Tecniche di controllo robusto per strutture flessibili in presenza di carichi ambientali

20 CAPITOLO 1. INTRODUZIONED'altro canto il progettista moderno possiede tecniche e strumenti di calcolo un tem-po impensabili e puo quindi non solo eettuare analisi statiche molto sosticate, maanche analisi dinamiche e simulazioni nel tempo, puo variare senza grosse diÆcoltai parametri del problema in modo da ottenere la massima resistenza. Inoltre sonostati compiuti molti studi sia sui sismi che sul vento, le onde marine e tutti gli altricarichi ambientali a cui una struttura puo essere soggetta durante la sua vita, grazieai quali si possiedono oggi metodi probabilistici in grado di fornirci dei criteri utiliper il dimensionamento delle strutture.Non tutte le strutture hanno pero la stessa importanza. Naturalmente il crollo sarasempre da evitare in quanto necessariamente porta a perdite di vite umane, mail grado di danneggiamento accettabile varia da caso a caso a seconda della desti-nazione d'uso della costruzione. Cos per esempio per un edicio di civile abitazionesi accetteranno grossi danni purche non si abbia collasso totale, mentre per ospedalie caserme dei Vigili del Fuoco si accetteranno danneggiamenti molto minori. Infattiin caso di evento catastroco questo tipo di costruzioni deve necessariamente restareutilizzabile per far fronte alla situazione di emergenza che si viene a creare. Quindiuna delle sde per l'ingegnere strutturale moderno etrovare metodologie innovativeper proteggere le strutture dalla distruzione o dal danneggiamento dovuto ai carichiambientali.Si osservache, mentre il sisma everamente un avvenimento eccezionale, nel senso cheprobabilmente si manifestera in tutta la sua violenza una o due volte durante la vitamedia di una comune struttura, il vento forte e un fenomeno molto piu ricorrente.Ci si dovra allora occupare anche di tutti i problemi che cio comportera , qualiad esempio eccessive accelerazioni nel caso di edici alti che, sebbene non sianodi per se pericolose per quanto riguarda la sicurezza, rendono momentaneamenteinutilizzabile la struttura generando negli individui al suo interno malesseri quali il"mal di mare".Quello del comfort e quindi l'altro aspetto fondamentale cui il progettista deve farfronte: evero che una oscillazione di un metro all'ultimo piano di un grattacielo none preoccupante ai ni della sicurezza, ma puo essere molto fastidiosa. In generalequindi si limitano gli spostamenti relativi tra i piani per garantire la sicurezza,mentre le accelerazioni per assicurare il comfort.Una possibilita di soluzione di tale problema per i ricercatori e i progettisti ediintro-durre strutture piu conservative cosicche costruzioni come grattacieli o ponti sianopiu adatte a contrastare i carichi ambientali. Questo tipo di approccio, comunque,
21e in generale inattuabile sia dal punto di vista economico che tecnologico.Un'altra possibile soluzione e oerta dalla ottimizzazione strutturale mediante laquale si massimizzano certe grandezze nel rispetto di determinati vincoli, come adesempio si massimizza la resistenza di un elemento strutturale modicandone laforma sotto il vincolo che la quantita di materiale utilizzato sia costante, oppure siminimizza la quantitadimateriale necessario a paritadiresistenza.Un altro possibile approccio e quello di modicare la dinamica stessa del siste-ma strutturale mediante un controllo "passivo", cioe un controllo ottenuto intro-ducendo elementi quali smorzatori addizionali che vengono calcolati una volta pertutte durante il progetto dell'opera e non vengono piu modicati indipendentementedall'entita del carico agente.Inne un'ultima possibile strada e quella di rendere il comportamento delle strutturesimile a quello di macchine, aeroplani o arti umani nel senso che esse possono essererese in grado di adattarsi ai carichi esterni. Si possono allora introdurre dei "muscolistrutturali", cioe dei dispositivi tali che, come nel corpo umano i muscoli agisconoper far fronte alle varie situazioni, siano in grado di modicare le caratteristichedella struttura per renderla piu adatta a resistere ai carichi ambientali.Quest'ultimo approccio ha portato al controllo strutturale attivo e ha aperto per iprogettisti un nuovo campo d'indagine che, dopo essere stato ritenuto a lungo unapura curiosita intellettuale, si avvia ormai ad essere universalmente riconosciutocome un ottimo mezzo di difesa delle costruzioni.Un'altra ragione per cui il controllo strutturale attivova via via ricevendo attenzionisempre crescenti va ricercata nel fatto che in questi ultimi anni sono stati compiutipassi da gigante anche nelle cosiddette "tecnologie alleate" quali ad esempio i com-puter, l'elettronica, le tecniche di misura, i controllori, gli attuatori e i materiali.Ad esempio no a una dozzina di anni fa sarebbe stato impensabile adottare uncontrollo attivo che implicasse la presenza di un computer che, in tempo reale, ap-plicasse un algoritmo di controllo da trasmettere poi all'attuatore, perche le potenzedi calcolo disponibili erano notevolmente inferiori e con costi neppure paragonabiliagli attuali.L'ottimizzazione strutturale e il controllo attivo possono essere ritenuti due facce diuna stessa medaglia, nel senso che entrambe le tecniche portano a un comportamentomigliore della struttura sotto le varie condizioni di carico in cui si verra a trovare:in questa tesi ci si occupera pero principalmente di analizzare e risolvere alcunidei problemi legati al controllo attivo, x senza tralasciare una breve trattazione del
22 CAPITOLO 1. INTRODUZIONEcontrollo passivo ma ignorando invece completamente l'ottimizzazione strutturale,nonostante sia un campo di ricerca ancora aperto a molteplici sviluppi.1.1 Considerazioni preliminariI carichi ambientali quali vento, onde e terremoti a cui sono soggette le costruzionisono per loro natura non solo aleatori, ma anche mutevoliinintensita e direzione. Diconseguenza e in generale molto diÆcile riuscire non solo a prevedere tutte le possibilicondizioni eettive di carico, ma anche rendere la struttura adatta a resistere a talisollecitazioni.In tempi passati, ad esempio, si realizzavano i solai preoccupandosi solo dei carichiverticali cui ordinariamente tale struttura e soggetta, quali il peso proprio e quelloaccidentale derivante da mobili e persone: tali azioni erano quindi tutte in direzioneverticale e per di piu rivolte verso il basso. Nel caso di sisma, pero , il moto on-dulatorio del terreno in direzione orizzontale provoca azioni orizzontali derivantidall'inerzia del solaio stesso, mentre il moto verticale, sempre a causa delle inerziederivanti dalla massa del solaio, genera aumenti e diminuzioni ttizie del peso pro-prio. Dal momento che tali azioni non erano state tenute in conto in fase di progetto,molto spesso le costruzioni crollavano proprio per l'impossibilita di orire un eÆcacecontrasto.Fino a tempi recenti l'unica possibilita per aumentare la resistenza era di realizzarestrutture sempre piu massicce che si opponessero alle forze esterne in modo passivograzie alla loro solidita , mentre erano completamente incapaci di adattarsi alladinamica dei carichi agenti. Si puo dire che i termini solidita e massiccio fosserosinonimi di sicurezza. Questo puo essere vero per strutture non troppo impegnative,tuttavia in questi ultimi anni sono emersi una serie di fattori che hanno portato ariconsiderare attentamente l'equazione: costruzione massiccia = costruzione sicura.Alcuni di questi sono:- Innalzamento dei livelli di sicurezza. Dal momento che agli edici sono richiestilivelli sempre piu alti di sicurezza, le strutture diventano sempre piu complessee costose. E' questo il caso di strutture alte, di piattaforme petrolifere oshoree di centrali nucleari. In questi casi anche un modesto danneggiamento esinonimo di disastro;- richiesta di prestazioni sempre migliori. Una volta garantita la sicurezza, alle
1.1. CONSIDERAZIONI PRELIMINARI 23strutture convenzionali e solitamente permesso deformarsi e persino subiredanni locali purche all'interno di determinati limiti. Cio nondimeno, allestrutture si richiede sempre piu spesso di rimanere all'interno di condizionivincolanti ancora piu restrittive per consentirne un corretto funzionamento.E questo ad esempio il caso di stazioni reggenti apparecchi molto sensibili qualiradar, telescopi o strutture aerospaziali;- miglior utilizzo dei materiali. E' chiaro che qualsiasi risparmio di materiale,oltre a tradursi immediatamente in un risparmio dal punto di vista economico,si traduce anche in un risparmio di peso. Questo e importante soprattutto peredici alti o per strutture nello spazio;- aumento della 
essibilita . Con la moderna tendenza a costruire edici semprepiu alti, ponti sempre piu lunghi e in generale strutture sempre piu 
essibili,i carichi ambientali possono generare livelli tali di vibrazioni indesiderate dacondizionare non solo il confort degli occupanti la struttura, ma addirittura lasicurezza.Come conseguenza di tutto cio si sono andati evolvendo i concetti di controllo attivoe passivo.Per controllo attivo si intende un qualunque sistema di controllo atto a modicarela dinamica di una data struttura grazie a dispositivi in grado di immettere energiain punti strategici di essa. Viceversa si parla di controllo passivo quando si adottanodispositivi tali da limitare l'immissione di energia da parte dei carichi ambientalioppure atti a smorzarne velocemente l'eetto. Inoltre nel caso di controllo passi-vo la struttura viene modicata nelle sue caratteristiche dinamiche una volta pertutte all'atto dell'inserimento di tali dispositivi, mentre nel controllo attivo l'azionedi controllo e continuamente ridenita in linea da un algoritmo implementato suelaboratore il quale, a seconda delle condizioni in cui si trova ad operare, modical'azione di controllo esercitata dagli attuatori.Ameta tra il controllo attivo e quello passivo si hanno i cosiddetti dispositivi semi-attivi,cioe dei particolari dispositivi passivi in grado di modicare in tempo reale leproprie caratteristiche dinamiche. In questo caso l'energia necessaria al loro funzion-amento e ridottissima dal momento che per modicarne le caratteristiche si inter-viene, ad esempio, solo sull'apertura o chiusura di una valvola del pistone idraulicofungente da smorzatore passivo.
24 CAPITOLO 1. INTRODUZIONENel campo dei sistemi di controllo passivo si possono includere gli isolatori di base(base isolators) usati soprattutto per contrastare il carico da sisma, gli smorzatoria masse regolate (tuned mass dampers), gli smorzatori a 
uido (sia completamentepassivi che semiattivi) usati principalmente contro la forza del vento, gli smorza-tori a ciclo di isteresi (shape memory alloys devices) usati in particolar modo nelrecupero di edici danneggiati dal sisma e numerosi altri dispositivi dissipatori. Nelsettore del controllo attivo, invece, si utilizzano soprattutto sistemi a massa guida-ta (active mass driver) solitamente posizionati all'ultimo piano dell'edicio, tirantiattivi (active tendon system) in genere situati al pian terreno e razzetti pulsanti(pulse thruster). Una rassegna piu dettagliata e presentata in appendice (B) o sipuotrovare in [23].Mentre il controllo passivoe stato ormai recepito dalla maggior parte dei progettisti,il controllo attivo delle strutture e ancora poco noto e, di conseguenza, solo unnumero limitato di edici hanno in dotazione tali sistemi di protezione: alcuni diquesti sono riportati in tabella (B.4.3) in appendice (B).In ogni caso, nonostante il controllo passivo sia in generale piu conosciuto e accettatoche non il controllo attivo, quest'ultimo presenta indubbi vantaggi ed e destinatoa diventare sempre piu uno standard nella progettazione di strutture impegnative.Infatti:1. Non si potra mai tenere in conto tutti i possibili carichi ambientali cui lastruttura sara soggetta durante il corso della sua vita. Di conseguenza, alsopraggiungere di un carico eccezionale, si possono vericare danni consistentie addirittura crolli. Il controllo attivoe un tentativo per rendere la strutturaresistente anche a quei carichi ai quali la struttura non sarebbe altrimentiin grado di resistere. Questa protezione "extra" e particolarmente attraentese si pensa al risparmio di vite umane diretto ,cioe dovuto al non crollo, eindiretto, cioe dovuto alla possibilita per ospedali o caserme dei Vigili delFuoco di continuare a svolgere le proprie funzioni in casi di emergenza. Inoltreconsiderati i costi astronomici richiesti per realizzare tali opere, il controlloattivo risulterebbe solo una piccola aliquota di esso in cambio di forti risparmidovuti ai mancati danneggiamenti.2. Come gia ricordato, con l'avvento di nuovi materiali le strutture sono diventatesempre piu lunghe, alte e 
essibili. L'applicazione del controllo attivo e unadelle possibili risposte al problema delle vibrazioni eccessive, anzi, per strutture
1.1. CONSIDERAZIONI PRELIMINARI 25alte 500 piani e piu come oggigiorno si progettano (si veda tabella (B.4.3))l'uso di sistemi di controllo passivi o attivi sara sicuramente una delle partifondamentali del progetto.3. Sistemi di controllo attivo e passivo possono essere utilizzati con protto perrinforzare le strutture e renderle piu adatte a resistere a forti terremoti. Infattigli odierni mezzi passivi basati su muri di controventamento risultano esseretroppo invasivi, nel senso che occupano molto spazio all'interno della strutturae limitano molto la disposizione degli ambienti interni.4. I sistemi di controllo passivi, inoltre, presentano limitazioni intrinseche im-possibili da eliminare se non a costo di spese eccessive e meccanismi moltocomplicati. Ad esempio, nel caso si scelga di operare un controllo passivoposizionando una massa oscillante che modichi il primo modo proprio di vi-brare della struttura, sicuramente si avra un eÆcace controllo, ma limitatosolamente a tale frequenza. Il controllo attivo opera invece su un intervallomolto piu ampio di frequenze, presentandosi cos come la logica estensione delcontrollo passivo.5. Tecniche di controllo attivo possono essere utilizzate con successo anche percontrollare solo una parte della struttura che per ragioni particolari, per es-empio la presenza di strumenti di misura molto precisi, non possano assoluta-mente subire alcun movimento.6. Inne, l'idea di controllo attivo stessa e molto rivoluzionaria perche permettedi passare da una concezione statica e passiva della struttura a una dinamica eadattativa. In linea di principio si potrebbe pensare che le strutture del futurosaranno costruite in modo da resistere ai carichi permanenti e piucomuni permezzo di tradizionali membri passivi mentre ai membri attivi verra delegato ilcompito di resistere ai carichi esterni variabili.Naturalmente non mancano anche i punti deboli:1. Nonostante siano gia stati realizzati diversi edici all'interno dei quali sonostati montati organi di controllo attivo, gli esempi su cui basarsi nella proget-tazione di una nuova struttura non sono cosnumerosi come quelli riguardantiil controllo passivo.
26 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE2. Il fatto di dover immettere energia puo essere problematico in caso di eventosismico o di trombe d'aria, dal momento che la rete di distribuzione dell'en-ergia elettrica puo venire danneggiata dai crolli degli altri edici o da incendiscatenati per esempio dalla rottura delle tubature del gas. E dunque indispen-sabile fornire la struttura di speciali accumulatori o generatori che entrino infunzione tempestivamente in caso di necessita .Lo spazio occupato da tali accumulatori puo essere pero notevole: in alcunicasi si preferisce allora ricorrere a tecniche semi-attive dal momento che gliattuatori di quest'ultime necessitano per il loro funzionamento di una quantitadi energia diversi ordini di grandezza inferiore rispetto a quelli del controlloattivo.3. Una ulteriore critica che spesso si muove al controllo attivoe che il lungo pe-riodo di inattivita tra un sisma e l'altro oppure tra due giornate ventose in cuisi renda necessario l'intervento del dispositivo di controllo attivo puo pregiu-dicare il corretto funzionamento dei sensori o degli attuatori, con la nefastaconseguenza che, al momento della necessita , il controllo attivo non possaesplicarsi nella sua totalita . In realta , invece, tale inattivita nel caso di ec-citazione da vento e solitamente dell'ordine di grandezza di qualche giorno ecomunque, anche se fosse molto prolungata come nel caso di eccitazione dasisma, e possibile introdurre procedure di autodiagnostica che periodicamentecontrollino in modo automatico lo stato dei sensori, degli attuatori, dell'hard-ware ecc. Sarebbe in pratica necessaria solo una manutenzione ordinaria comeper qualunque altra parte della struttura.Come si vede, quindi, le argomentazioni a favore del controllo attivo sono decisa-mente piuconvincenti di quelle contro, tanto piuche queste ultime, come mostrato,possono essere aggirate senze troppe diÆcolta.Un buon controllo attivo, pero,non solo deve basarsi su una tecnologia sicura, maanche su eÆcaci algoritmi che, oltre ad aumentarne le prestazioni, ne garantiscanol'aÆdabilita e la sicurezza in particolar modo riguardo alla stabilita : se cio nonfosse vericato, come si vedra piu avanti, in controllo non solo non migliorera lasituazione, ma generera forze tali da favorire il collasso.
1.2. ORGANIZZAZIONE DEL LAVORO 271.2 Organizzazione del lavoroNella prima parte del presente lavoro, oltre ad una introduzione esplicativa riguardola scelta di studiare tecniche di controllo robusto, vengono riassunte le principalinozioni di teoria dei sistemi e controlli automatici per poi passare a descivere letecniche piu moderne di controllo robusto. Alcuni esempi numerici mostrano poil'eettivo miglioramento di prestazioni dovuto all'uso di tali tecniche.Piu in dettaglio, nel capitolo 1 si motiva l'interesse attuale verso le tecniche dicontrollo sia attivoche passivo delle strutture nei confronti dei carichi ambientali ein particolare si pongono a confronto i pro e i contro delle tecniche di controllo attivo.Nel capitolo 2 si introduce il concetto di sistema dinamico per poi passare ad unaformulazione del problema di controllo. Tale capitolo ha come scopo principale diiniziare al controllo chi avesse solo una conoscienza superciale di tale disciplina.Denita dunque la stabilitadiun sistema, si passa ad enunciarne le caratteristiche(osservabilita , controllabilita ecc) formulando anche i teoremi relativi a tali impor-tanti proprieta. Introdotta quindi la trasformata di Laplace, si spiega come ricavarela funzione di trasferimento a partire sia dalla rappresentazione state-space che dalsistema di equazioni dierenziali e si passa a descrivere i diagrammi e i criteri adessa relativi. Nella parte nale di tale capitolo viene svolta una rassegna dettagliatadelle tecniche classiche di controllo. Numerosi esempi chiariscono via via i concettiesposti.Nel capitolo 3 si entra invece nel cuore della trattazione riguardante il controllo disistemi incerti e, dopo aver esposto i concetti si stabilita robusta e prestazione ro-busta per sistemi ad un ingresso ed una uscita, si generalizza la trattazione a sistemimulti ingresso e multi uscita. Viene spiegata inne la tecnica di sintesi del control-lore nota come -sintesi e il metodo dell'iterazione DK.Nel capitolo 4 vengono presentati alcuni studi numerici. Nel primo di essi, un siste-ma ad un grado di liberta , si realizza un confronto tra le tecniche di contollo classicoesposte al capitolo 2 e la  -sintesi trattata al capitolo 3. Una volta mostrata lavalidita di quest'ultimo metodo, si passa ad applicarlo ad un telaio a diversi piani(cioe a diversi gradi di liberta).Viene inoltre riportato uno studio sul numero e il
28 CAPITOLO 1. INTRODUZIONEposizionamento "ottimo" dei tiranti attivi in una struttura a molti piani.Nel capitolo 5 sono presentate le conclusioni e i possibili sviluppi delle tecniche dicontrollo attivo.
In appendice vengono fornite alcuni strumenti matematici fondamentali ai ni dellapresente trattazione, tra cui la denizione di norma, di LFT e di rappresentazionestate-space.Una breve trattazione e dedicata anche ai dispositivi che nella pratica vengonoutilizzati per realizzare il controllo attivo, passivo e semi-attivo.Inne viene riportato l'esempio storicamente piu signicativo di controllo automati-co, cioe il regolatore di Watt, e alcune curiosita sul ruolo dei controlli automaticiin altri campi delle scienze applicate a dimostrazione della grande generalita deiconcetti trattati.
Capitolo 2Stato dell'arte in tema di controllostrutturale attivo2.1 PremessaGiadadiverso tempo si utilizzano tecniche di controllo attivo in molti settori dell'in-gegneria per i quali tali metodi si sono rivelati molto utili e, ormai, indispensabili:si pensi ad esempio all'utilizzo del pilota automatico in aeronautica o all'impiegodi robot per operazioni pericolose o ripetitive nell'industria automobilistica e piuingenerale manifatturiera, al controllo della temperatura e umiditainun edicio conaria condizionata o al dispositivo di frenatura controllata anti-scivolamento (ABS)delle ruote di un autoveicolo o ancora all'impianto di controllo di una centrale nu-cleare. Quando, quindi, si comincio a pensare che si sarebbe potuto modicare lastruttura stessa degli edici in modo da renderla piu resistente alle sollecitazioni es-terne quale venti particolarmente impetuosi oppure sismi, e che tali variazioni dellecaratteristiche dinamiche della struttura potevano essere modicate in linea con l'ar-rivo della sollecitazione, apparve evidente che molte tecniche di controllo potevanoessere desunte da quei settori dovegiadadiversi anni erano utilizzate con successo.L'idea era infatti di installare un numero minimo di sensori in varie posizioni dellastruttura per misurare grandezze come l'accelerazione, la velocita e gli spostamenti,di rielaborare i segnali e poi, grazie aunalgoritmo di controllo studiato ad hoc perla struttura, azionare in tempo reale dei dispositivi del tipo di masse traslanti otiranti a rigidezza variabile che modicassero la struttura in modo da minimizzareuna data grandezza, come ad esempio l'accelerazione a un determinato piano.29
30 CAPITOLO 2. STATO DELL'ARTE DEL CONTROLLOGrazie allo sviluppo vertiginoso della potenza di calcolo in questi ultimi anni e per lapresenza di una vasta letteratura su cui iniziare l'attivita di ricerca di applicazioniconcrete, lo sviluppo del controllo attivo nel settore dell'ingegneria civile e statomolto veloce. Se da un lato, pero , si disponeva di una vasta letteratura scienticasulla quale basarsi, dall'altro erano inesistenti metodologie particolarmente adatte aprove sperimentali su strutture civili. Si fa quindi ricorso ai risultati derivati dallateoria dell'elaborazione del segnale, utile per l'acquisizione e la manipolazione deidati misurati da sensori opportunamante posizionati sulla struttura. Rimanevanocomunque alcuni aspetti peculiari del controllo strutturale attivoche, pur se studiatinel passato, hanno richiesto un completo riesame della situazione.Alcuni di questi sono:1. l'aleatorieta delle azioni esterne e dei parametri costituenti il modello strut-turale da controllare;2. la nonlinearita costitutivaegeometrica;3. l'applicazione di ltri e stimatori utili alla ricostruzione dello stato del sistemaa partire da output misurabile in generale piuttosto limitato;4. l'ordine di grandezza delle forze in gioco di gran lunga superiore a quelle usualiin altri settori.2.2 Denizione di controlloPer controllo di un sistema si intende la modica delle sue caratteristiche dinamichein modo da soddisfare a determinate speciche di progetto. La prima e fondamentalespecica cui un controllo deve rispondere e sicuramente la stabilita,cioe il sistemarisultante ottenuto dalla combinazione del sistema da controllare con il controlloredeve essere almeno stabile. Fatta salva la stabilita , altre speciche di progetto a cuiriferirsi riguardano solitamente il comportamento del sistema, sia in condizioni diregime, che durante il transitorio; ad esempio imponendo che durante quest'ultimoil sistema non presenti oscillazioni troppo elevate e nello stesso tempo presenti unerrore a regime che si mantenga in valore assoluto all'interno di un certo intervallodi tolleranza.Naturalmente non esiste mai un'unica soluzione possibile, ma la scelta deve essereoperata valutando bene quali sono gli scopi del controllo.
2.2. DEFINIZIONE DI CONTROLLO 31Entro la rosa di soluzioni possibili si parla allora di:1. problemi di tempo minimo quando cio che si vuole minimizzare e il tem-po necessario per portare il sistema da uno stato iniziale a uno stato naledesiderato;2. problemi di minima sensitivita quando si cerca di minimizzare le variazioni delcomportamento del sistema dovute all'in
uenza di variazioni parametriche;3. problemi a minimo errore nale quando si vuole minimizzare lo scostamentodello stato naledaunostato ideale desiderato;4. problemi di controllo ottimo quando si vogliono ottimizzare le prestazioni delsistema controllato rispetto ad un assegnato indice di merito.Appare quindi di fondamentale importanza una modellazione del sistema sico il piupossibile aderente al vero e, nello stesso tempo, non troppo complicata. Se infatti ilsistema di equazioni dierenziali di partenza non e una fedele descrizione matema-tica del sistema sico, non e pensabile poter ottenere un buon controllore neanchecon tecniche molto sosticate. Questo non implica peroche sia necessario utilizzaremodelli molto complicati: molto spesso nei modelli dei sistemi utilizzati nei controlliautomatici si sacrica la precisione a favore della semplicita , dal momento che einutile ricorrere a modelli sosticati quando i valori dei parametri che in essi com-paiono sono noti solo approssimativamente. Inoltre non esiste una corrispondenzabiunivoca tra sistemi sici e modelli matematici, dal momento che per uno stessosistema sico, a seconda dello scopo presso per il suo studio, si possono avere di-versi modelli matematici e viceversa uno stesso modello matematico puo descrivereil funzionamento di sistemi sici di varia natura semplicemete attribuendo signica-to sico diverso ai parametri che compaiono nella formulazione. Operando, quindi,una semplicazione concettuale sul fenomeno sico si giunge ad un modello che puoin generale essere descritto matematicamente mediante un sistema di equazioni dif-ferenziali che prende il nome di sistema dinamico dal momento che le soluzioni sonofunzioni continue nel tempo.Un esempio di come lo scopo dello studio di un fenomeno sico in
uenzi pesante-mente la sua modellazione matematica e il seguente [20].Si consideri un resistore reale, cioe un lo di rame-costantana avvolto su un cilindrodi ceramica e facente capo a una coppia di morsetti (gura (2.1)).
32 CAPITOLO 2. STATO DELL'ARTE DEL CONTROLLO
i
v
Figura 2.1: Resistore reale di cui si vuole realizzare una modellazioneCome variabile di ingresso si assuma la corrente i che percorre il resistore e come vari-abile d'uscita la tensione ai morsetti v. Se la corrente i e costante o varia lentamentenel tempo, si puo tener conto della sola resistenza del resistore e quindi descriverneil funzionamento con il seguente modello sico:
R
i
yFigura 2.2: Schema del modello con corrente lentamente variabile nel tempoSe si considerano regimi in cui la corrente varia rapidamente nel tempo, ad esempioregimi sinusoidali di frequenza suÆcientemente elevata, non epiu possibile trascurarel'induttanza delle spire del resistore e la capacita tra spira e spira e si dovra daredel resistore un modello piu complicato rappresentato nella gura (2.3).Se si considerano dei regime sinusoidali di frequenza elevatissima non sarapiu possi-bile trascurare il fatto che il lo non e omogeneo e quindi le sue grandezze speciche(resistivita e permeabilita ) non sono costanti lungo di esso. Le relazioni tra tensionie correnti non saranno piu , come nel caso precedente, di tipo globale, ma dovrannoessere riferite a porzioni innitesime di resistore. Il modello sara pertanto costituitonon piudaequazioni alle derivate totali, ma da equazioni alle derivate parziali.Come precedentemente accennato e come accade molto frequentemente nel mon-do delle scienze applicate, puo capitare che fenomeni sici completamente diversi
2.2. DEFINIZIONE DI CONTROLLO 33
i
v
C
R
LFigura 2.3: Schema del modello con corrente velocemente variabile nel tempoabbiano un modello matematico del tutto simile, come e mostrato nel seguenteesempio:Si consideri dapprima il circuito RLC in gura (2.4) e si supponga di poter consid-erare ivari componenti (resistore, induttore e condensatore) come ideali.
i
v
L
R
C
Figura 2.4: Circuito RLCSi consideri come ingresso del sistema la tensione v e come uscita la corrente i.Le relazioni imposte dai vari componenti risultano allora essere:vr = Rir resistorevc = 1C R icdt condensatorevl = Ldildt induttorePoiche itrecomponenti sono collegati in serie la i che interessa ivari componenti ela medesima e la tensione totale e la somma delle varie tensioni.Derivando si ottiene dunque: Ld2idt2 +Rdidt + 1C i = dvdt (2.1)