Sviluppo di un modello neurale adattivo per il restauro di immagini digitali

CAPITOLO 1. INTRODUZIONE 2
l'immagine è disturbata da turbolenze atmosferiche [9].
1.1 Image Restoration Vs Image Enhancement
Per meglio comprendere il problema del restauro è utile capire che cos'è e
cosa non è.
Nel campo del restauro di immagini digitali si studiano i metodi da usare
per recuperare una scena originale a partire da osservazioni degradate.
Il problema è stato studiato dalle comunità astronomiche, ottiche e di elabo-
razione dei segnali per lungo tempo e le tecniche sviluppate si sono orientate
verso la modellazione del degrado, di solito blur e rumore, e l'applicazione
di procedure inverse per ottenere un'approssimazione della scena originale.
Le tecniche di restauro si distinguono da quelle di image enhancement che
hanno lo scopo di manipolare un'immagine per produrre un risultato che ap-
pare piacevole all'occhio dell'osservatore, senza usare nessun tipo di modello
di degrado. L'enhancement deve essere quindi trattato separatamente dal
restauro, poiché non cerca di risalire all'immagine originale.
Lo sviluppo di tecniche per le operazioni di restauro richiede l'uso di mo-
delli, non solo per il degrado, ma anche per le immagini stesse, è perciò
utile analizzare come alcuni di questi modelli furono impiegati nelle prime
applicazioni in questo campo [2].
Capitolo 2
Un modello per il processo di
degrado/restauro
Il processo di degrado è rappresentato da una funzione che, insieme ad un
termine aggiuntivo di rumore, opera su un'immagine di input f(x, y) per pro-
durre un'immagine degradata g(x, y). Data g(x, y), una qualche conoscenza
della funzione di degrado H, e una certa conoscenza del rumore η(x, y), l'o-
biettivo del restauro è ottenere una stima fˆ(x, y) dell'immagine originale.
Si vuole ottenere una stima che sia il più vicino possibile all'immagine origi-
nale e, in generale, più sappiamo su H e η, più fˆ(x, y) si avvicinerà a f(x, y).
Se H è un processo lineare che non varia nello spazio, allora l'immagine
degradata è definita da
g(x, y) = h(x, y) ∗ f(x, y) + η(x, y) (2.1)
dove h(x, y) rappresenta la funzione di degrado e il simbolo * indica la
convoluzione, il processo attraverso il quale una maschera si muove da pixel
a pixel su un'immagine e calcola una quantità predefinita per ogni pixel.
Formalmente, la convoluzione discreta tra due funzioni f(x, y) e h(x, y) di
dimensione MXN è definita dall'espressione
h(x, y) ∗ f(x, y) = 1MN
M−1∑
m=0
N−1∑
n=0
f(m,n)h(x−m, y − n). (2.2)
Questa equazione non è altro che un'implementazione per 1) ribaltare
una funzione rispetto all'origine; 2) far variare tale funzione rispetto alle al-
tre cambiando i valori di (x, y); e 3) calcolare la somma dei prodotti per tutti
i valori di m e n per ogni spostamento (x, y).
La convoluzione nel dominio spaziale è uguale alla moltiplicazione nel domi-
nio delle frequenze, quindi possiamo scrivere il modello in una equivalente
rappresentazione nello spazio delle frequenze:
3
CAPITOLO 2. UNMODELLO PER IL PROCESSO DI DEGRADO/RESTAURO4
G(u, v) = H(u, v)F (u, v) +N(u, v) (2.3)
dove i termini in lettere maiuscole sono le trasformate di Fourier dei cor-
rispondenti termini dell'equazione nel dominio spaziale [3].
Figura 2.1: Un modello per il processo di degrado/restauro
Capitolo 3
Il rumore
La maggior parte del rumore nelle immagini digitali è dovuto al processo di
acquisizione e/o trasmissione. Le performance dei sensori di imaging sono in-
fluenzate da vari fattori, come le condizioni ambientali durante l'acquisizione,
e la qualità dei sensori stessi. Per esempio, nell'acquisizione di immagini con
una fotocamera CCD, l'intensità della luce e i sensori di temperatura sono i
maggiori responsabili nel determinare la quantità di rumore nell'immagine.
Durante la trasmissione, invece, le immagini si danneggiano principalmente
a causa delle interferenze sul canale usato. Per esempio, un'immagine tra-
smessa su una rete wireless si può danneggiare a causa di un fulmine o di
altri disturbi atmosferici [3].
3.1 Proprietà spaziali e di frequenza del rumore
Nel problema del restauro sono rilevanti i parametri che definiscono le carat-
teristiche spaziali del rumore e se il rumore è correlato all'immagine.
Le proprietà relative alla frequenza considerano il rumore nel senso di Fou-
rier, quindi, per esempio, quando lo spettro di Fourier del rumore è costante,
il rumore è chiamato di solito rumore bianco. Questa terminologia deriva
dalle proprietà fisiche della luce bianca che contiene quasi tutte le frequenze
dello spettro visibile in uguale proporzione. Lo spettro di Fourier di una
funzione contenente tutte le frequenze in ugual proporzione è una costante
[3].
3.2 Alcune importanti funzioni di densità di proba-
bilità del rumore
Il descrittore di rumore spaziale si basa sul comportamento statistico dei
valori dei livelli di grigio nella componente del rumore nel modello della Fi-
gura 2.1. Questi possono essere considerati delle variabili casuali, caratteriz-
zate da una funzione di densità di probabilità (Probability Density Function
5
CAPITOLO 3. IL RUMORE 6
PDF). Le seguenti sono tra le più comuni PDF usate nelle applicazioni di
image processing.
Rumore Gaussiano
A causa della sua trattabilità matematica sia nel dominio spaziale che nel do-
minio delle frequenze, i modelli di rumore Gaussiano (detto anche normale)
sono usati frequentemente in pratica. Questa trattabilità è così conveniente
che spesso i modelli Gaussiani vengono usati in contesti in cui sono applica-
bili solo marginalmente.
La PDF di una variabile Gaussiana casuale z è data da
p(z) = 1√
2piσ
e−(z−µ)
2/2σ2
(3.1)
dove z rappresenta il livello di grigio, µ è il valor medio di z, e σ è la sua de-
viazione standard. La deviazione standard quadrata, σ2, è detta varianza di
z. Il grafico di questa funzione è mostrato nella Figura 3.1(a) Quando z è de-
scritto dall'Eq.(3.1), approssimativamente il 70% dei suoi valori si troveranno
nel range [(µ−σ), (µ+σ)] e il 95% sarà nell'intervallo [(µ−2σ), (µ+2σ)]. [3]
Rumore di Rayleigh
La PDF del rumore di Rayleigh è data da
p(z) =
{
2
b
(z − a)e−(z−a)2/b z ≥ a
0 z < a (3.2)
La media e la varianza di questa densità sono date da
µ = a+
√
pib/4
e
σ2 = b(4− pi)
4
La Figura 3.1(b) mostra il grafico della densità di Rayleigh. Si nota lo sco-
stamento rispetto all'origine e il fatto che la forma di base di questa densità
sia spostata verso destra. [3]
Rumore di Erlang (Gamma)
La PDF del rumore di Erlang è data da
p(z) =
{
abzb−1
(b−1)! e
−az z ≥ 0
0 z < 0
(3.3)
CAPITOLO 3. IL RUMORE 7
p(z)
1
2
0.607
2
0.607 2b
p(z)
μ - σ μ μ + σ z
Gaussiano Rayleigh
EsponenzialeGamma
Uniforme Impulso
p(z) p(z)
p(z)p(z)
z
zz
z z
a
a b2
K
(b-1)/a
K=a b−1b−1
b−1! e
−b−1
a
a a
1
b−a
b b
Pb
Pa
Figura 3.1: Alcune importanti funzioni di densità di probabilità
CAPITOLO 3. IL RUMORE 8
in cui i parametri sono tali che: a > 0, b è un intero positivo, e ! indica il
fattoriale. La media e la varianza di questa densità sono date da
µ = b
a
e
σ2 = b
a2
Rumore Esponenziale
La PDF del rumore esponenziale è data da
p(z) =
{
ae−az z ≥ 0
0 z < 0 (3.4)
in cui a > 0. La media e la varianza di questa funzione di densità sono
µ = 1
a
e
σ2 = 1
a2
Si nota che questa PDF è un caso particolare della PDF di Erlang, con b = 1.
La Figura 3.1 mostra il grafico di questa funzione di densità. [3]
Rumore Uniforme
La PDF del rumore uniforme è data da
p(z) =
{
1
b−a se a ≤ z ≤ b
0 altrimenti (3.5)
La media di questa funzione di densità è data da
µ = a+ b
2
e la varianza da
σ2 = (b− a)
2
12
La Figura 3.1 mostra un disegno della densità uniforme. [3]
CAPITOLO 3. IL RUMORE 9
Rumore ad impulsi (Sale-e-Pepe)
La PDF del rumore ad impulsi (bipolare) è data da
p(z) =
{ Pa z = a
Pb z = b
0 altrimenti
(3.6)
Se b > a, il livello di grigio b apparirà come un punto luminoso nell'imma-
gine. Contrariamente, il livello a apparirà come un punto scuro. Se Pa o Pb
sono zero, il rumore ad impulsi è chiamato unipolare. Se nessuna delle pro-
babilità è zero, e, specialmente se sono approssimativamente uguali, i valori
del rumore ad impulsi assomiglieranno a granelli di sale e pepe distribuiti
casualmente sull'immagine.Gli impulsi di rumore possono essere positivi o
negativi.
Lo scaling di solito fa parte del processo di digitalizzazione e, poiché il de-
grado generato da un impulso di solito è grande se comparato con la forza
del segnale dell'immagine, il rumore ad impulsi è generalmente digitalizzato
come un valore estremo nell'immagine (puro bianco o puro nero). Perciò,
di solito, si assume che a e b siano valori saturi, nel senso che sono ugua-
li al minimo e al massimo valore permesso nell'immagine digitalizzata. Il
risultato è che gli impulsi negativi appaiono come punti neri (pepe) e, per
lo stesso motivo, gli impulsi positivi appaiono come rumore bianco (sale).
Per un'immagine a 8 bit ciò significa che a=0 (nero) e b=255 (bianco). La
Figura 3.1(f) mostra la PDF del rumore ad impulsi.
Queste PDF forniscono dei sistemi utili per modellare un'ampia gamma di
situazioni reali di degrado dovuto al rumore. Per esempio, il rumore Gaussia-
no è provocato dalla scarsa illuminazione e/o dall'alta temperatura di circuiti
e sensori. La densità di Rayleigh è utile nella caratterizzazione di fenomeni
rumorosi nel range imaging. Le densità esponenziale e gamma trovano ap-
plicazione nei sistemi di laser imaging.
Negli algoritmi illustrati in questa tesi non si farà un'analisi sistematica del
tipo di rumore, ma lo considereremo come il risultato dell'applicazione di un
filtro passa-alto laplaciano sull'immagine originale. [3]