Sviluppo di un codice di aeroacustica basato sulla formulazione di Ffwocs Williams-Hawkings nella forma di Farassat

       Introduzione 
_________________   
MATLAB è un trademark  di The MathWorks, Inc.  
V
nuovo settore: l’Aeroacustica Computazionale (Computational Aeroacoustics, CAA) che si 
occupa del calcolo delle sorgenti di rumore aerodinamiche e della trasmissione del suono 
generato. Le equazioni che descrivono questi fenomeni sono le equazioni di Navier-Stokes 
complete, intazionarie e comprimibili, tuttavia l’estensione diretta dell’attuale tecnica CFD 
incontra delle difficoltà nel calcolo della generazione di rumore e della sua trasmissione, 
quindi una volta determinata la sorgente sonora, altri approcci possono essere utilizzati per 
descriverne la propagazione. 
Nel Capitolo 1 è presentata una panoramica delle diverse tecniche utilizzate, con 
particolare riguardo al metodo della superficie di Kirchhoff e alla formulazione di Ffwocs 
Williams-Hawkings. Quest’ultima, nella forma integrale proposta da Farassat, si rivela 
particolarmente adatta allo scopo del presente lavoro, che è quello delle sviluppo di un 
codice in grado di calcolare il rumore prodotto da velivoli in manovra limitandosi ai termini 
lineari della formulazione e quindi al caso subsonico.  
Il codice è scritto in linguaggio Matlab® ed è concepito come una subroutine da 
interfacciare con un codice di dinamica indipendente che fornisca i dati riguardanti la 
geometria e i carichi aerodinamici della superficie emittente, input del codice di acustica. Il 
codice è composto da diverse funzioni che gestiscono ed elaborano i dati in ingresso, 
creando le informazioni necessarie per l’integrazione numerica, calcolano il ritardo 
temporale, ricostruiscono la storia del carico e del movimento della superficie tramite 
interpolate locali e infine calcolano l’integrale. 
Dal momento che non si fa uso di toolbox già validati è necessaria una verifica di 
ciascuna funzione implementata; si è quindi pensato di interpretare il problema da risolvere 
come sovrapposizione di problemi più semplici di cui si dispone della soluzione analitica. Il 
primo problema affrontato è quello di potenziale, dove c’è solo una dipendenza spaziale e 
consente di verificare le funzioni che gestiscono la geometria; aggiungendo poi la variabile 
temporale e passando quindi all’equazione delle onde, è possibile controllare le funzioni 
che ricostruiscono le storie temporali. Infine, introducendo il movimento della superficie 
emittente,  vengono validate le funzioni che calcolano il ritardo temporale tra l’emissione e 
la ricezione del segnale. 
Dopo questi casi test accademici, si procede al confronto con un codice industriale, 
eseguendo il calcolo su un rotore in volo avanzato.  
 
       Capitolo   1.        Scelta della formulazione 1
1 SCELTA DELLA FORMULAZIONE 
In questo capitolo verranno presentati i diversi approcci allo studio dell’aeroacustica con 
particolare attenzione a quello di Ffowcs William-Hawkings nelle diverse formulazioni di 
Farassat. 
1.1 L’ANALOGIA ACUSTICA 
In senso classico tutti i fenomeni acustici sono governati dall’equazione delle onde le cui 
soluzioni descrivono onde che si propagano a velocità costante e mantengono il loro 
iniziale contenuto armonico.  
I metodi numerici tendono a essere catalogati in modo gerarchico a seconda della 
complessità del modello matematico usato. Sono quindi definite tre classi di equazioni. Le 
equazioni di Navier-Stokes, che risolvono l’esatto comportamento del modello fluido, 
rappresentano il più complesso dei tre gruppi e sono raramente usate in aeroacustica. Le 
equazioni di Eulero, che non modellano processi entropici e sono largamente usate nelle 
applicazioni aerodinamiche, specialmente nel casi transonici, appartengono alla seconda 
classe di equazioni. La terza classe è quella delle equazioni di ‘potenziale’ che, dal 
momento che assumono esplicitamente l’ipotesi di irrotazionalità, usano relazioni 
isoentropiche semplificatrici. L’equazione delle onde appartiene a questa terza classe. 
Spesso la soluzione acustica può essere considerata come una perturbazione di un più 
complesso flusso aerodinamico. Per questo motivo è diventata consuetudine considerare le 
equazioni di Eulero, linearizzate attorno al loro stato aerodinamico di riferimento, come 
ambiente per la propagazione acustica. 
Dalla pubblicazione della formulazione di Lighthill  (1952) [1] il calcolo aeroacustico si 
è concentrato sulla soluzione della sua equazione dell’analogia acustica nelle diverse 
       Capitolo   1.        Scelta della formulazione 2
formulazioni.  
Lighthill combinò le equazioni di continuità e di bilancio della quantità di moto della 
meccanica dei fluidi nell’operatore delle onde, raggruppando tutti i termini rimanenti in un 
termine di sorgente definito “tensore degli sforzi di Lighthill”. Il risultato è un’equazione 
che mette in evidenza a sinistra l’operatore delle onde con tutti gli effetti non lineari 
rappresentati dal tensore degli sforzi di Lighthill, T
ij
 :  
 
 
                                                           ,                                    (1.1) 
dove ρ  è la densità del fluido, c
0
 la velocità del suono del mezzo nelle condizioni di fluido 
indisturbato, u
i
 è la velocità del fluido, p
ij
 è il tensore degli sforzi compressivi e  
ijijjiij
cpuuT  Γ Υ Υ
2
0
     .   In generale p
ij
 contiene i termini di pressione di sforzo sia 
normale che tangenziale. Grazie alla presenza dell’operatore delle onde la soluzione della 
(1.1)  sfrutta i vantaggi delle proprietà delle equazioni lineari e in particolare dei teoremi di 
Green. Si può quindi passare alla soluzione integrale: 
 
 
                                                                                                    (1.2) 
Il suffisso ret indica che la funzione integranda è valutata al tempo di emissione:   
0
/ cRtt
ret
     essendo R la distanza tra l’osservatore e la sorgente. Il termine di sorgente a  
destra dell’uguale è detto di “quadrupolo”. La soluzione della (1.2) è complessa a causa del 
fatto che T
ij 
 è funzione di ρ esplicitamente e implicitamente attraverso p e u e che 
l’integrale deve essere calcolato in tutto il dominio. In molti casi comunque l’effetto del 
tensore degli sforzi di Lightihill è confinato a una regione limitata,  così l’integrazione 
risulta contenuta e al di fuori di questa regione la propagazione procede come nella teoria 
lineare. In pratica la difficoltà di implementazione per quanto riguarda la (1.2) consiste nel 
determinare l’estensione della regione in cui T
ij 
 è diverso da zero e valutarlo 
accuratamente. 
dV
R
T
xx
c
ret
V
ij
ji
 ≥
 ≈
 …
 ≡
 ↔
 ←
 ♠
 ω ω
 ω
  
2
2
0
4  Υ Σ
ij
jii
T
xxx
c
t ωω
 ω
  
ω
 ω
  
ω
 ω
2
2
2
2
0
2
2
Υ Υ
       Capitolo   1.        Scelta della formulazione 3
1.2 FORMULAZIONE FW-H 
Ffowcs William e Hawkings generalizzarono la teoria di Lighthill includendo superfici 
aerodinamiche in movimento oltre al termine di quadrupolo.  In Appendice I è illustrato il 
procedimento col quale è possibile ricavare la seguente formulazione partendo dalle 
equazioni di continuità e di bilancio della quantità di moto. 
Considerando un corpo di forma arbitraria, deformabile durante il movimento, descritto 
dalla funzione:  f (x, t) = 0 dove il sistema di riferimento x è solidale al fluido indisturbato e 
t è il tempo e assumendo che la superficie del corpo sia impenetrabile e f  > 0 al di fuori del 
corpo, si ottiene la seguente equazione FW-H 
 
 
 
  
(1..3) 
La simbologia nella (1.3) è la seguente: p′ è la pressione acustica, ρ
0 
 e c sono 
rispettivamente la densità e la velocità del suono nel fluido indisturbato;  la velocità 
normale locale alla superficie è:     ftfv
n
  ω ω  //  e l
i
 è la forza locale per unità di 
superficie che agisce sul fluido sulla superficie del corpo (da notare che il termine di 
pressione in l
i
 è la differenza tra la pressione assoluta sulla superficie p
a
 e la pressione del 
fluido indisturbato p
0
 );    δ è la delta di Dirac mentre H è la funzione di Heaviside; T
ij
 è il 
tensore degli sforzi di Lighthill descritto precedentemente. 
Come nel caso della  (1.1) la risoluzione della (1.3) passa attraverso la rappresentazione 
integrale della stessa che dà origine a un integrale di volume e due di superficie; è 
importante ricordare che le derivate che appaiono davanti ai termini di sorgente sono da 
intendersi in senso generalizzato. 
Oltre al termine di sorgente di volume detto di “quadrupolo” (non lineare) introdotto da 
Lighthill sono presenti due ulteriori termini di sorgente di superficie definiti di “thickness”  
(o di monopolo) e di “loading”  (o di dipolo) rispettivamente. Questi ultimi sono termini 
lineari e rappresentano il contributo al campo acustico degli effetti dell’interazione corpo-
     > ≅    > ≅    > ≅ffl
x
ffv
t
fHT
xx
pp
t
p
c
i
i
nij
ji
 Γ ΓΥ   
 ω
 ω
  
 ω
 ω
 
 ω ω
 ω
  
        
 ω
 ω
0
2
22
2
2
2
''
'1
†
       Capitolo   1.        Scelta della formulazione 4
fluido. Il termine di thickness è dovuto al trasferimento di massa causato dal movimento del 
corpo e dipende esclusivamente dalla geometria e dalla cinematica. Il termine di loading 
deriva dall’interazione dinamica espressa dalle forze di contatto che si scambiano la 
superficie del corpo e il fluido; questo termine può essere accuratamente determinato 
attraverso la conoscenza dei carichi che agiscono sul corpo durante il movimento. 
La soluzione della parte lineare della (1.3) è ottenuta applicando il procedimento 
illustrato per la generica equazione delle onde nell’Appendice II  [2][3]. 
Questo risultato porta allo sviluppo di diverse formulazioni utili alla soluzione della 
(1.3), adatte allo studio di sorgenti compatte e non compatte. Le formulazioni per le 
sorgenti compatte sono ottenute come limite dei risultati per le sorgenti non compatte. Una 
sorgente si definisce compatta se il moto della sorgente, la frequenza delle sue fluttuazioni e 
la posizione dell’osservatore sono tali che la sorgente possa essere trattata come un punto in 
movimento. [4]   
Dal momento che lo scopo di questo lavoro è quello di implementare un metodo per 
predire il rumore in caso di manovre, data la precedente definizione, non può essere 
utilizzata l’approssimazione di sorgente compatta. 
Le formulazioni possono essere fatte nel dominio del tempo o in frequenza, ma come 
notato in [4] l’approccio nel dominio temporale è meno restrittivo dal momento che in 
frequenza è possibile solo un movimento dell’osservatore solidale con l’elica. Per questo 
motivo verranno presentate solo formulazioni nel dominio temporale. Alcuni cenni alle 
formulazioni in frequenza si possono trovare in [3]. 
Si procede quindi alla presentazione di alcune formulazioni tra le più usate nello studio 
dell’aeroacustica per sorgenti non compatte, nel dominio del tempo. 
       Capitolo   1.        Scelta della formulazione 5
1.2.1 PRIMA FORMULAZIONE DI FARASSAT 
Sfruttando il metodo esposto nell’Appendice II e applicandola alla (1.3) si ottiene per 
quanto riguarda il termine di sorgente di thickness: 
 
 
(1.4) 
 
mentre per quanto riguarda il termine di  loading: 
 
    dS
Mr
l
x
tp
ret
f
r
i
i
L
 ≥
  
 ≈
 ≈
…
 ≡
 ↔
 ↔
←
 ♠
   ω
 ω
  χ
0
1
,4 x Σ    . 
 
Quest’ultimo termine viene ulteriormente modificato per renderlo più maneggevole 
convertendo la derivate spaziali in derivate temporali, trasformazione che porta a scrivere 
l’espressione per il termine di loading nel seguente modo: 
 
 
(1.5) 
 
La (1.4) e la (1.5) sono valide nel caso in cui al tempo di emissione M
r
 < 0.98 dove M
r
 è 
il numero di Mach locale nella direzione di radiazione, altrimenti la formulazione da 
utilizzare è la seguente: [4] 
 
 
(1.6) 
 
dove Γ è la curva intersezione di   f = 0  e   g = 0, mentre θ è l’angolo tra 
i
r
ˆ
e 
i
n
ˆ
. 
In questo caso il metodo della  collapsing sphere è usato per ogni pannello (in cui viene 
discretizzata la superficie) individualmente. 
    dS
Mr
v
t
tp
ret
f
r
n
T
≥
  
 ≈
 ≈
…
 ≡
 ↔
↔
←
 ♠
   ω
 ω
  χ
0
0
1
,4
 Υ
 Σ x
    dS
Mr
l
dS
Mr
l
tc
tp
ret
f
r
r
ret
f
r
r
L
 ≥≥
    
 ≈
 ≈
…
 ≡
 ↔
 ↔
←
 ♠
  
  
 ≈
 ≈
…
 ≡
 ↔
 ↔
←
 ♠
   ω
 ω
  χ
0
2
0
11
1
,4 x Σ
    
 ≥≥
  
  
  
  
 ∗   ∗
  
 ω
 ω
  χ
0
0
2
0
0
0
sinsin
,4
g
f
r
g
f
rn
dd
r
lc
dd
r
lvc
t
tp  Ω
 Τ
 Ω
 Τ
 Υ
 Σ x
       Capitolo   1.        Scelta della formulazione 6
Questa formulazione è stata largamente usata per il calcolo di rumore prodotto da rotori, 
il maggior vantaggio di questo metodo è la sua semplicità. Ad ogni modo, per ogni tempo 
dell’osservatore, l’integrale con la derivata temporale nella (1.5) va valutato almeno due 
volte a causa della necessità di eseguire una differenziazione numerica. Questo porta ad un 
aumento del costo computazionale.  
1.2.2 SECONDA FORMULAZIONE DI FARASSAT 
Per migliorare l’efficienza della prima formulazione, la derivata temporale presente 
nella (1.5) viene portata dentro l’integrale sfruttando la seguente relazione: 
 
ret
r
Mt
 ≈
 ≈
…
 ≡
 ↔
 ↔
←
 ♠
 ω
 ω
  
 
 ω
 ω
xx
 Ω1
1
 
Ottenendo il seguente risultato [5]: 
 
 
 
 
(1.6) 
 
 
 
 
(1.7) 
 
Il punto su  cvM
ii
/   e l
i
 rappresenta la derviata temporale di questi vettori, da intendersi 
rispetto al tempo della sorgente. Da notare anche che v
i
 è la velocità locale della superficie 
rispetto al sistema di riferimento fisso col fluido indisturbato.  Questa seconda 
formulazione è più veloce da eseguire ed è più accurata della precedente. 
    
dS
Mr
cMMcrMrl
c
dS
Mr
Mll
dS
Mr
rl
c
tp
ret
f
r
riir
ret
r
iir
ff
ret
r
ii
L
 ≥
 ≥≥
  
    
 ≈
 …
 ≡
 ↔
 ←
 ♠
  
    
  
 ≈
 …
 ≡
 ↔
 ←
 ♠
  
  
  
 ≈
 …
 ≡
 ↔
 ←
 ♠
  
  χ
0
32
2
22
00
2
)1(
)
ˆ
(1
)1()1(
ˆ
1
,4
&
&
x Σ
    
dS
Mr
cMMcrMrv
dS
Mr
vv
tp
ret
f
r
riin
ret
f
r
nn
T
 ≥
 ≥
  
  
 ≈
 …
 ≡
 ↔
 ←
 ♠
  
    
  
  
 ≈
 …
 ≡
 ↔
 ←
 ♠
  
  
  χ
0
32
2
0
0
2
0
)1(
)
ˆ
(
)1(
)(
,4
&
&
&
 Υ
 Υ
 Σ x
       Capitolo   1.        Scelta della formulazione 7
1.2.3 METODO DI SUCCI 
Anche se questa formulazione non è adatta allo scopo finale di questo lavoro viene 
ugualmente presentata per la sua semplicità. L’idea fondamentale alla base di questo 
metodo è quella di dividere il corpo in tanti piccoli segmenti, ogni segmento ha un volume 
finito ψ
k
 e una forza L
ki
 che agisce sul fluido. Le sezioni sono scelte in modo che nel tempo 
in cui la collapsing sphere passa attraverso una sezione, non ci siano variazioni nel 
movimento e nelle forze della sezione così che possa essere trattata come una sorgente 
compatta ed in  questo modo il corpo è sostituita da un insieme di punti. 
 
 
    
ret
k
rrr
k
ret
k
r
iik
r
iik
r
MrMMr
Mr
rL
Mr
rL
Mc
txp
 ƒ
 ƒ
 ≈
 ≈
 …
 ≡
 ↔
 ↔
 ←
 ♠
 ÷
 ÷
 ≠
 •
 ♦
 ♦
 ♥
 ♣
 ÷
 ÷
 ≠
 •
 ♦
 ♦
 ♥
 ♣
   ω
 ω
   ω
 ω
  
  
 ≈
 ≈
…
 ≡
 ↔
↔
←
 ♠
  
  
 ÷
 ÷
 ≠
 •
 ♦
 ♦
 ♥
 ♣
   ω
 ω
  
  χ
1
1
1
1
1
1
ˆ
1
ˆ
1
11
,4
0
2
 Ω Ω
 ∴ Υ
 Ω
 Σ
 
 
Un vantaggio di questa formulazione è quello di essere poco sensibile alla geometria 
[3], [5] 
1.2.4 RISOLUZIONE DEL TERMINE NON LINEARE 
Il calcolo del termine non lineare è il punto debole della formulazione FW-H. La 
difficoltà della valutazione di questo termine ha portato nell’ultimo decennio ad 
abbandonare i metodi basati sull’analogia acustica per altri approcci (prima fra tutti la 
formulazione di Kirchhoff che verrà presentata nel prossimo paragrafo). 
Il termine di quadrupolo è espresso nella seguente forma ricavata partendo dalla (1.3) : 
 
    dV
Mr
T
xx
tp
ret
V
r
ji
ji
Q
≥
 ≈
 ≈
…
 ≡
 ↔
 ↔
←
 ♠
   ω ω
 ω
 
1
,4
2
x Σ  
ed ha molta importanza in presenza di turbolenza, onde d’urto e nel calcolo del rumore 
       Capitolo   1.        Scelta della formulazione 8
dovuto a HSI.  
Il problema di questo termine è dovuto alla necessità di calcolare un integrale di 
volume, dal momento che in molte applicazioni aeroacustiche le sorgenti di rumore non 
sono compatte (ad esempio nel caso di rotori). Ad ogni modo sono state sviluppate diverse 
nuove procedure [6] assumendo che,  fissati la posizione e il tempo dell’osservatore, tutte le 
sorgenti poste lungo una direzione perpendicolare al piano del rotore abbiano lo stesso 
tempo di emissione; in questo modo l’integrale di volume del quadrupolo è ricondotto a 
integrali di superficie (approssimazione del campo lontano).  
Inoltre la singolarità dovuta all’effetto Doppler che appare nel nucleo (kernel)  
dell’integrale impedisce il raggiungimento di risultati accettabili quando M
r
 si avvicina 
all’unità. Questo problema viene risolto convertendo il dominio di integrazione 
tridimensionale in quello della configurazione al tempo di emissione (generalmente 
chiamata superficie di emissione ed indicata con Σ ). Quindi il problema di determinare il 
rumore dovuto al termine di quadrupolo si riduce alla capacità di modellare numericamente 
l’evoluzione nel tempo della superficie Σ  sia a velocità subsoniche che supersoniche. 
1.3 FORMULAZIONE DI KIRCHHOFF 
La filosofia che sta alla base di questo metodo è quella di separare il dominio di calcolo 
in due: il primo che comprende i termini non lineari riguardanti la generazione di rumore 
(campo vicino),  il secondo che descrive la propagazione lineare del suono (campo 
lontano). 
L’approccio di Kirchhoff consiste nell’applicare la formula di Kirchhoff all’equazione 
delle onde che governa i fenomeni aeroacustici su una superficie (superficie di Kirchhoff) 
che contiene tutto il campo non lineare. Le equazioni non lineari sono risolte nel campo 
vicino (interno alla superficie) usando tecniche CFD e dall’integrazione della soluzione 
sulla superficie di controllo si ricavano sufficienti informazioni per calcolare la soluzione 
nel campo lontano dove si ritiene valida l’equazione delle onde lineare. 
La classica formulazione di Kirchhoff per una superficie di controllo stazionaria è la 
       Capitolo   1.        Scelta della formulazione 9
seguente: 
 
 
(1.8) 
 
Dove Φ è una quantità che soddisfa l’equazione delle onde all’esterno della superficie di 
controllo S (ad esempio la pressione e il potenziale di velocità); (x, t) e  (y, τ)  indicano le 
variabili spaziali e temporali rispettivamente dell’osservatore e della sorgente;  r è la 
distanza tra sorgente e osservatore: r = | x – y |. In particolare il tempo di emissione t
ret
  è 
soluzione dell’equazione: 
 
0      
c
r
tt
ret
 
ed  è il tempo al quale è necessario valutare la funzione integranda della  (1.8). 
La (1.8) è una rappresentazione integrale di Φ per punti esterni alla superficie in termini 
di informazioni note sulla superficie di controllo S. 
La formulazione presentata è riferita a una superficie stazionaria ma si può estendere 
agevolmente a superfici che si muovano uniformemente in modo subsonico e supersonico e 
arbitrariamente in modo subsonico. [7] 
Questo metodo presenta un ottimo compromesso tra l’aerodinamica non lineare del 
campo vicino e l’acustica lineare del campo lontano. Il vantaggio consiste nella scelta di 
una superficie di controllo arbitraria che può essere posta ovunque nello spazio e le cui 
uniche limitazioni consistono nel dover contenere la sorgente e tutti i termini non lineari e 
di essere regolare; per posizionarla è necessario testare la propagazione della soluzione 
CFD e valutare dove è lineare, a quel punto si  pone la superficie. Il problema è che sono 
considerate solo sorgenti di quadrupolo interne alla superficie e vengono perse quelle 
situate sulla superficie, quindi quando i flussi instazionari si estendono parecchio nella 
direzione della corrente (getti per esempio) sarebbero necessarie superfici di integrazione 
molto grandi e di conseguenza una vasta regione dove i calcoli devono essere svolti con 
tecniche accurate. Nel caso di calcolo del rumore per quanto riguarda rotori di elicotteri [8] 
si possono usare due tipi di superfici di controllo: rotante con le pale e non rotante. Nel 
primo caso si ha il vantaggio che la griglia usata per il calcolo CFD è la stessa usata per 
risolvere l’integrale di Kirchhoff e quindi non è richiesta un’interpolazione, ma è 
    dS
tn
r
rcnrn
r
r
t
ret
S
 ≥  ≈
 …
 ≡
↔
 ←
 ♠
 ω
 ) ω
 ω
 ω
  
 ω
 ) ω
  
 ω
ω )
  )
11
,4
2
x Σ
       Capitolo   1.        Scelta della formulazione 10
applicabile solo a superfici in moto subsonico.  Per ovviare a questo inconveniente si 
utilizzano superfici non rotanti ma in questo caso è necessaria un’interpolazione per 
trasferire la soluzione rotante della CFD alla superficie non rotante. Le interpolazioni e il 
trattamento dei dati diventano più complessi passando dallo studio di rotori in hovering a 
quello di rotori in volo avanzato.   
Uno svantaggio di questo metodo è che è necessario conoscere n ω ) ω/  (nel calcolo 
aeroacustico p
 χ   ) , ossia la pressione acustica) sulla superficie. Nel caso di problemi di 
elicotteri in presenza di discontinuità, la valutazione numerica di np  ω χ ω /  può introdurre 
degli indesiderati effetti di smoothing. 
1.4 FORMULAZIONE  KFWH 
La seguente formulazione, proposta da Di Francescantonio [9], ha lo scopo di unire i 
vantaggi delle due formulazioni esposte precedentemente, cioè di consentire l’integrazione 
su una superficie arbitraria, ma senza la necessità di conoscere la derivata normale della 
pressione acustica sulla superficie.  
Per derivarla si procede come in Appendice I partendo dalle equazioni di continuità e di 
bilancio della quantità di moto, ma ponendo una superficie di discontinuità S non 
coincidente con la superficie del corpo e rimuovendo la condizione di non penetrazione. 
In questo modo si ottiene un’equazione simile alla (1.3) che può essere interpretata 
come un’estensione della formulazione FW-H al caso in cui la superficie risulti permeabile. 
La rappresentazione integrale di questa equazione consente di calcolare in ogni punto 
esterno a una superficie in moto generico S, la pressione acustica conoscendo i valori di 
pressione, velocità e densità sulla superficie  e il tensore di Lighthill nel volume esterno alla 
superficie stessa. 
Muovendo la superficie S lontano dal corpo si ottiene una formulazione mista in cui 
parte delle linearità sono prese in considerazione dal termine di quadrupolo e parte dagli 
integrali di superficie. 
Alla fine se la superficie è sufficientemente lontana dal corpo il tensore di Lighthill può 
       Capitolo   1.        Scelta della formulazione 11
essere trascurato e si ottiene: 
 
 
 
 
 
(1.9) 
 
Un ulteriore sviluppo di questa equazione, in linea con la procedura utilizzata da 
Farassat per ottenere la sua seconda formulazione con gli stessi vantaggi visti nel 
precedente paragrafo, è il seguente dove si elimina la derivata temporale esterna agli 
integrali: 
 
    
dS
Mr
KrF
c
dS
Mr
MFrF
dS
Mr
rF
c
dS
Mr
KnU
dS
Mr
nUnU
p
ret
S
r
ii
ret
S
r
iiii
ret
S
r
ii
ret
S
r
ii
ret
S
r
iiii
 ≥ ≥ ≥
 ≥ ≥
 ≈
 ≈
 …
 ≡
 ↔
 ↔
 ←
 ♠
  
  
 ≈
 ≈
 …
 ≡
 ↔
 ↔
 ←
 ♠
  
  
  
 ≈
 ≈
 …
 ≡
 ↔
 ↔
 ←
 ♠
  
  
 ≈
 ≈
 …
 ≡
 ↔
 ↔
 ←
 ♠
  
  
 ≈
 ≈
 …
≡
 ↔
 ↔
 ←
 ♠
  
  
   χ
3
2
2
2
2
3
2
0
2
0
1
ˆ
1
1
ˆ
1
ˆ
1
11
4
&
&
&
 Υ Υ
 Σ
 
 
Dove, oltre alle convenzioni già utilizzate, si definiscono: 
 
    > ≅       
cMcMrrMKnLF
vuulLvuuU
riiiji
jjiijijiiii
2
0
1/
        
           
&
&
Υ Υ Υ
 
 
Inoltre è possibile modificare la (1.9) eseguendo l’integrazione direttamente sulla 
superficie acustica Σ per evitare la singolarità presente nel caso in cui la superficie S si 
muova in modo supersonico: 
 
        
        
dS
Mr
vuul
dS
Mr
vuul
tc
dS
Mr
vuu
t
p
ret
S
r
nnrr
ret
S
r
nnrr
ret
S
r
nnn
 ≥ ≥
 ≥
 ≈
 ≈
…
≡
 ↔
 ↔
←
 ♠
  
    
  
 ≈
 ≈
…
≡
 ↔
 ↔
←
 ♠
  
    
 ω
 ω
  
 ≈
 ≈
…
 ≡
 ↔
 ↔
←
 ♠
  
     
 ω
 ω
   χ
11
1
1
4
2
00
ΥΥ
ΥΥ Υ
 Σ
       Capitolo   1.        Scelta della formulazione 12
      
        
 /
 ≈
 …
≡
 ↔
 ←
 ♠
 /
   
   /
 ≈
 …
≡
 ↔
 ←
 ♠
 /
    
 ω
 ω
   6
 ≈
 …
≡
 ↔
 ←
 ♠
 /
      
 ω
 ω
   χ
≥ ≥
 ≥
 / /
 6
d
r
vuul
d
r
vuul
tc
d
r
vuu
t
p
ret
nnrr
ret
nnrr
ret
nnn
2
00
1
4
ΥΥ
ΥΥ Υ
 Σ
 
 
Con  Τcos21
2
nn
MM        / . 
 
In conclusione il principale vantaggio pratico della formulazione KFWH rispetto a 
quella di Kirchhoff consiste nel fatto che richiede solo quantità note direttamente da calcoli 
di CFD senza doverle derivare numericamente, vantaggio che acquista molta importanza in 
presenza di onde d’urto nel campo attorno alla superficie S. 
Rispetto invece alla formulazione FW-H classica (ricavata nell’ipotesi di non 
penetrazione), è interessante notare che, per una superficie S coincidente con la superficie 
del corpo, la (1.9) può essere utilizzata per calcolare il rumore emesso da superfici 
attraverso le quali c’e flusso. Un’applicazione potrebbe essere per il calcolo con pale sulle 
quali sono applicati dispositivi di iniezione o suzione per il controllo dello strato limite o 
con pale realizzate con superfici porose.  
       Capitolo   1.        Scelta della formulazione 13
1.5 ALTRE FORMULAZIONI 
Gli approcci precedentemente esposti sono i metodi classici e più vastamente usati per 
affrontare il calcolo aeroacustico; è opportuno comunque ricordarne anche altri sebbene più 
marginali: 
 
1. Approccio diretto (CAA Computational AeroAcoustic) 
Consiste nel calcolo di tutto il campo non lineare con tecniche CFD. Comunque, dal 
momento che la dissipazione e la dispersione tipiche degli schemi numerici usati dalla CFD 
tendono a smorzare le oscillazioni acustiche o a generare disturbi artificiali, vengono 
utilizzati schemi con alto ordine di accuratezza e strategia di raffinamento della griglia.  Per 
risolvere i dettagli del campo lontano dell’acustica tridimensionale sarebbe necessario usare 
griglie molto fini che renderebbero il calcolo impraticabile. 
  
2. CFD associato a Eulero linearizzato 
Consiste nel calcolo CFD per il campo non lineare vicino mentre il campo lontano è trovato 
con una soluzione delle equazioni di Eulero linearizzate. E’ importante imporre delle 
corrette condizioni al contorno all’interfaccia tra i campi.  Questo metodo non è stato 
vastamente testato e come nel caso precedente è necessario risolvere problemi di 
raffinatezza della griglia per il campo lontano, di diffusione e di dispersione. 
 
3. Estensione del metodo di Morino 
L’idea di questa formulazione è quella di estendere al calcolo aeroacustico la 
rappresentazione integrale di contorno (Boundary Integral Representation) per il potenziale 
di velocità utilizzata per il calcolo aerodinamico.  Dal calcolo del potenziale di velocità si 
può risalire al potenziale nel dominio e quindi alla pressione tramite il teorema di Bernoulli. 
Il vantaggio di questo metodo risiede nel fatto di essere autosufficiente dal momento che 
utilizza un unico approccio per l’aerodinamica e per l’aeroacustica, mentre sia la