Tecniche FEM per l’imposizione delle condizioni al contorno basate sui PML e sugli Elementi Infiniti

Introduzione 
 
 
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INTRODUZIONE 
 
Nello studio di fenomeni  elettromagnetici, attraverso software che eseguono 
l’analisi con il metodo degli elementi finiti (FEM), il dominio di studio può essere 
racchiuso con delle condizioni di assorbimento. 
In questa tesi si descriveranno due metodi per imporre condizioni al contorno 
attraverso tecniche FEM: l’uso del PML (Perfectly Matched Layers o Strati 
Perfettamente Accoppiati) e le condizioni al contorno agli Elementi Infiniti. 
Il PML è una tecnica proposta abbastanza di recente da Berenger (1994) e viene 
utilizzata come dominio addizionale a quello di studio per assorbire le onde 
elettromagnetiche nella loro propagazione. 
Il metodo agli Elementi Infiniti è usato soprattutto per problematiche di 
magnetostatica a basse frequenze e serve per approssimare, con un’adeguata mesh, 
domini illimitati o di tipo semi-infinito nei software che utilizzano il metodo FEM.  
In questo lavoro di tesi si sono implementati dei modelli con il metodo agli elementi 
finiti attraverso l’utilizzo del software COMSOL, programma che utilizza il linguaggio 
Femlab, tramite il quale si possono studiare multi fisiche connesse in singole 
geometrie, per verificare il funzionamento delle condizioni al contorno applicate e il 
comportamento dei fenomeni elettromagnetici in presenza o meno delle tecniche 
analizzate in questa trattazione. 
Nel primo capitolo si descrivono le onde elettromagnetiche, le loro proprietà e i 
fenomeni ad esse connesse come la loro propagazione, la polarizzazione, l’energia 
trasportata, l’assorbimento e la riflessione; temi fondamentali per l’analisi del 
funzionamento del PML. 
Nel secondo capitolo è esposto il metodo FEM, la trattazione del PML dal punto di 
vista fisico e matematico e la filosofia della tecnica che sta alla base degli Elementi 
Infiniti.
Introduzione 
 
 
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Nel terzo capitolo è spiegato il funzionamento del COMSOL e vi è la trattazione 
riguardo l’implementazione dei modelli, con tecniche FEM, dove sono stati usati il 
PML e il metodo degli Elementi Infiniti.
Capitolo 1 
 
 
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CAPITOLO 1 
 
LE ONDE ELETTROMAGNETICHE 
 
1.1 Introduzione alle onde 
 
La propagazione di una grandezza fisica tramite onde è uno dei fenomeni più 
caratteristici e importanti della Fisica. 
Esistono vari tipi di onde, alcune hanno bisogno di un mezzo materiale per propagarsi 
come le onde sismiche o le onde sulla superficie di un liquido altre, invece, non 
hanno bisogno di un mezzo materiale per la propagazione, tra queste vi sono le onde 
elettromagnetiche. 
Sono onde elettromagnetiche quelle utilizzate nelle trasmissioni radiotelevisive, le 
onde luminose visibili, infrarosse e ultraviolette o i raggi X. 
Tali onde si propagano nel vuoto con velocità  = 3 ∙ 10
 m/s e possono attraversare 
anche mezzi materiali, nei quali la propagazione avviene sempre con velocità 
inferiore a c. 
In generale si definisce come onda una qualsiasi perturbazione, impulsiva o periodica, 
che si propaga con una velocità ben definita. 
Le onde hanno origine da una sorgente, in cui si produce la perturbazione: questa può 
consistere in una vibrazione di un corpo materiale che mette in movimento le 
molecole di un mezzo (onde elastiche) o in un movimento di cariche elettriche (onde 
elettromagnetiche). 
Formalmente un’onda si riconduce alla perturbazione delle condizioni di equilibrio di 
un campo che descrive una proprietà di un sistema fisico. 
Si indica come campo una grandezza fisica che può essere definita in ogni istante in 
ciascun punto dello spazio. 
I campi trattati saranno il campo elettrico E (x,y,z,t) e il campo magnetico B (x,y,z,t), 
nel vuoto o in mezzi materiali, questi sono campi di tipo vettoriale; per definirli in un 
dato sistema cartesiano occorrono tre funzioni:
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Ex(x,y,z,t), Ey(x,y,z,t), Ez(x,y,z,t), 
 
 Bx(x,y,z,t), By(x,y,z,t), Bz(x,y,z,t), 
 
Si definisce un’onda elettromagnetica come una perturbazione del campo elettrico e 
del campo magnetico, prodotta da cariche in moto, che si propaga nello spazio 
circostante. 
La perturbazione di un campo che, prodotta da una sorgente, si propaga nello spazio 
viene rappresentata con la funzione ξ(x,y,z,t), detta funzione d’onda. 
Il simbolo ξ può rappresentare, per esempio, sia lo spostamento di un elemento del 
sistema dalla posizione di equilibrio, che ha luogo in tutte le onde elastiche, che una 
variazione ∆p di pressione o ∆ρ di densità e anche una forza F o una potenza P. 
Una situazione particolare è costituita dalle cosiddette onde piane, descritte dalla 
funzione ξ(x,t), spazialmente unidimensionale, cioè dipendente dalla sola coordinata 
spaziale x oltre che dal tempo. 
Il nome di onda piana deriva dal fatto che la perturbazione in un certo istante t0 
assume lo stesso valore ξ(x0,t0) in tutti i punti del piano di equazione x = x0, 
ortogonale all’asse di propagazione x e quindi parallelo al piano y,z. 
Limitandoci per ora a considerare soltanto onde piane, abbiamo trovato che la 
funzione d’onda soddisfa sempre all’equazione differenziale: 
 
     =
        ovvero 
     =                   [1.1] 
 
che è detta equazione delle onde piane o equazione di d’Alembert, il coefficiente v
2
 è 
il quadrato della velocità di propagazione.[rif.1] 
La precedente equazione è una equazione differenziale alle derivate parziali del 
secondo ordine, omogenea, a coefficienti costanti, lineare nella funzione incognita ξ. 
L’origine fisica della proprietà di linearità nel caso delle onde elettromagnetiche 
deriva dalla linearità delle equazioni di Maxwell. 
Si dimostra che le funzioni soluzioni dell’[ 1.1] possono essere di qualsiasi tipo, però 
la dipendenza delle variabili x e t deve assumere una delle due forme:
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ξ x − vt , ξ x + vt , ovvero ξ t −
   , ξ t +
   ,                [1.2] 
 
L’argomento di ξ deve cioè contenere le variabili x e t sotto forma di combinazione 
lineare. Pertanto: 
 
ξ =  −                         ξ = ξ
 sin k x − vt                                 ξ = ξ
 e
 
 
sono tutte possibili soluzioni dell’[1.1], mentre non lo sono ξ = x vt, ξ =
  e simili. 
Dalla linearità dell’[1.1] segue inoltre che la somma di due soluzioni è ancora 
soluzione. La soluzione più generale dell’[ 1.1] si ottiene quindi come : 
 
ξ x, t =    x − vt +    x + vt 
 
cioè come somma delle due soluzioni indipendenti. 
Il significato fisico delle funzioni [1.2] sta nel fatto che esse rappresentano, per via 
della loro struttura, un fenomeno di propagazione lungo l’asse x con velocità v. 
Il valore ξ
 assunto dalla funzione ξ all’istante t0 nella posizione x0, ξ
 = ξ x
 −
vt
  ,si ritrova in qualsiasi istante successivo t > t0 nel punto x che soddisfa alla 
condizione 
 −  =   −   ovvero  =   +    −    
 
relazione che esprime un moto rettilineo lungo l’asse x con velocità v. 
Analogamente ξ x + vt rappresenta una grandezza che si propaga con velocità v 
lungo il verso negativo dell’asse x. In entrambi i casi si tratta di una traslazione 
rigida nel senso che la funzione non cambia mai forma. Questa invarianza della 
forma durante la propagazione è una caratteristica delle singole funzioni che sono 
soluzioni di [1.2]. 
Si è già detto che la somma di due funzioni di tipo [1.2] è ancora soluzione delle 
onde [1.1]: la sovrapposizione di due onde è ancora un’onda che si ottiene in ogni 
istante e in ogni punto effettuando l’operazione di somma. Se ciò avviene vuol dire 
che due onde, anche se agiscono insieme, restano indipendenti, non vengono 
modificate l’una dalla presenza dell’altra, perché se così fosse il risultato non sarebbe
Capitolo 1 
 
 
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la semplice somma delle due perturbazioni, ciascuna considerata come se l’altra non 
ci fosse. 
Le onde che soddisfano la [1.1] obbediscono dunque al principio di sovrapposizione. 
 
1.1.1  I fenomeni ondulatori 
 
Esistono molti tipi di moti oscillatori, in particolare armonici; oscillazioni locali, sia 
armoniche che qualsiasi, possono essere provocate in una zona specifica di un corpo 
continuo elastico, solido o fluido (che viene chiamato mezzo). 
Nel caso di mezzo fluido, per esempio una massa d’acqua in quiete in cui viene fatto 
oscillare verticalmente un piccolo corpo, si può osservare visivamente che 
l’oscillazione del corpo provoca un’oscillazione dell’acqua (innalzamento e 
abbassamento locale della superficie) che non resta localizzata ma si allontana con 
simmetria circolare dal centro. 
In pratica il corpo causa il movimento degli elementi contigui del mezzo elastico e 
questi a loro volta interagiscono con altri elementi a loro contigui mettendoli in 
movimento e così via. 
Nel caso di mezzo solido, ad esempio una sbarra metallica colpita da una piccola 
punta,  invece, non si ha un movimento macroscopico di materia, il mezzo nel suo 
complesso resta fermo. Invece l’oscillazione, indotta localmente dall’esterno, si 
propaga nel mezzo: i vari elementi del mezzo oscillano attorno alla loro posizione di 
equilibrio, con un certo ritardo rispetto alla sorgente che dipende dalla distanza dalla 
sorgente e dalla velocità di propagazione. Un fenomeno di questo tipo viene chiamato 
ondulatorio e l’oscillazione che si propaga nel mezzo con una ben definita velocità 
costituisce un’onda. 
Si premette che si limiteranno le considerazioni effettuate al caso unidimensionale, in 
cui la propagazione avviene lungo una determinata direzione, ad esempio l’asse x. 
L’oscillazione che si chiama perturbazione del mezzo, può essere una qualsiasi 
funzione f(x,t) della posizione e del tempo.