Capitolo 1. Basi Teoriche
8
propria del materiale genera zone di luci ed ombre tali da creare il pattern
richiesto.
In alternativa a una luce bianca, pu� essere utilizzato un fascio di
luce coerente, un comune diodo laser per presentazioni � pi� che
sufficiente. In questo caso la differenza dei cammini ottici dovuti alla
rugosit� della superficie del materiale genera uno sfasamento della luce
riflessa e quindi un tipico campo speckle. Questo tipo di approccio �
utilizzato quando non � possibile generare lo speckle in modo
tradizionale, ovvero con la vernice, in quanto la superficie fisica del
provino inquadrata dalla telecamera � molto piccola e il normale speckle
risulta troppo grande; per l'appunto sono stati compiuti dei test con la
telecamera montata su un microscopio per verificare la validit� del
sistema per applicazioni di micromeccanica. Inoltre, in questo caso, il
campo di deformazione cui si pu� sottoporre il provino non ha dei vincoli
dovuti a fenomeni di distacco della vernice dal provino stesso.
L�immagine prodotta, utilizzando una qualsiasi delle procedure
descritte precedentemente, risulta essere sempre del tipo in figura 1.1.
1.2 Stato dell�arte
Lo studio di immagini digitali per l�analisi delle deformazioni � ormai
da alcuni anni all�attenzione della comunit� scientifica, questo grazie alla
possibilit� di poter ottenere delle misure senza dover fisicamente
interagire con il provino o con il pezzo in esame; si tratta dunque di
tecniche non invasive il cui potenziale � estremamente elevato
considerando la diminuzione dei costi dei componenti hardware e la
crescita delle prestazioni dei processori. Tecniche di post-elaborazione
sono largamente usate su immagini a frange generate per effetto moir�,
da materiali fotoelastici o metodi interferometrici. Queste tecniche hanno
un�ottima risposta nel campo delle grandi deformazioni, sono invece poco
Capitolo 1. Basi Teoriche
9
utilizzabili per le piccole deformazioni in cui si richiede un�accuratezza
maggiore.
L�utilizzo diretto delle immagini digitali � stato dunque impiegato
proprio per misurare le piccole deformazioni, con diverse strategie ma con
un denominatore comune: l�immagine speckle.
Tutti i metodi proposti si basano su la correlazione tra due
immagini, quella indeformata e quella deformata, le coordinate X e Y del
picco della funzione di correlazione danno lo spostamento nelle due
direzioni tra le due immagini e da qui, applicando un metodo di
derivazione numerica, vengono calcolate le deformazioni; ci� che
differisce tra le varie metodologie � proprio il tipo di correlazione
effettuata per calcolare lo spostamento.
Prima di entrare nel dettaglio del metodo proposto e delle
modifiche apportate sia dal punto di vista teorico che nell�algoritmo,
vengono ora presentate le principali tecniche di analisi di immagini che
negli ultimi anni hanno dato i migliori risultati.
DIGITAL IMAGE CORRELATION (DIC)
Dal 1983 M.A. Sutton e altri stanno lavorando su una tecnica nota
con il nome di Digital Image Correlation, che prevede l�uso di tecniche
digitali sia per l�acquisizione che per l�elaborazione delle immagini.
La funzione C di correlazione proposta ha la forma:
∑
∑∑
−=
ij
djdid
ij
ujuiu
ij djdidujuiu
yxIyxI
yxIyxI
C
),(),(
),(),(
22
1
(1)
dove i termini I
u
(x
d,i
,y
d,j
) e I
d
(x
d,i
,y
d,j
) rappresentano l�intensit� delle
immagini indeformate e deformate.
Tale funzione risulta continua nel campo indeformato perch� il
termine I
d
(x
d,i
,y
d,j
) pu� essere valutato al di fuori dei punti della griglia,
in cui � suddivisa l�immagine, tramite un�interpolazione polinomiale.
Capitolo 1. Basi Teoriche
10
Proprio dalla scelta della funzione interpolante derivano i vantaggi e gli
svantaggi del metodo. Infatti, scegliendo di servirsi di un numero elevato
di coefficienti, si riesce a tenere sotto controllo la decorrelazione andando
incontro, per�, a notevoli problemi di convergenza; al contrario, polinomi
di ordine basso influiscono negativamente sull�accuratezza dei risultati.
Inoltre i tempi di elaborazione sono notevoli per il fatto che la cross -
correlazione viene calcolata direttamente, senza tenere conto del teorema
della correlazione.
DIGITAL SPECKLE DISPLACEMENT MEASUREMENT (DSDM)
In questa tecnica, sviluppata a partire dal 1990 da D.J. Chen e i
suoi collaboratori, l�autore focalizza la sua attenzione sulla trasformata di
Fourier delle immagini deformate e indeformate. L'idea � quella di
separare le componenti in ampiezza (H' e H") e fase (φ' e φ") degli
spettri delle immagini per poi ricombinarli secondo la seguente formula (i
pedici h e k rappresentano gli indici di riga e colonna nel dominio della
frequenza):
)(
hkhk
j
hkhkhk
eHHC
ϕϕ
α
′′
−
′
′′′
=
(2)
che � equivalente alla
1−
∗
′′′
′′′
=
α
hkhk
hkhk
HH
HH
hk
C
(3)
Il coefficiente a determina il peso attribuito alla fase, in particolare
questi aumenta con α minore di 1. Chen consiglia di adottare per α il
valore 0.5. Se α � uguale a 1, la trasformata di Fourier di C risulta essere
la cross-correlazione fra l�immagine deformata e quella indeformata.
Per la valutazione del picco della funzione C si imposta un problema
ai minimi quadrati relativo ai 25 campioni che circondano il valore
massimo di primo tentativo.
Capitolo 1. Basi Teoriche
11
ELECTRONIC SPECKLE PHOTOGRAPHY (ESP)
L�ultimo metodo preso in esame � stato sviluppato da M. Sj�dahl, e
fa uso del teorema della correlazione per valutare i campioni della
funzione di cross-correlazione (c
m,n
) nei medesimi punti della griglia
considerata sull�immagine indeformata. Al solito, si rende necessario un
procedimento di interpolazione, al fine di avere un�accuratezza inferiore al
pixel; la formula proposta � la seguente:
∑∑
−
=
−
=
−−
−−
=
1
0
1
0
)/)(sin()/)(sin(
))(sin())(sin(
,
2
1
),(
P
m
P
n
PmyPnx
mynx
nm
c
P
yxu
ππ
ππ
(4)
con P numero dispari sensibilmente inferiore alla dimensione della
sottoimmagine. Un'altra considerazione interessante fatta da Sj�dahl �
quella di shiftare di un valore non intero una delle immagini in modo tale
che la posizione del picco coincida con l�origine del piano di correlazione.
Questa metodologia, utilizzata dall�autore per evitare problemi di
decorrelazione � invece il punto di partenza della procedura analizzata
nella presente tesi.
1.3 Digital Speckle Correlation (DSC)
Il principio su cui si basa la presente tecnica � il teorema della
correlazione. Di seguito � riportata la nomenclatura delle variabili per una
migliore comprensione delle successive relazioni:
™ g, p, q segnali mono o bidimensionali reali nel dominio dello
spazio
™ G, P, Q spettro complesso di g, p e q
™ c, C funzione di cross - correlazione e sua trasformata
Capitolo 1. Basi Teoriche
12
™ j unit� immaginaria
™ M, N dimensioni delle sottoimmagini
™ m, n indici riga e colonna nel dominio dello spazio
™ h, k indici riga e colonna nel dominio della frequenza
™ s
h
, s
k
valori non interi dello shift
™ u, d suffissi che si riferiscono alle immagini indeformate e
deformate
Una delle propriet� fondamentali della trasformata di Fourier dice
che le trasformate P(f) e P
shifted
(f) del segnale p(x) nel sistema di
riferimento principale e in uno nuovo shiftato di x
0
, sono governati dalla
seguente relazione:
() (){}(){}(){} ()
00
0
22 xfjxfj
shiftedshifted
efPexpxxpxpfP
ππ −−
=≡−== FFF (5)
dove x e f sono rispettivamente le variabili nel dominio dello spazio
e della frequenza, mentre l�operatore {}...F indica la trasformata di
Fourier.
Nello stesso modo, per un generico segnale nel campo
bidimensionale si pu� scrivere:
+−
−
=
−
=
+
+
+
−
−
=
−
=
+−
−−
=
=≡=
∑∑∑∑
k
N
n
h
M
m
j
kh
M
m
N
n
k
N
nn
h
M
mm
j
nm
M
m
N
n
k
N
n
h
M
m
j
nnmmkshiftedh
eG
egegG
00
00
00
2
,
1
0
1
0
2
,
1
0
1
0
2
,,
π
ππ
(6)
Nel caso in cui si applichino alle precedenti equazioni dei valori interi
dello shift (x
0
nel caso monodimensionale o m
0
e n
0
nel caso bidimensionale),
facendo la trasformata inversa si ottiene lo spostamento di un pari numero di
campioni da una parte all�altra del segnale. Applicando invece uno shift non
intero si pu� ottenere, per i segnali campionati p e g, un�interpolazione dei
Capitolo 1. Basi Teoriche
13
valori originari. Siano tali valori in direzione y e in direzione x rispettivamente s
h
e s
k
, si potr� allora scrivere:
=
=∀=
>∀−=
<∀=
=∀=
>∀−=
<∀=
+−
20
2
2
20
2
2
2
,,
Nkk
NkNkk
Nkkk
Mhh
MhMhh
Mhhh
k
N
s
h
M
s
j
khshiftedkh
kh
eGG
π
(7)
Gli indici h e k si rendono necessari per mantenere la simmetria
della parte reale e l�antisimmetria della parte immaginaria della matrice di
correlazione, entrambe rispetto alla frequenza di ribaltamento di Nyquist.
Dalla formula precedente, effettuando la trasformata inversa, si ricavano i
valori dei campioni g
m,n
in un qualsiasi punto (u=u
0
+s
h
, v=v
0
+s
k
) del
dominio dello spazio:
∑∑
−
=
−
=
+
=
1
0
1
0
2
,
00
1
),(
M
h
N
k
k
N
v
h
M
u
j
shiftedkh
eG
MN
vug
π
(8)
Si fa notare che u
0
e v
0
sono valori interi e che G
h,k shifted
� stata
shiftata dei valori non interi s
h
e s
k
, e che, trattandosi di una
interpolazione, i valori cos� calcolati non sono esatti ma solo delle
approssimazioni. Una situazione particolarmente interessante per l�analisi
in esame, si ha nel caso in cui il punto di coordinate (u, v) dista
dall�origine della sottoimmagine di una quantit� inferiore al pixel, vale a
dire, quando i valori u
0
e v
0
sono entrambi nulli; in questo caso il termine
esponenziale che compare nell�equazione risulta sempre pari ad 1.
L�equazione (8) pu� essere riscritta nella seguente forma:
∑∑
−
=
−
=
=
1
0
1
0
,
1
),(
M
h
N
k
shiftedkh
G
MN
vug (9)
La tecnica sopra menzionata pu� essere applicata con successo per
valutare, con un�accuratezza inferiore al pixel, le coordinate del massimo
Capitolo 1. Basi Teoriche
14
della funzione di cross � correlazione calcolata a partire dalle
sottoimmagini deformate e indeformate estratte dal un campo speckle.
Applicando, per esempio, il teorema della correlazione alle sottoimmagini
q
u
e q
d
, il termine G
h,k
della (7) diventa:
*
,,, khdkhukh
QQC = (10)
dove Q
u h,k
e Q
d h,k
rappresentano lo spettro complesso delle
immagini q
u
e q
d
, il simbolo * rappresenta il complesso coniugato,
mentre C
h,k
� la trasformata di Fourier della funzione di cross-correlazione
c. Ricordiamo al riguardo il teorema della correlazione che pu� essere
enunciato come segue: la trasformata di Fourier di un�integrale di
correlazione � uguale al prodotto fra la complessa coniugata della
trasformata di Fourier della prima equazione e la trasformata di Fourier
della seconda equazione. In formule:
(){}{}{}fgfg FFCF
∗
=⊗
(11)
Fatte queste premesse, shiftando C
h,k
di s
h
e s
k
e calcolandone,
usando l�equazione (9), il valore della trasformata di Fourier inversa
all�orgine della griglia shiftata, si ottiene una funzione scalare di s
h
e s
k
il
cui massimo si ha proprio quando s
h
e s
k
coincidono con i valori incogniti
dello spostamento tra le due sottoimmagini q
u
e q
d
. Per questo motivo la
determinazione di s
h
e s
k
pu� essere formalmente esposta come un
problema di massimizzazione della seguente funzione obiettivo:
()
=Ω
=∀=
>∀−=
<∀=
=∀=
>∀−=
<∀=
−
=
−
=
+−
∑∑
20
2
2
20
2
2
1
0
1
0
2
,
1
,
Nkk
NkNkk
Nkkk
Mhh
MhMhh
Mhhh
M
h
N
k
k
N
s
h
M
s
j
khkh
kh
eC
MN
ss
π
(12)
La strategia di calcolo descritta ha la propriet� di essere
indipendente dall�entit� e dalla direzione dello spostamento da calcolare,
Capitolo 1. Basi Teoriche
15
perch� utilizza la totalit� delle informazioni a disposizione invece di
limitarsi a pochi valori, come accadeva nei metodi precedentemente
esposti.
E� di fondamentale importanza, per poter applicare le
semplificazioni di cui sopra, che lo spostamento fra due successive
sottoimmagini da processare non superi il valore di un pixel. L�esperienza
ha dimostrato che, per ottenere accuratezze soddisfacenti per i risultati,
tale valore debba essere limitato a pochi decimi di pixel. Ci�, in molti casi,
si pu� ottenere solamente acquisendo le immagini a frequenze
sufficientemente elevate. Volendo essere in grado di elaborare i dati in
tempo reale, vale a dire in modo sincrono con l�acquisizione dei
fotogrammi, si capisce quanto sia urgente ridurre il pi� possibile il tempo
di calcolo necessario all�elaborazione e, dunque, il numero di operazioni in
virgola mobile da eseguire. A tale scopo si � ricorso a numerosi espedienti
di tipo numerico, cercando di non rinunciare alla precisione del risultato,
utilizzando, cio�, il maggior numero di dati possibili. Questi sono:
™ Caratteristiche della matrice di correlazione C
™ Operazioni di filtraggio delle frequenze
™ Disaccoppiamento delle variabili di massimizzazione
™ Restrizione alle sole parti reali
™ Calcolo delle funzioni trigonometriche
a) Caratteristiche della matrice di correlazione C : in quanto matrice
di correlazione di due immagini, C risulta essere la trasformata di Fourier
di una funzione reale e i suoi termini godono della seguente propriet�:
()1...0,1...0
,,
−=−==
∗
−−
NkMhCC
kNhMkh (13)
questo vuol dire che � necessario calcolare solo M X N/2 coefficienti
e che quindi basta effettuare solo la met� dei prodotti presenti nella (9).
Capitolo 1. Basi Teoriche
16
b) Operazioni di filtraggio delle frequenze : un immagine speckle
nel dominio della frequenza ha l�andamento in figura 1.2. In base alle
caratteristiche dell�andamento della curva, visibili nel dominio della
frequenza, vengono applicati dei filtri sia alle alte che alle basse
frequenze in ordine di diminuire il numero di calcoli da effettuare. Le
basse frequenze sono dovute principalmente a fenomeni di illuminazione
non uniforme, inoltre loro differenza di fase risulta poco sensibile agli
spostamenti relativi fra le due immagini da confrontare, per questi due
motivi possono essere filtrate.
Figura 1.2: spettro non filtrato di un’immagine speckle
Le alte frequenze rappresentano i segnali o disturbi dell�ordine della
dimensione dello speckle, per questo motivo le frequenze che
rappresentano segnali inferiori alla pi� piccola dimensione caratteristica
possono essere filtrati. Questa assunzione oltre a permettere di diminuire
il numero di calcoli ha un effetto benefico nel in quanto elimina i disturbi.
Capitolo 1. Basi Teoriche
17
Per quanto ancora non sia stata data una relazione che fornisca
l�esatto valore dei filtri, si � empiricamente trovato che i valori ottimali di
questi due valori sono R1=N/32 e R2=N/4 dove N indica la dimensione in
pixel della sottoimmagine (N X N), tipicamente N=128. Questa
problematica � stata affrontata nel dettaglio in un altro lavoro il cui
riferimento � presente in bibliografia.
L�immagine speckle nel dominio della frequenza assume quindi
l�andamento riportato in figura 1.3.
.
Figura 1.3: spettro filtrato di un’immagine speckle. Il filtro passa-banda ha
eliminato le frequenze al di sotto di R1 e al di sopra di R2. L’utilizzo del filtro
permette di diminuire il numero di calcoli che l’algoritmo deve effettuare oltre a
togliere quelle frequenze che risultano di disturbo alla misura.
c) Disaccoppiamento delle variabili di massimizzazione : come si �
visto nell�equazione (12), la ricerca del picco della funzione di cross-
correlazione equivale a massimizzare l�equazione Ω (s
h
,s
k
). Poich�
l�immagine indeformata e deformata, essendo molto vicine nel tempo, si
Capitolo 1. Basi Teoriche
18
riferiscono alla stessa superficie inquadrata dal provino, la funzione di
cross-correlazione pu� essere considerata quasi-simmetrica rispetto al
punto in cui assume il massimo valore, vale a dire, il picco. Per questo
motivo la ricerca del massimo pu� essere fatta indipendentemente nelle
due direzioni x e y. Esaminando la (12), che riscriviamo per chiarezza,
()
=Ω
=∀=
>∀−=
<∀=
=∀=
>∀−=
<∀=
−
=
−
=
+−
∑∑
20
2
2
20
2
2
1
0
1
0
2
,
1
,
Nkk
NkNkk
Nkkk
Mhh
MhMhh
Mhhh
M
h
N
k
k
N
s
h
M
s
j
khkh
kh
eC
MN
ss
π
(12)
si vede che uno dei due termini esponenziali che compaiono in essa
rimane costante quando si scorrono le colonne delle sottoimmagini, per
qualsiasi traslazione imposta lungo la direzione x; viceversa, scambiando i
ruoli di righe e colonne. Possiamo quindi riscrivere la precedente relazione
disaccoppiando le variabili ottenendo due equazioni:
()
h
M
s
j
M
h
N
k
k
N
s
j
khhh
hk
eeC
MN
s
ππ 2
1
0
1
0
2
,
1
−
−
=
−
=
−
∑∑
=Ω
(14)
()
k
N
s
j
N
k
M
h
h
M
s
j
khkk
kk
eeC
MN
s
ππ 2
1
0
1
0
2
,
1
−
−
=
−
=
−
∑∑
=Ω
(15)
Inoltre, dato che i termini tra parentesi quadre risultano costanti
durante ciascuna massimizzazione, questi possono essere calcolati una
volta per tutte al di fuori del ciclo di iterazione per la ricerca del massimo.
d) Restrizione alle sole parti reali : i termini esponenziali delle (14)
e (15) sono complessi coniugati. Per questo motivo, e perch� ha interesse
calcolare solamente la parte reale della funzione obiettivo, si pu�
applicare la seguente relazione:
[ ] ( )[ ]zbabzaz
∗∗
+=+ ReRe (16)
L�uso di tale formula permette di risparmiare la met� dei prodotti
complessi presenti nelle (14) e (15).
Capitolo 1. Basi Teoriche
19
e) Calcolo delle funzioni trigonometriche : i termini esponenziali
delle precedenti equazioni sono di natura complessa, per questo motivo
risulta indispensabile esprimerli in forma trigonometrica secondo
l�equazione di Eulero, in quanto il calcolatore non � in grado di calcolare
degli esponenziali complessi:
()bjbee
ajba
sincos +=
+
(17)
Utilizzando le seguenti formule ricorsive, lo sviluppo dei termini pu�
essere notevolmente accelerato:
() () ( )[]() ( )[]
() () ( )[]() ( )[]
1111
1111
1sinsin1coscoscos
1sincos1cossinsin
−−
−−
+=−+−==
+=−+−==
kkk
kkk
SSCCkkkC
SCCSkkkS
ααααα
ααααα
(18)
con k=2,..,N . Le uniche formule trigonometriche che devono essere
calcolate sono S
1
= sin(α ) e C
1
= cos(α ) ; nel caso in esame α , risulta
essere, nei due casi, uguale a
M
s
h
π2
e
N
s
k
π2
.
Capitolo 2. L�algoritmo
20
2. L’algoritmo
2.1 Introduzione all�algoritmo
L�algoritmo, implementato in linguaggio C++, � fondamentalmente
un algoritmo a cascata, ovvero le operazioni sono svolte dall�inizio alla
fine in passi successivi, per questo motivo poteva essere utilizzato un
altro linguaggio, per esempio il FORTRAN, ma il vantaggio del C++ risiede
nel fatto che, poich� la programmazione � ad oggetti, sar� possibile, in
una seconda fase, dare una interfaccia grafica di tipo Windows al
programma in modo tale da essere pi� facilmente utilizzabile anche da
utenti meno esperti, nonch� per una possibile commercializzazione del
metodo.
I passi fondamentali dell�algoritmo sono:
1. Acquisizione delle immagini
2. Applicazione della griglia e relativa scomposizione in
sottoimmagini
3. Passaggio dal dominio dello spazio a quello della frequenza
attraverso la Trasformata di Fourier (FFT)
4. Prodotto tra l�immagine indeformata e l�immagine deformata nel
dominio della frequenza
5. Passaggio dal dominio della frequenza a quello dello spazio
attraverso la Trasformata di Fourier Inversa (IFFT)
6. Funzione di cross-correlazione
7. Ricerca del massimo della funzione di cross-correlazione, ovvero
determinazione delle variabili di massimizzazione s
h
e s
k
che
rappresentano, rispettivamente, lo spostamento in direzione Y e
X delle sottoimmagini
8. Derivazione numerica degli spostamenti
Capitolo 2. L�algoritmo
21
9. Determinazione della deformazione parziale tra le due immagini
successive
10. Deformazione totale data dalla somma delle deformazioni
parziali
Segue uno schema a blocchi semplificato delle operazioni sopra
menzionate:
a parte la prima iterazione non c�� bisogno di allocare ogni volta
due buffer, dato che l�immagine i al passo successivo corrisponde
all�immagine i�1.
Figura 2.1: schema a blocchi semplificato dell’algoritmo originale DSC
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