2
Packing di sfere sono stati studiati in spazi di ogni tipo e dimensione, ma nella
presente concentreremo la nostra attenzione su risultati ottenuti nello spazio
euclideo tridimensionale.
Nel primo capitolo ripercorreremo quelli che sono stati gli sviluppi storici
della teoria dei packing infiniti a partire dalla congettura di Keplero e dal
problema di Gregory-Newton fino ai giorni nostri. Introdurremo poi il concetto di
densità di un packing e ne daremo alcuni fondamentali limiti inferiori e superiori.
Nel secondo capitolo ci occuperemo invece dei packing finiti; dopo aver
adattato a questi la definizione di densità parleremo della famosa congettura di L.
Fejes Tóth, nota come “congettura della salsiccia” e accenneremo poi a quanto
avviene in E3 ed E4. Nell’ultima parte del capitolo daremo infine alcune notizie
riguardanti l’applicazione della teoria dei packing in cristallografia.
Nel terzo capitolo, il più significativo della nostra tesi, tratteremo nei dettagli
il caso tridimensionale, mostreremo che in E3 il punto critico della configurazione
lineare è k0≈56 e precisamente: nel primo paragrafo faremo vedere che per k0=56
la configurazione lineare non è ottimale, nel secondo paragrafo dimostreremo che
per k≥56, tranne che per k=57,58,63,64, la configurazione lineare non è la
migliore possibile, nel terzo paragrafo mostreremo che anche per k=58,63,64
esiste una configurazione migliore di quella lineare, mentre nel quarto paragrafo
daremo la dimostrazione del risultato contenuto nel secondo paragrafo con un
metodo originale.
3
Capitolo 1
Packing infiniti
In questo primo capitolo daremo le definizioni fondamentali riguardanti la
teoria dei packing. Illustreremo poi due famosi problemi di tale teoria, il
problema di Gregory-Newton e la congettura di Keplero, e faremo un breve
cenno storico sullo sviluppo della teoria dei packing infiniti. Daremo infine
alcune notizie sul parallelo sviluppo della teoria dei ricoprimenti. I risultati
riportati in questo capitolo sono presi da ([FT],1983), ([R] ,1964) e ([Z],1999).
1.1 Densità di un packing
Sia C un corpo convesso nello spazio euclideo n-dimensionale En, dove per
corpo convesso intendiamo un sottoinsieme compatto di En con interno non vuoto
tale che
λx+(1−λ ) y∈C
per ogni x,y∈C e 0<λ<1.
Se consideriamo un insieme discreto X di punti di En, diciamo che C+X è un
packing di traslati di C, o più semplicemente un packing di C, se
(int(C)+x1)∩ (int(C)+x2) = ∅
per ogni x1 e x2 punti distinti di X.
4
Prendiamo ora n vettori linearmente indipendenti ai = ( )
n1 ii
a,...,a , i=1,…,n, di
En. Chiamiamo reticolo l’insieme Λ =
Ζ∈∑
=
i
n
1i
ii
z/az e base di Λ l’insieme
{ }
i
a , i=1,…,n. Se in particolare X= Λ , C+ Λ è detto packing reticolare di C.
Possiamo a questo punto introdurre il concetto di densità di un packing. Sia h
un numero reale positivo e sia m(C,h) il massimo numero di traslati C+x scelti in
modo da formare un packing in hIn, dove
In = ( )
≤=
≤≤ 2
1
xmax/x,...,xx
i
ni1
n1
è il cubo n-dimensionale.
Definiamo allora
)hI(V
)C(V)h,C(m
suplim)C(
nh ∞→
=δ
la densità del più denso packing di traslati di C in En.
Allo stesso modo con
)det(
)C(V
sup)C(
Λ
=δ
Λ
∗
definiamo la densità del più denso packing reticolare di C, dove l’estremo
superiore si intende preso su tutti i reticoli Λ tali che C+ Λ è un packing.
Ricordiamo che con )det(Λ indichiamo il valore assoluto del determinante
ij
a ,
dove
ij
a sono le componenti degli n vettori linearmente indipendenti che formano
la base di Λ ; esso rappresenta il volume del parallelepipedo fondamentale
P =
≤λ≤λ∑
=
n
1i
iii
10/a
di Λ .
Per come sono state definite le due densità risulta chiaro che
( ) ( ) 1CC ≤δ≤δ∗
5
Ricordiamo infine che la densità ( )Cδ può essere definita usando, al posto del
cubo In, un qualsiasi corpo convesso A avente l’origine come punto interno. Se
infatti m(C,hA) è il numero massimo di traslati C+x scelti in modo da formare un
packing in hA, allora
)hA(V
)C(V)hA,C(m
lim)C(
h ∞→
=δ
1.2 Il problema di Gregory-Newton
Esporremo ora il problema di Gregory-Newton, uno dei primi affrontati in
teoria dei packing.
Consideriamo nuovamente il corpo convesso C in En, indichiamo con k(C) il
numero massimo di traslati C+x che non si intersecano e che toccano
esternamente C sul suo bordo, con ∗k (C) il numero massimo di traslati, quando
questi fanno parte di un packing reticolare di C. Vale allora la disuguaglianza
∗k (C) ≤ k(C)
Si deve poi a Minkowski la determinazione del seguente limite superiore
∗k (C) ≤ k(C) ≤ 3n−1
dove l’uguaglianza vale solo nel caso che il corpo convesso sia un
parallelepipedo.
Consideriamo ora in E3, al posto di un generico corpo convesso, la sfera
unitaria
( ) ( )
≤== ∑
=
3
1i
2
i32x
3 1x/x,x,xxB
6
Presi poi ( )0,0,2a1 = , ( )0,3,1a 2 = ,
=
3
62
,
3
3
,1a 3 sia 3Λ il reticolo
generato da questi punti. Si può provare che 3B + 3Λ costituisce un packing
reticolare di 3B , in cui ogni sfera ne tocca altre dodici. Risulta chiaro quindi che
∗k ( 3B ) ≥ 12
Alla fine del Seicento, durante una famosa disputa, Newton e Gregory
discussero il seguente problema: può una sfera toccare tredici sfere della stessa
grandezza? Mentre Newton era convinto che il numero massimo fosse dodici,
Gregory credeva che fosse possibile dare una risposta affermativa.
Solo due secoli più tardi, e precisamente nel 1874, il problema fu in parte
risolto da Hoppe. La dimostrazione fu completata tra il 1953 e 1956 da Schutte,
van der Waerden e Leech , i quali arrivano al seguente risultato
∗k ( 3B ) = k( 3B ) = 12
dando finalmente una risposta a quello che in letteratura era noto come il
problema della tredicesima sfera. In onore di Newton, L. Fejes Tóth suggerì di
chiamare k( 3B ) numero di Newton di 3B .
Ricordiamo che il problema di Gregory-Newton è stato risolto , oltre che in
3E , anche in 82 E,E ed 24E . Precisamente abbiamo
k( 2B ) = 6
k( 8B ) = 240
k( 24B ) = 196.560
Questi risultati esauriscono la nostra conoscenza sui numeri di Newton in
dimensione maggiore di 2. D’altra parte conosciamo il numero di Newton di
alcuni speciali insiemi convessi nel piano.
7
La congettura di L. Fejes Tóth (1969) che il numero di Newton di un n-gono
regolare sia 12 per n=3, 8 per n=4 e 6 per n>4 fu confermata da Böröczky per
n≠5 nel 1971 e da Linhart nel caso n=5 nel 1973.
In accordo poi con quanto trovato da L. Fejes Tóth abbiamo che il numero di
Newton di un insieme convesso C di diametro d e larghezza w soddisfa la
disuguaglianza
d
w
2
w
d
)24()C(k ++pi+<
dove con il termine diametro intendiamo la distanza massima tra due punti del
convesso e con il termine larghezza intendiamo la distanza minima fra due rette
parallele tangenti al convesso.
Notiamo infine che il problema di Gregory-Newton è strettamente collegato al
problema di impacchettare il massimo numero di sfere n-dimensionali di raggio
1<λ nella sfera n-dimensionale unitaria.
1.3 La congettura di Keplero
Forse il più conosciuto problema della teoria dei packing è quello di
determinare il valore massimo per la densità di un packing di sfere
tridimensionali, problema che fu per primo posto da Keplero.
Consideriamo nuovamente il reticolo 3Λ introdotto nel precedente paragrafo e
noto con il nome di fcc (face centered cubic) reticolo. Si può provare che la
densità del packing 3
3B Λ+ è
18)det(
)B(V
3
3 pi
=
Λ
e quindi
18
)B( 3 pi≥δ∗
8
Nel 1611 Keplero congetturò che
18
)B( 3 pi=δ
cioè che nessun packing di sfere unitarie in uno spazio tridimensionale potesse
avere densità maggiore di quella del packing costruito a partire da un fcc reticolo.
Keplero in un suo piccolo saggio, “The Six-Cornered Snowflakes” costruì
l’fcc packing definendolo “il più denso possibile, cosicché in alcun altro modo più
palline potrebbero essere messe nello stesso contenitore”. Visti i suoi
collegamenti con la cristallografia il saggio fu definito il “primo passo verso una
interpretazione matematica della genesi delle forme organiche e inorganiche”.
Pur avendo attirato nel corso dei secoli l’attenzione di numerosi matematici, la
congettura di Keplero è rimasta senza una dimostrazione per quasi quattrocento
anni.
Nel 1831 Gauss ottenne un primo risultato importante: egli mostrò che se i
centri delle sfere del packing sono posti in corrispondenza dei punti di un reticolo
allora il packing non può essere migliore di quello ottenuto a partire da un fcc
reticolo, provò cioè che
18
)B( 3 pi=δ∗
Ricordiamo però che Barlow trovò in seguito altri packing non reticolari di
sfere aventi la stessa densità.
Nel 1900, durante il Congresso Internazionale dei Matematici a Parigi, Hilbert
inserì la congettura di Keplero all’interno del suo diciottesimo problema e da
allora questo divenne uno dei problemi più popolari tra i matematici.
Riguardo alla congettura Rogers affermò: “Molti matematici credono e tutti i
fisici sanno” che la densità del più denso packing in E3 è
18
pi
.
9
Nel 1976 Milnor addirittura scrisse sull’argomento: “Questa è una situazione
scandalosa poiché la risposta corretta è conosciuta fin dai tempi di Gauss. Quello
che manca è soltanto una dimostrazione”.
Nel 1929 Blichfeldt ottenne 0,835 come primo limite superiore per )B( 3δ ,
risultato che fu successivamente migliorato da Rankin, Rogers, Lindsey e Murder
e portato a 0,773055.
L’intero ventesimo secolo può essere descritto come un susseguirsi di tentativi
e insuccessi fino a quando nell’agosto del 1998 Hales e Ferguson annunciarono
di aver provato la congettura. La loro dimostrazione, contenuta in 282 pagine, è
estremamente complicata e basata interamente sull’utilizzo del computer, che
gioca un ruolo fondamentale prima nell’elencazione di tutte le possibilità e in
seguito nella trattazione di ogni caso. Tale risultato, con una traccia della
dimostrazione, è riportato nel numero 4 del volume 47 della rivista “Notices of the
AMS” dell’aprile del 2000. Non è però ancora ben chiaro se tale dimostrazione
possa essere considerata esauriente.
Ricordiamo infine al termine di questo paragrafo la versione della congettura
di Keplero in due dimensioni. Sia 2Λ il reticolo di base ( ) ( ){ }3,1,0,2 . Allora
2
2B Λ+ è un packing reticolare di B2. Abbiamo quindi
( )
( )
( ) 12det
BVB
2
2
2 pi=
Λ
≥δ∗
Se inscriviamo un disco unitario in ogni esagono regolare della
pavimentazione esagonale del piano, otteniamo che la densità del packing così
costruito è
12
pi
.
Nel 1773 Lagrange dimostrò che
( )
12
B2 pi=δ∗
e inoltre nel 1890 Thue provò che
10
( )
12
B2 pi=δ
cioè che
12
pi
è la massima densità possibile per un packing in E2.
1.4 Cenni storici
Il problema di fondo nella teoria dei packing è quello di determinare la densità
( )Cδ del più denso packing di C in nE , o almeno di dare una buona
approssimazione per tale valore.
Sebbene Lagrange nel 1773 avesse trovato, nei suoi lavori sulla riduzione
delle forme quadratiche, alcune disuguaglianze riconducibili alla teoria dei
packing, fu Gauss che nel 1831 introdusse la nozione di reticolo ed interpretò i
risultati di Lagrange secondo la teoria dei packing. Spetta quindi a Gauss l’onore
di avere dato i primi espliciti contributi a questa teoria.
Come già abbiamo visto nel paragrafo precedente, a Lagrange (1773) si deve
la determinazione di )B( n∗δ nel caso n=2, mentre a Gauss (1831) quella nel caso
n=3. Il problema del più denso packing reticolare di sfere è risolto inoltre per n≤8;
infatti ( )nB∗δ è stato determinato per n=4,5 da Korkine e Zolotareff nel 1872 e
nel 1877, per n=6,7,8 da Blichfeldt nel 1934. Abbiamo così
( )
12
B2 pi=δ∗ = 0,906
( )
18
B3 pi=δ∗ = 0,7404
( )
16
B
2
4 pi=δ∗ = 0,6168
( )
215
B
2
5 pi=δ∗ = 0,4652
11
( )
348
B
3
6 pi=δ∗ = 0,3729
( )
105
B
3
7 pi=δ∗ = 0,2952
( )
384
B
4
8 pi=δ∗ = 0,2536
Sorprendentemente, dal 1934 ad oggi non è stato trovato il valore di ( )nB∗δ
per nessun’altra dimensione. L’esatto valore di ( )nB∗δ rimane perciò sconosciuto
per n≥9, ma limiti inferiori per tale valore sono stati calcolati, ad esempio, da
Chaundy nel 1946 per n=9,10. Egli ottenne
( ) 1457,0
2945
2B
4
9 =
pi
≥δ∗
( ) 092,0
31920
B
5
10 =
pi
≥δ∗
Le disuguaglianze ottenute per n=9,10 sono state ricavate calcolando le
densità di particolari packing reticolari di sfere. Quando n è grande sembra invece
essere necessario rifarsi ad argomentazioni indirette.
Nel 1905 Minkowski provò che per ogni n
( )
( )
1n
n
2
nB
−
∗ ξ≥δ
dove
( ) ∑
∞
=
−=ξ
1k
nkn
Possiamo notare che questa disuguaglianza è un caso particolare della
seguente
( )
( )
1n2
nC
−
∗ ξ≥δ
12
data da Minkowski nel 1893 e provata da Hlawka nel 1944, valida per ogni
convesso C simmetrico rispetto all’origine.
Successivi perfezionamenti del teorema di Minkowski portarono al seguente
miglioramento
( )
1nn
n
2)e1(e
)n(nB
−−
∗
−
ξ
≥δ
ottenuto da Rogers nel 1947.
Il primo significativo limite superiore è
( ) 2
n
n 2
2
2nB
−
∗ +≤δ
calcolato da Blichfeldt nel 1914.
Il primo matematico a studiare invece packing che non siano necessariamente
reticolari sembra essere stato Thue; nel 1890 egli provò che
( ) 9069,0
12
B2 =pi=δ
densità ottenuta mediante una costruzione a forma esagonale, in cui ogni cerchio
ne tocca esattamente altri sei.
Se passiamo ora a considerare dimensioni maggiori, abbiamo che nel 1914
Blichfeldt studiò i packing non reticolari di sfere senza però dedurre una buona
stima per ( )nBδ . Tuttavia egli tornò sull’argomento nel 1929 provando che
( ) 2
n
n 2
2
2nB
−+
≤δ
Questo risultato fu successivamente migliorato da Rankin nel 1947 e da
Rogers nel 1958. Quest’ultimo provò che
( ) n
nB σ≤δ
dove nσ è il rapporto tra il volume totale delle porzioni delle n+1 sfere unitarie
con centri nei vertici di un simplesso regolare (nel caso n=3 il simplesso è un
13
tetraedro) di lato lungo 2, giacenti all’interno del simplesso, e il volume
dell’intero simplesso. Poiché il comportamento asintotico di nσ è espresso da
2
n
n 2
e
n −
≈σ
otteniamo
( ) 2
n
n 2
e
nB
−
≤δ
Un miglioramento significativo del limite trovato da Blichfeldt fu ottenuto
attraverso metodi algebrici e analitici da Sidel’nikov nel 1973-74, quando provò
che
( ) ( )( )n1509,0n 2B ο+−≤δ per n ∞→
Più tardi, nel 1975, Levenstein dimostrò che
( ) ( )( )n1523,0n 2B ο+−≤δ per n ∞→
mentre nel 1978 lo stesso Levenstein, insieme a Kabayanskii, trovò che
( ) ( )( )n1599,0n 2B ο+−≤δ per n ∞→
Il precedente risultato è il migliore limite superiore per la densità di un
packing di sfere n-dimensionali oggi conosciuto.
Inoltre poiché
( )nB∗δ ≤ ( )nBδ
abbiamo automaticamente che i limiti inferiori per ( )nB∗δ sono limiti inferiori
anche per ( )nBδ .
Alcuni interessanti risultati hanno origine dall’osservazione, fatta nel 1960 da
Heppes, che ogni packing reticolare di sfere nello spazio tridimensionale può
essere transilluminato in tre direzioni linearmente indipendenti. Hortobagyi nel
1971 generalizzò il risultato di Heppes provando che per ogni packing reticolare
di sfere aperte si possono trovare tre cilindri circolari infiniti di raggio
14
1
4
23
− =0,06065
con gli assi linearmente indipendenti tali da non intersecare alcuna sfera del
packing. L’esempio del più denso packing di sfere mostra che la costante 1
4
23
−
è la più piccola possibile.
Un altro teorema di Hortobagyi (1977) stabilì che ogni packing reticolare di
sfere può essere transilluminato in sei direzioni non parallele. Nuovamente usando
il più denso packing reticolare di sfere dimostrò che il numero sei non poteva
essere sostituito da uno maggiore. Hortobagyi nel 1983 mostrò inoltre che i
teoremi appena ricordati valgono anche nel caso di packing reticolari di corpi di
larghezza costante 2.
I risultati di Heppes e Hortobagyi riportati in precedenza furono poi estesi a
spazi di dimensione superiore da Horvath nel 1970, Ryskov nel1972 e ancora
da Horvath nel 1975. In particolare Horvath dimostrò che nello spazio
n-dimensionale per ogni packing reticolare di sfere esiste uno spazio
(n−2)-dimensionale che non interseca alcuna sfera del packing.
Esaminiamo ora il caso di packing reticolari di corpi convessi qualsiasi, di cui
Minkowski fu il primo ad iniziare uno studio metodico. Egli mostrò che in ogni
dimensione il problema di determinare il più denso packing reticolare di insiemi
convessi asimmetrici può essere ricondotto, almeno in teoria, all’analogo
problema per insiemi convessi simmetrici.
Malgrado considerevoli passi in avanti dal punto di vista teorico nella
geometria dei numeri dai tempi di Minkowski ad oggi, il problema di determinare
il valore di )C(∗δ , dato un generico corpo convesso tridimensionale C, rimane
insoluto.
Nel 1904 Minkowski calcolò )C(∗δ quando C è un ottaedro definito da
15
1xxx 321 <++
Whiteworth nel 1948 e nel 1951 ricavò il valore della densità di packing
reticolari quando l’insieme C è un cubo con due angoli opposti tagliati da due
facce piane e quando C è un doppio cono, Chalk nel 1950 calcolò )C(∗δ nel caso
in cui C sia uno spicchio tagliato da una sfera, mentre Mahler nel caso C sia un
cilindro circolare.
Quest’ultimo risultato fu successivamente esteso da Chalk, Rogers e Jeh
(1948) a cilindri aventi come base un arbitrario insieme piano convesso e da
Woods (1958) a cilindri aventi per base una sfera tridimensionale.
Tolti i risultati trovati nel caso delle sfere e riportati all’inizio del paragrafo,
alcuni risultati ottenuti per i cilindri e certi esempi di insiemi che ricoprono lo
spazio, l’esatto valore di )C(∗δ rimane attualmente sconosciuto per tutti gli
insiemi convessi C in dimensione maggiore o uguale a quattro. Così, quando n≥4,
l’interesse è quello di determinare il limite inferiore di )C(∗δ per varie classi di
insiemi C.
Minkowski nel 1893 giunse alla seguente disuguaglianza
( )
( )
1n2
nC
−
∗ ξ≥δ
dove
( ) ∑
∞
=
−=ξ
1k
nkn
valida per ogni C convesso n-dimensionale simmetrico rispetto all’origine.
Minkowski pubblicò nel 1905 una prova del suo risultato nel caso speciale in
cui C è una sfera oppure un ellissoide, ma solo nel 1944 Hlawka diede una
dimostrazione completa del teorema di Minkowski.
Dalla disuguaglianza precedente, usando un risultato di Rogers e Shepard
(1957) sull’insieme differenza di un insieme limitato C, dove con questo termine
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