Teoria e pratica dei modelli per il tasso a breve

I derivati su tasso di interesse, o contratti interest rate sensitive, sono stru-
menti finanziari il cui valore dipende dal livello dei tassi di interesse. Tra le
tipologie piu` diffuse possiamo fare riferimento a Cap, Floor e Swaption. Questi
strumenti, non vengono trattati in mercati ufficiali; i prezzi di acquisto e vendita
vengono aggiornati a cura degli operatori che li trattano.
Nel caso di un Cap, ad esempio, siamo in presenza di un’opzione scritta su tasso
di interesse. Per comprenderne il funzionamento consideriamo un prestito a tas-
so variabile, in cui il tasso di interesse viene periodicamente aggiornato il base
all’Euribor 6 mesi. Un Cap offre la possibilita` al debitore del prestito a tasso
variabile di proteggersi dal rialzo eccessivo dei tassi di interesse, bloccando il
tasso ad una certa soglia che prende il nome dei Cap rate. Ovviamente l’acqui-
sizione di questo diritto comporta il pagamento di un premio. Il contratto Cap
si configura quindi come un’opzione Call di tipo europeo scritta sul tasso Eu-
ribor a 6 mesi; la variabile sottostante non e` piu` rappresentata da un’attivita`
finanziaria, ma da un tasso di interesse.
A queste tipologie, che potremmo definire standardizzate, si affianca la varieta`
di prodotti che possono assumere le forme piu` disparate.
Fin dal momento della sua pubblicazione, nel 1973, il modello di Black-Scholes
e` divenuto molto popolare fino ad essere esteso alla valutazione delle opzioni su
valute, opzioni su indici e quelle su future. In particolare gli operatori hanno
preso dimestichezza sia con l’assunzione di log-normalita` sottostante il modello,
sia con la misura di volatilita` che descrive l’incertezza; non sorprende il tentativo
di estendere il modello anche al caso di derivati su tasso di interesse.
Il modello di Black-Scholes si fonda sull’ipotesi di struttura piatta dei tassi di
interesse, considerando un mercato dove r, lo short rate, e` costante nell’intervallo
di valutazione. In linea di principio questo modello, non incorporando incertezza
sui tassi di interesse, non e` adeguato alla valutazione di titoli interest rate sen-
sitive, per i quali la variabilita` dei tassi di interesse e` la principale determinante
del valore.
Tuttavia, per la valutazione di Bond option, Cap, Floor e Swaption, e` larga-
mente diffuso nei mercati l’utilizzo di una versione aggiustata della formula di
Black-Scholes nota come formula di Black ’77.
Questa metodologia valutativa pero`, non riesce ad offrire una descrizione del
modo in cui i tassi di interesse ed i prezzi delle obbligazioni evolvono nel tempo,
di conseguenza non puo` essere utilizzata nella valutazione di contratti interest
rate sensitive con payoff americano o di tipo path dependent.
I modelli per il tasso a breve, che interpretano il valore dei contratti interest rate
sensitive dipendente da un’unica fonte di rischio, rappresentata dall’evoluzione
del tasso a breve r, ci consentono di superare questi limiti.
Nei modelli per il tasso a breve, lo short rate, non e` piu` costante nell’intervallo
di valutazione, come nel modello di Black-Scholes (1973), ma descritto da un
processo stocastico del tipo:
dr(t) = µ(t, r(t))dt+ σ(t, r(t))dW (t),
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dove µ(t, r(t)) e σ(t, r(t))dW (t) sono rispettivamente i termini di drift e di diffu-
sione e dW (t) rappresenta la variazione infinitesimale di un processo di Wiener
normalmente distribuito con media 0 e varianza dt sotto la misura naturale di
probabilita` P .
Da questo punto di vista anche gli zero coupon bond unitari sono titoli inter-
est rate sensitive; nei modelli per il tasso a breve e` quindi possibile calcolarne
il prezzo ed il rendimento alle diverse scadenze, riuscendo a fornire una forma
funzionale della struttura a scadenza dei tassi di interesse in vigore su mercato
alla data di valutazione. Per questo motivo i modelli per il tasso a breve vengono
anche definiti modelli per la struttura a termine.
In questi modelli cio` che conta non e` il processo per r nel mondo reale; vedremo
che i prezzi delle obbligazioni, delle opzioni e di altri titoli interest rate sensitive
dipendono dal processo seguito da r in un mondo neutrale verso il rischio.
Tra i modelli per il tasso a breve e` possibile distinguere quelli con struttura
a termine endogena da quelli con struttura a termine esogena.
Vengono ricompresi nella prima categoria quei modelli che, per le loro carat-
teristiche, non consentono una perfetta aderenza tra la struttura a termine em-
pirica e quella prodotta endogenamente. L’inconveniente in questo caso e` che,
anche scegliendo giudiziosamente i parametri del modello, riusciamo a ripro-
durre soltanto approssimativamente la struttura a termine osservata, verifican-
dosi molto spesso un errore significativo tra le due.
I modelli appartenenti alla seconda categoria, invece, sono in grado di gene-
rare una struttura a termine endogena, coincidente con quella osservata; quindi
data la curva iniziale siamo in grado di caratterizzarne l’evoluzione stocastica
nel tempo, ricavando il prezzo dei contratti interest rate sensitive sulla base del
principio di arbitraggio. La struttura a termine diviene per questi modelli un
input, mentre per i modelli con struttura a termine endogena e` un output.
Secondo una terminologia diffusa, i modelli per il tasso a breve con curva dei
rendimenti endogena, sono qualificati come modelli di equilibrio, mentre, i mo-
delli che recepiscono in input la term structure, prendono il nome di modelli ad
arbitraggi nulli.
In questa tesi di laurea ho preso in considerazione i principali modelli per il
tasso a breve, come quello di Vasicek (1977) e di Cox-Ingersoll-Ross (1985),
caratterizzati da struttura a termine endogena e quello di di Ho-Lee (1986) ed
Hull-White (1990), caratterizzati da struttura a termine esogena.
L’analisi e` stata svolta sia da un punto di vista teorico, individuando analogie
e differenze, sia da un punto di vista operativo, creando una serie di funzioni
Matlab, riportate nel Cd allegato, attraverso cui calibrare questi modelli ai dati
di mercato e renderli strumenti operativi.
L’obiettivo che mi sono prefissato, avanzando nel lavoro di analisi di questi mo-
delli, e` stato quello di valutare un particolare contratto derivato scritto sul tasso
Euribor 6 mesi. Il contratto preso in considerazione e` stato stipulato tra una
banca ed un’impresa del territorio umbro ed e` caratterizzato da una struttura
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di tipo path dependent. Per questo motivo non e` possibile procedere alla valu-
tazione mediante formule chiuse ed e` indispensabile ricorrere ad un approccio di
tipo Montecarlo. Le sue caratteristiche sono riassunte nella copia del contratto
riportata di seguito.
Per valutare questo prodotto ho scelto di utilizzare il modello di Hull-White ad
un fattore. Questo modello e` stato preferito agli altri per il fatto che oltre ad es-
sere un modello per il tasso a breve, e` anche un modello con struttura a termine
esogena; non ha bisogno quindi di essere calibrato sui prezzi degli zcb osservati
sul mercato. Inoltre e` un modello che dispone di formule esplicite per il pricing
dei principali strumenti interest rate sensitive come Cap, Floor e Swaption.
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La valutazione e` stata effettuata al 16/06/2006, data di inizio del contratto e si
articola in due fasi. Nella prima viene calibrato il modello sul prezzo degli ATM
Cap quotati in termini di volatilita` implicite, invertendo la formula esplicita del
modello per il prezzo dei Cap. Nella seconda ho implementato un algoritmo di
simulazione Montecarlo per tracciare le possibili evoluzioni del tasso Euribor 6
mesi in ambiente risk neutral, attraverso i parametri stimati nella prima fase,
calcolando in modo numerico il valore del contratto.
La tesi si compone di 7 Capitoli:
Nel Capitolo 1 viene fornita la definizione di contratto derivato e le pro-
blematiche che si presentano nella valutazione di questi strumenti. Viene poi
presentato il modello di Black-Scholes per la valutazione di derivati scritti su
titoli azionari in ambiete privo di rischio di tasso di interesse, ricavando la con-
dizione di non arbitraggio e l’equazione generale di valutazione.
Nel Capitolo 2 si definisce la struttura a termine dei tassi di interesse intro-
ducendo i principali contratti interest rate sensitive come Cap, Floor, Swaption;
viene inoltre illustrata la metodologia utilizzata nel mercato per il pricing di
questi strumenti, che consiste nella formula di Black ’77.
Nel Capitolo 3 viene proposto l’approccio tradizionale alla teoria della strut-
tura a termine dei tassi di interesse; il valore dei contratti interest rate sensitive
dipende esclusivamente da una sola fonte di rischio, rappresentata dal processo
stocastico che descrive la dinamica del tasso a breve r. Si ricava cosi la condizione
di arbitraggio nel mercato dei bond e l’equazione generale di valutazione.
Nel Capitolo 4 analizziamo i modelli per il tasso a breve con struttura a ter-
mine endogena facendo riferimento ai modelli di Vasicek e Cox-Ingersoll-Ross.
Proponiamo la calibratura attraverso il software Matlab illustrando i risultati
ottenuti.
Nel Capitolo 5 analizziamo i modelli per il tasso a breve con struttura a ter-
mine esogena considerando il modello di Ho-Lee ed Hull White. Questi modelli
ci consentono di ottenere un perfetto fitting tra la term structure osservata e
quella prodotta dal modello.
Nel Capitolo 6 viene descritta dettagliatamente la procedura di calibratura
del modello di Hull White ad un fattore sulla struttura di volatilita` quotata degli
ATM Cap. Vengono illustrati i risultati ottenuti su diverse cross section di dati.
Nel Capitolo 7 viene descritta una procedura di pricing per un particolare
derivato su tasso di interesse di tipo path dependent attraverso il modello di
Hull-White ricorrendo ad un approccio di tipo Montecarlo.
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Capitolo 1
Derivati e valutazione di
arbitraggio
Si definiscono derivati gli strumenti finanziari il cui payoff alla data di scadenza
dipende dal valore di un asset sottostante, come un titolo azionario, oppure dal
valore di una variabile finanziaria, come un tasso di interesse.
Un tipico esempio di contratto derivato e` una opzione di tipo Call, che si carat-
terizza attraverso la definizione dell’attivita` sottostante, del prezzo di esercizio
K e della maturity T . Questo contratto da` il diritto e non l’obbligo al suo pos-
sessore di acquistare, alla data di scadenza T > t, il sottostante al prezzo K
fissato in t.
Possiamo definire per una opzione Call, scritta ad esempio sul titolo azionario S,
la seguente funzione di payoff a scadenza, dove S(T ) e` il prezzo del sottostante
al tempo T :
C(T, S(T )) = max[(S(T )−K), 0]. (1.1)
Per determinare il valore al tempo t di questo contratto e` necessario specificare
le caratteristiche dinamiche del sottostante.
In questo capitolo prendiamo in considerazione derivati scritti su attivita` fi-
nanziarie di tipo azionario che non pagano dividendi e lavoriamo in ambiente
privo di rischio di tasso di interesse, con r costante nell’intervallo (T − t).
1.1 Il modello log-normale
La seguente equazione differenziale stocastica descrive la dinamica di un sot-
tostante di tipo azionario che non paga dividendi:
dS(t) = µ(t, S(t))dt+ σ(t, S(t))dW (t). (1.2)
La variazione infinitesima del valore di S al tempo t si compone di un termine
deterministico µdt, chiamato drift e di un termine stocastico diffusivo σdW (t).
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σ(t, S(t)) e` la funzione di volatilita` del processo, µ(t, S(t)) la funzione di drift;
entrambi sono funzioni del tempo e del sottostante. dW (T ) rappresenta una
variazione infinitesimale di un processo di Wiener normalmente distribuito, con
media 0 e varianza dt sotto la misura naturale di probabilita` P .
Il primo passo nel pricing di derivati consiste nel definire i parametri nella dina-
mica del sottostante. Assumiamo ad esempio una funzione lineare per il coeffi-
ciente di drift e per il coef-
ficiente di diffusione:
dS(t) = µS(t)dt+ σS(t)dW (t) (1.3)
dove µ e σ sono costanti. Il logaritmo di S(t) puo` essere scritto come:
d logS(t) = (µ− 0.5σ2)dt+ σdW (t). (1.4)
Calcoliamo il valore di logS al tempo T :
logS(T ) = logS(t) +
∫ T
t
(µ− 0.5σ2)dt+
∫ T
t
σdW (t). (1.5)
Le funzioni integrate sono costanti, il primo integrale e` uguale a (µ−0.5σ2)(T−t)
ed il secondo e` uguale a σW (T ) quindi:
S(T ) = S(t)e(µ−0.5σ2)(T−t)+σW (T ). (1.6)
L’esponete della (1.6) e` per definizione normalmente distribuito, quindi, il valore
di S al tempo T e` una variabile aleatoria con distribuzione log-normale; questa
e` l’assunzione fondamentale nel modello di Black-Scholes (1973).
Il processo che descrive l’evoluzione dinamica del sottostante, prende il nome
di Moto browniano geometrico GBM, il coefficiente µ viene interpretato come un
tasso di rendimento locale.
Consideriamo ora un mercato dove sono trattati n titoli azionari con un co-
mune fattore di rischio W (t) e la possibilita` di depositare in banca denaro ad un
tasso istantaneo di interese r costante nell’intervallo (T − t).
Assumendo che tutti i titoli azionari seguono un GBM, acquistando un titolo
azionario, il nostro investimento avra` la seguente dinamica:
dSi(t) = µiSi(t)dt+ σiSi(t)dW (t), i = 1, ...., n, (1.7)
dove dW (t) e` lo stesso per tutti gli n titoli. Nello stesso tempo investendo
B(t) unita` di valuta nel Money market account, il nostro investimento crescera`
secondo la seguente equazione differenziale deterministica:
dB(t) = B(t)rdt, (1.8)
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dove B(t) e` il Money market account. Nella (1.8) non vi sono termini stocastici,
pertanto la dinamica di B(t) e` deterministica; e` facile provare che investendo
una unita` di valuta in t il valore del deposito in T sara`:
B(T ) = er(T−t) (1.9)
1.2 Condizioni di non arbitraggio
Ora dimostriamo che assumendo un’unica fonte di incertezza, il moto brow-
niano geometrico presente nella dinamica dei titoli azionari, considerando un
portafoglio composto di due degli n titoli azionari trattati, Si ed Sj , e` possibile
individuare le quantita` α di Si e β di Sj che rendono il nostro portafoglio local-
mente privo di rischio.
Le dinamiche dei due titoli azionari sono descritte dalle seguenti equazioni dif-
ferenziali stocastiche:
dSi(t) = µiSi(t)dt+ σiSi(t)dW (t)
dSj(t) = µjSj(t)dt+ σjSj(t)dW (t)
Il valore del nostro portafoglio in t sara`:
V (t) = α(t)Si(t)dt+ β(t)Sj(t). (1.10)
Attraverso il Lemma di Ito, possiamo derivare la dinamica del nostro portafoglio
V :
dV (t) = α(t)dSi(t) + β(t)dSj(t),
sostituendo dSi(t) e dSj(t) e raccogliendo per dt e dW (t) otteniamo:
dV (t) = [α(t)Si(t)µi + β(t)Sj(t)µj ]dt+ [α(t)Si(t)σi + β(t)Sj(t)σj ]dW (t).(1.11)
Questa equazione differenziale stocastica esprime la dinamica del nostro portafoglio
V , che dipende dal valore di Si ed Sj al tempo t e dalle quantita` α e β.
Scegliendo:
α(t) = −σj
(σi−σj)Si(t) e β(t) =
σi
(σi−σj)Sj(t)
e sostituendo queste quantita` dentro la (1.11) otteniamo:
dV (t) = σiµj − σjµi
σi − σj
dt; (1.12)
il termine in dW (t) si cancella, il portafoglio diviene privo di rischio, come il
money market account.
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Dato che nel mercato non sono possibili arbitraggi non rischiosi, il parametro di
drift delle dinamiche (1.8) ed (1.12), deve essere lo stesso; avremo quindi:
σiµj−σjµi
σi−σj = r
σiµj − rσi = σjµi − rσj
µj−r
σj
= µi − r
σi
= λ. (1.13)
Il parametro λ viene chiamato premio di mercato per il rischio; se il mercato e`
privo di arbitraggi e` uguale per tutti i titoli trattati.
Il premio di mercato per il rischio ci dice che il maggior rendimento atteso, rispet-
to al rendimento privo di rischio, viene compensato da una maggior volatilita`.
1.3 Black -Scholes PDE
Torniamo ora alla nostra opzione Call ed esprimiamo la dinamica del suo prezzo
C(t) attraverso la seguente equazione differenziale stocastica:
dC(t) = µC(t, C(t))dt+ σC(t, C(t))dW (t). (1.14)
Assumendo che l’opzione sia trattata sul mercato, il suo valore in t deve soddis-
fare la condizione di non arbitraggio (1.13):
µC(t,C(t))
C − r
σC(t,C(t))
C
= λ. (1.15)
Il payoff dell’opzione C(T, S(T )) e` funzione del sottostante S, il suo valore in t
deve essere funzione del prezzo corrente del sottostante. Dal Lemma di Ito si
ottiene omettendo per semplicita` le dipendenze funzionali:
dC =
[
∂C
∂t
dt+ ∂C
∂S
µS + 1
2
∂2C
∂S2
σ2S2
]
dt+ ∂C
∂S
σSdW. (1.16)
La funzione di drift µC(t, C(t)) della (1.14) e` uguale al termine tra parentesi
quadre della (1.16) e la funzione di volatilita` σC(t, C(t)) e` uguale all’espressione
che precede il termine dW .
Sostituendo questi nella (1.15), che garantisce assenza di arbitraggi, otteniamo
la seguente espressione:
Cr = ∂C
∂t
+ ∂C
∂S
S[µ− λσ] + 1
2
∂2C
∂S2
σ2S2. (1.17)
Possiamo notare come in assenza di arbitraggi il termine tra le parentesi quadre
viene sostituito da r dato che vale la (1.13).
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Aggiungendo la funzione di payoff della nostra opzione Call (1.1), come con-
dizione a contorno, otteniamo la seguente equazione differenziale deterministica
nota come equazione di valutazione del modello di Black-Scholes:
Cr = ∂C
∂t
+ ∂C
∂S
rS + 1
2
∂2C
∂S2
σ2S2 (1.18)
C(T, S(T )) = max[(S(T )−K), 0]. (1.19)
La condizione a contorno (1.19) rappresenta il payoff del derivato alla data di
scadenza T .
Questo ragionamento si puo` ripetere per qualunque derivato il cui payoff e`
funzione del valore del sottostante a scadenza:
Y (T, S(T )) = f(S(T )). (1.20)
1.4 Rappresentazione in forma integrale e cambio misura
di probabilita`
Risolvendo l’equazione differenziale (1.18) con la condizione (1.19) abbiamo il
prezzo della Call.
In particolare si puo` dimostrare che il prezzo della Call ha la seguente rappre-
sentazione in forma integrale:
C(t, S(t)) = e−r(T−t)Ê{max[(S(T )−K), 0]}, (1.21)
dove Ê e` l’operatore di media condizionata al valore di S osservato in t, cal-
colata secondo una distribuzione di probabilita` log-normale con parametri (r −
σ2/2)(T − t) e σ
√
(T − t).
Si tratta di ricavare il valore atteso del payoff a scadenza C(T ) assumendo,
per il processo di prezzo S del sottostante, la dinamica espressa dall’equazione
differenziale stocastica:
dS(t) = rS(t)dt+ σS(t)dŴ (t), (1.22)
anziche` quella individuata dalla (1.1), dove Ŵ (t) e` un processo di Wiener sotto
la nuova misura di probabilita`.
1.5 Formula di Black-Scholes
La soluzione della (1.18) puo` essere calcolata anche in un altro modo, che ci
conduce alla nota formula di Black-Scholes per il pricing di opzioni europee.
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Si dimostra che la soluzione e` data da:
C(t, S(t)) = S(t)Φ(d1)−Ke−r(T−t)Φ(d2) (1.23)
d1 = ln(S(t)/K) + (r + σ
2/2)(T − t)
σ
√
((T − t))
d2 = d1− σ√τ
dove con Φ si indica la funzione di ripartizione della distribuzione normale stan-
dard.
1.6 Estensioni del modello di Black-Scholes
Fin dal momento della sua pubblicazione, nel 1973, il modello di Black-Scholes
e` divenuto molto popolare fino ad essere esteso alla valutazione delle opzioni su
valute, opzioni su indici e quelle su futures. In particolare gli operatori hanno
preso dimestichezza sia con l’assunzione di log-normalita` sottostante il modello,
sia con la misura di volatilita` che descrive l’incertezza; non sorprende il tentativo
di estendere il modello anche al caso di derivati su tasso di interesse.
Il modello di Black-Scholes si fonda sull’ipotesi di struttura piatta dei tassi di
interesse, considerando un mercato dove r, lo short rate, e` cosante nell’intervallo
(T − t). In linea di principio questo modello, non incorporando incertezza sui
tassi di interesse, non e` adeguato alla valutazione di titoli interest rate sensitive
per i quali, la variabilita` dei tassi di interesse, e` la principale determinante del
valore.
Tuttavia per la valutazione di bond option ed altri strumenti che descriveremo
nel Capitolo 2 e` largamente diffusa nei mercati l’utilizzo di una versione aggiu-
stata della formula di Black-Scholes nota come formula di Black ’77.
Consideriamo al tempo t un coupon bond che garantisce i flussi di importi:
x = x1, ..., x2,
t = t1, ..., t2
con t < t1 < t2 < tn ed una opzione europea scritta sul coupon bond con strike
K e maturity T > t. Assumiamo per semplicita` che T precede la prima scadenza
t1. Indicando con B(t) il prezzo dell’obbligazione in t il payoff dell’opzione sara`:
C(T,B(T )) = max[(B(T )−K), 0]. (1.24)
Si dimostra che il prezzo dell’opzione Call su Bond e` dato dalla seguente formula:
C(t, B(t)) = B(t)Φ(d1)−Ke−r(T−t)Φ(d2) (1.25)
d1 = ln(B(t)/K) + (σ
2/2)(T − t)
σ
√
((T − t))
d2 = d1− σ
√
(T − t)
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formalmente identica a quella di Black-Scholes su stock che non paga dividendi
con la sola sostituzione di S(t) col prezzo corrente B(t) dell’obbligazione.
Nel capitolo 2 vedremo altre applicazioni del modello di Black-Scholes alla valu-
tazione di contratti interest rate sensitive; il mercato prezza anche forme con-
trattuali che hanno come sottostante tassi di interesse con la formula di Black
’77.
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