decadere, subendo perciò una perdita effettiva di £ 1.000.000. 
Per sua natura l’opzione è dunque, anche nel contesto italiano, uno 
strumento riservato ai grandi investitori, istituzionali e non, utile a 
garantire una maggiore gamma di strategie di copertura dei propri 
portafogli azionari con buona efficienza. L’utilità di tale strumento è 
massima infatti in presenza di portafogli di titoli molto differenziati, e 
questo motivo, insieme all’alta rischiosità, ne rende l’utilizzo da parte del 
piccolo investitore, che opera prevalentemente tramite banca o trading on 
– line, poco appetibile. 
Sul mercato italiano, lo standard di riferimento per determinare il prezzo 
delle opzioni è, come sui mercati internazionali, il modello Black – 
Scholes (per una referenza classica sulle opzioni e loro valutazione, si 
veda Hull [HU97]). Questo modello, per la semplicità di utilizzo e per le 
buone performance nella determinazione dei prezzi, rimane tuttora 
ineguagliato, sebbene sia ampiamente riconosciuto da un grande numero 
di studi come soffra di evidenti inadeguatezze. In particolare, l’ipotesi di 
base di Black & Scholes e cioè quella di una volatilità costante del titolo 
sottostante l’opzione, è sconfessata dall’evidenza empirica sui mercati: la 
volatilità di un titolo o di un indice azionario in realtà varia nel tempo 
dispiegando un particolare andamento conosciuto dagli operatori di 
mercato come “sorriso di volatilità” (“Volatility Smile”). La necessità di 
ottenere delle stime dei prezzi delle opzioni sempre più accurate ha 
indotto gli operatori a sviluppare delle tecniche in grado di sopperire a 
questa inadeguatezza. Tra queste ha riscosso grande successo il metodo 
delle “matrici di volatilità”, che consente di fatto alla volatilità di variare,  
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Introduzione
 
 
e permette un certo miglioramento delle performance rispetto ad un Black 
– Scholes classico. Contemporaneamente, nel corso degli ultimi decenni, 
in letteratura hanno fatto la loro comparsa un gran numero di modelli per 
la determinazione dei prezzi delle opzioni che considerano la volatilità del 
titolo o dell’indice variabile. Nessuno di questi si è tuttavia imposto sul 
piano operativo, o per i risultati non sempre brillanti in termini di 
performance o per difficoltà di utilizzo. Una classe importante, e più 
recente, è quella che considera l’ipotesi di una volatilità stocastica. Essa 
ha attirato l’attenzione delle principali istituzioni finanziarie, in quanto da 
una parte consente un notevole miglioramento delle stime dei prezzi reali 
delle opzioni e dall’altra riproduce in modo naturale i famosi sorrisi di 
volatilità. E’ bene tuttavia chiarire che, ad oggi, i modelli a volatilità 
stocastica non hanno sostituito Black – Scholes nella prassi operativa. 
Estensioni e miglioramenti avvenuti nel corso degli ultimi anni rendono 
comunque questo filone di studi tutt’altro che esaurito ed è per questo che 
abbiamo concentrato su di esso la nostra attenzione. 
La nostra ricerca prende in esame le opzioni sull’indice azionario MIB30: 
nonostante il mercato del MIBO30 (Mib 30 Options) sia il più grande e 
sviluppato mercato delle opzioni in Italia, i lavori e gli studi su di esso 
sono molto pochi, in prevalenza commissionati dalla CONSOB stessa. 
La maggioranza di tali studi (si consideri ad esempio [CA98]), si 
concentra sulle proprietà fondamentali delle opzioni e non si appoggiano 
a nessun modello di valutazione dei prezzi. 
Lo scopo del nostro lavoro è quello di verificare innanzitutto l’efficacia 
del modello Black – Scholes sul mercato del MIBO30, e di testare allo 
stesso tempo, offrendo un preciso riscontro quantitativo, i miglioramenti 
indotti dall’utilizzo delle matrici di volatilità da parte degli operatori. A  
 
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Introduzione
 
 
questo punto, il nostro studio seleziona e prende a riferimento un noto 
modello a volatilità stocastica sviluppato da S.Heston nel 1993 [HE93] 
con l’intento di verificarne sul mercato del MIBO30, la presunta generale 
superiorità in termini di precisione ed accuratezza di stima. Ove è 
risultato possibile è stato sempre fornito un confronto con i risultati 
ottenuti dall’utilizzo del modello Black – Scholes e del metodo delle 
matrici di volatilità. 
Descriveremo ora il contenuto dei capitoli del presente lavoro di tesi. 
Nel capitolo 1 vengono presentate le nozioni di base su cui poggia il 
modello Black – Scholes, viene ricavata la formula del prezzo e viene 
analizzato in maniera ampia il problema dell’inadeguatezza derivante 
dall’ipotesi di volatilità costante del prodotto finanziario sottostante 
l’opzione, valutandone i riflessi sui prezzi delle opzioni. 
Il capitolo 2 è relativo al problema della costruzione di modelli adeguati  
a descrivere una volatilità variabile, con tutte le difficoltà di carattere 
matematico ed finanziario che ciò comporta. 
Il capitolo 3 illustra i maggiori modelli a volatilità stocastica sviluppati 
nell’ultimo decennio e fornisce alcune prove analitiche che ne 
incoraggiano l’utilizzo. 
Il capitolo 4 presenta il modello a volatilità stocastica di S.Heston e studia 
le implicazioni derivanti da un suo utilizzo. 
Il capitolo 5 riguarda l’analisi empirica operata. Sono stati effettuati un 
gran numero di test sul mercato delle opzioni sul MIB30.  
In sintesi le conclusioni cui siamo pervenuti sono le seguenti: il mercato 
del MIBO30 è risultato, nonostante sia il più ampio e sviluppato d’Italia, 
un mercato con poche opzioni realmente negoziate e con volumi di 
scambio consistenti. La maggioranza dei prezzi di mercato monitorati è  
 
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risultata scarsamente significativa per via dei bassi volumi di scambio 
rilevati. Queste lacune del mercato si sono purtroppo riflesse sulla qualità 
delle performance dei modelli presi in considerazione, che spesso hanno 
fornito degli errori di stima innaturalmente alti e difficilmente valutabili. 
Non sorprendentemente, l’andamento delle variazioni logaritmiche 
dell’indice MIB30 è risultato a più test significativamente non normale. 
Con queste premesse, il modello Black – Scholes ha continuato a ben 
comportarsi ed a fornire delle stime dei prezzi soddisfacenti nella 
maggioranza dei casi. Analizzando le distorsioni del modello è apparso 
inequivocabilmente chiaro che le opzioni scritte sull’indice MIB30 sono 
maggiormente sensibili alla vita residua dell’opzione stessa rispetto alle 
variazioni del Prezzo Strike in misura 10 volte maggiore; di conseguenza 
il modello Black – Scholes mostra le sue più evidenti lacune nel fornire 
stime di opzioni a breve termine con errori percentuali spesso superiori al 
50%, i cui prezzi sono però in larga misura irragionevoli per le 
motivazioni precedentemente esposte. L’utilizzo delle matrici di volatilità 
fornisce dei benefici molto sfumati e quantitativamente deludenti nel caso 
di una stima che utilizzi una classificazione secondo il prezzo Strike, nella 
misura pari al 2-3% del prezzo di mercato, mentre consente 
miglioramenti fino al 15% nel caso di una classificazione che tenga conto 
della data di scadenza. L’utilizzo del modello a volatilità stocastica di 
S.Heston ha fornito dei risultati discordanti: sebbene abbia migliorato 
nella maggiorparte dei casi, per una misura  pari al 13-14% di media le 
performance del modello Black – Scholes, e per uno scarto di alcuni punti 
percentuali (2-3%) i risultati ottenuti con l’utilizzo delle matrici di 
volatilità, è risultato assolutamente non adatto alla determinazione dei 
prezzi delle opzioni a breve termine, dove anzi è risultato il più 
penalizzato con errori percentuali di prezzo mai inferiori al 30% e spesso  
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superiori al 70%. Gran parte di questo comportamento ampiamente 
insoddisfacente deve imputarsi alla procedura di stima dei parametri 
utilizzata, che in presenza di opzioni fortemente sensibili alla vita residua, 
ne sottostima l’impatto.  
Nel complesso, dunque, le performance di un modello a volatilità 
stocastica sono risultate interessanti, anche se non è chiaro, per via della 
notevole difficoltà di manipolazione ed utilizzo del modello, se esse siano 
sufficienti a dar più credito a questo approccio rispetto all’uso delle 
matrici di volatilità. L’impiego di modelli più complessi ed adeguati al 
fine di ottenere stime migliori è lasciato a futuri studi. 
Concludiamo segnalando che per l’impostazione “teorica” dell’analisi 
empirica ci siamo ispirati al recente lavoro di Bakshi, Cao e Chen [CH97] 
sull’indice Standard & Poor 500, mentre per la parte computazionale, in 
particolare per ricavare i “prezzi Heston” delle opzioni sul MIB30, 
abbiamo fatto ricorso al toolbox NAG (Numerical Algorithms Group) del 
software MATLAB. Le pagine specifiche di codice che illustrano 
l’algoritmo dedicato al prezzaggio ed alla stima dei parametri sono 
riportate alla fine di questa tesi per comodità del lettore.