Studio dell'amplificazione in strutture a banda fotonica proibita

                                                                                                                                                     Introduzione 
 
 
3
 
interfacce può produrre per i fotoni gli stessi fenomeni che il potenziale atomico 
produce per gli elettroni. In particolare è possibile progettare e costruire un cristallo 
fotonico con una banda fotonica proibita che previene la propagazione della luce in 
determinate direzioni e con specifiche energie [1]. Se, per un certo intervallo di 
frequenze un cristallo fotonico riflette la luce incidente con qualsiasi angolo e con 
qualsiasi polarizzazione, allora il cristallo possiede una banda fotonica proibita 
completa; in questi cristalli non possono propagarsi modi che abbiano frequenza 
all’interno di tale intervallo. 
Sfruttando le proprietà dei cristalli fotonici, si possono realizzare delle strutture che 
permettono l’amplificazione di segnali a frequenze ottiche in maniera molto efficiente. 
Nelle strutture PBG il guadagno ottico può essere incrementato, agli estremi delle bande 
proibite, sfruttando la forte diminuzione della velocità di gruppo che aumenta il tempo 
di interazione fra il campo radiante ed il mezzo attivo. Sfruttando la stessa proprietà, si 
possono realizzare delle strutture laser PBG senza l’uso di specchi esterni; le 
oscillazioni laser generate sono localizzate a lunghezze d’onda corrispondenti agli 
estremi delle bande proibite.    
In questa tesi è stato affrontato il problema relativo all’analisi ed alla 
caratterizzazione delle strutture PBG attive, attraverso la determinazione dei coefficienti 
di trasmissione e riflessione. 
Comunemente vengono utilizzati due approcci computazionali per lo studio di 
strutture dielettriche come i cristalli fotonici, un approccio nel dominio della frequenza 
ed uno nel dominio del tempo. Ognuno di essi, presenta vantaggi e svantaggi ed occupa 
un proprio posto tra gli strumenti utilizzati nella ricerca. 
In questo lavoro è stato scelto un metodo di analisi nel dominio del tempo, il 
Metodo alle Differenze Finite nel Dominio del Tempo, o FDTD (Finite-Difference 
Time-Domain). Questo metodo discretizza nel tempo le equazioni di Maxwell, 
permettendo l’integrazione dei campi elettrici e magnetici attraverso le celle unitarie in 
cui viene suddivisa la struttura PBG da analizzare. L’approccio FDTD permette di 
analizzare l’evoluzione temporale dei campi elettromagnetici che si propagano nella 
struttura. 
Le strutture PBG saranno perciò modellate numericamente con un approccio di tipo 
FDTD per determinare le loro caratteristiche operative su un ampio set di frequenze in 
una singola simulazione e sarà anche fornita una completa visualizzazione 
                                                                                                                                                     Introduzione 
 
 
4
 
dell’evoluzione temporale di tutti i campi associati. Si può studiare il comportamento 
della struttura PBG su un’ampia larghezza di banda, semplicemente eccitandola con un 
segnale che possiede un largo contenuto spettrale, ovvero, la cui larghezza di banda 
comprende la regione di frequenze di nostro interesse. Dopo aver utilizzato queste 
equazioni per trovare la risposta nel dominio del tempo ad un particolare set di campi 
iniziali, dai campi risultanti possiamo facilmente estrarre informazioni sui coefficienti di 
trasmissione e riflessione in funzione della frequenza. Possiamo, infatti, determinare il 
coefficiente di trasmissione e di riflessione attraverso un numero finito di campioni 
utilizzando la FFT (Fast Fourier Transform). 
Per confrontare i risultati ottenuti con il metodo FDTD è stato utilizzato il metodo, 
operante nel dominio della frequenza, della Matrice di Trasferimento, o TMM (Transfer 
Matrix Method). 
Segue una breve descrizione del contenuto dei capitoli presenti in questa tesi.  
Nel primo capitolo sono illustrate le principali proprietà delle strutture PBG ottiche 
attive. 
Il secondo capitolo copre gli aspetti fondamentali teorici e numerici dell’algoritmo 
FDTD. Le equazioni alle differenze finite per tutte le componenti dei campi elettrici e 
magnetici sono derivate dalle equazioni di Maxwell nel sistema di coordinate cartesiane 
nel dominio del tempo secondo la formulazione iniziale di Yee e la successiva 
elaborazione di Taflove. In questo capitolo si analizzano inoltre la stabilità numerica, la 
dispersione numerica, il tipo di eccitazione e le condizioni di assorbimento al contorno 
(ABC), realizzate attraverso l’uso di uno strato assorbente perfettamente adattato 
(PML), per l’algoritmo FDTD.  
Nel terzo capitolo sono presentati i risultati ottenuti con l’analisi FDTD sulle 
strutture PBG unidimensionali attive. Nello stesso capitolo sono riportate le proprietà 
generali ricavate per i cristalli fotonici unidimensionali passivi ed attivi. 
Nel quarto capitolo sono presentati i risultati ottenuti con l’analisi FDTD sulle 
strutture PBG bidimensionali costituite da colonne dielettriche (con lunghezza infinita) 
di materiale attivo a sezione quadrata, su reticolo quadrato e su reticolo a “scacchiera”, 
immerse in aria. Nello stesso capitolo sono riportate le proprietà generali ricavate per i 
cristalli fotonici bidimensionali passivi ed attivi, costituiti da colonne dielettriche a 
sezione quadrata disposte secondo un reticolo quadrato, a “scacchiera” o triangolare. 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPITOLO 1 
IL GUADAGNO NELLE STRUTTURE PBG OTTICHE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capitolo 1                                                                                         Il guadagno nelle strutture PBG ottiche 
  
  
 
6
 
Le proprietà dei cristalli fotonici dipendono dalla modulazione spaziale periodica 
della costante dielettrica; gli automodi elettromagnetici formano la caratteristica 
struttura a bande consentite e bande proibite. Tra le tante proprietà, i cristalli fotonici 
presentano la possibilità di ottenere una bassa velocità di gruppo per gli automodi 
elettromagnetici; questa caratteristica porta ad un incremento delle emissioni stimolate, 
se i centri ottici in cui si verifica il fenomeno dell’inversione di popolazione sono 
dispersi nel cristallo fotonico.  Questo fenomeno è stato osservato da Dowling [2] nel 
caso di cristalli fotonici unidimensionali, costituiti da un’alternanza di strati dielettrici 
attivi e passivi. 
 
 
Fig. 1.1: Struttura periodica unidimensionale costituita da un’alternanza di strati dielettrici d’indici di 
rifrazione n
1
 ed n
2
 e d’ampiezza a e b rispettivamente (le regioni con indice di rifrazione n
2
 
sono drogate con un mezzo attivo g). La freccia indica schematicamente un incremento della 
lunghezza del cammino ottico, dovuto alle riflessioni multiple dei fotoni nelle vicinanze degli 
estremi della banda proibita. 
  
Dowling, calcolando l’evoluzione temporale di un impulso gaussiano nella struttura 
precedente, ha verificato che nelle vicinanze degli estremi della banda proibita la 
velocità di gruppo dei fotoni tende a zero; questo comporta un aumento del cammino 
ottico nella struttura. Se è presente un mezzo attivo, a causa del maggiore tempo di 
interazione tra il campo che si propaga nella struttura ed il materiale attivo (per la 
Capitolo 1                                                                                         Il guadagno nelle strutture PBG ottiche 
  
  
 
7
diminuita velocità di gruppo), si verifica un incremento del guadagno. 
Quest’incremento di guadagno è simile a quello osservato per i laser DFB, in cui si 
sfrutta la formazione di onde stazionarie. Un laser DFB è costituito da migliaia di 
periodi con una bassa modulazione degli indici di rifrazione ed opera nel centro di una 
stretta banda fotonica proibita.  
Basandosi sui risultati precedenti, due gruppi di ricerca [3-4] hanno realizzato una 
struttura fotonica unidimensionale in grado di ottenere un guadagno alle frequenze 
ottiche, basandosi sull’uso di cristalli GaAs n-i-p-i come strati attivi con caratteristiche 
ottiche controllabili (l’indice di rifrazione è funzione della lunghezza d’onda λ: 
n(λ)=n
r
(λ)+ik(λ) ). La differenza fra i due gruppi sta nell’uso di materiali diversi e di 
spessori diversi per gli strati, nella realizzazione del cristallo: il gruppo di ricerca di 
Nefedov ha utilizzato GaAs(n-i-p-i)-Al
0.3
Ga
0.7
As, come mostrato in Fig. 2.1, mentre il 
gruppo di Smirnov ha utilizzato GaAs(n-i-p-i)-Ga
0.51
In
0.49
P.     
 
 
 
Fig.  2.1:  Struttura a banda fotonica proibita unidimensionale, con strati di cristallo GaAs n-i-p-i attivo. 
 
In alcune bande di frequenza, la parte immaginaria k dell’indice di rifrazione dello strato 
n-i-p-i diventa negativa per alti livelli dell’eccitazione; in questa situazione si verifica 
un’amplificazione del segnale luminoso (k dipende dalla lunghezza d’onda e dalla 
differenza ∆F tra i livelli di fermi). Nel modello utilizzato, si suppone che una fonte 
Capitolo 1                                                                                         Il guadagno nelle strutture PBG ottiche 
  
  
 
8
esterna ottica o elettrica ecciti uniformemente tutti gli strati attivi, permettendo il 
raggiungimento di un valore ∆F uguale per tutti gli strati di materiale attivo. Lo studio 
della struttura è diviso in due parti: nella prima si risolve il problema non lineare 
relativo alla propagazione del segnale luminoso di eccitazione nella struttura, con il 
metodo della matrice di trasferimento ottenendo ∆F e la parte reale ed immaginaria 
dell’indice di rifrazione degli strati n-i-p-i; nella seconda parte, si calcola il coefficiente 
di trasmissione del segnale luminoso da amplificare, nello stesso intervallo di frequenze. 
In Fig. 3.1, è riportato il coefficiente di trasmissione in funzione della lunghezza d’onda 
λ del segnale di prova e della lunghezza d’onda λ
p
 del segnale di eccitazione. 
 
 
Fig. 3.1: Superficie del coefficiente di trasmissione T, ottenuta in funzione di λ e λ
p
, per una struttura 
costituita da 40 periodi. La densità di potenza del segnale di eccitazione è pari a  2 MW/cm
2
; 
gli spessori sono pari a 78.5 nm per lo strato attivo e 87.8 nm per lo strato passivo [3].  
 
Sakoda [5] ha dimostrato la possibilità di sfruttare un fenomeno per 
l’amplificazione della luce più efficiente rispetto a quello descritto da Dowling. Questo 
meccanismo è chiamato “anomalia della velocità di gruppo” ed è peculiare dei cristalli 
fotonici bidimensionali e tridimensionali, mentre è assente in quelli unidimensionali. Il 
fenomeno consiste in una forte diminuzione della velocità di gruppo degli automodi 
Capitolo 1                                                                                         Il guadagno nelle strutture PBG ottiche 
  
  
 
9
elettromagnetici in intere bande dello spettro. Questo è evidente in Fig. 4.1, per i modi 
simmetrici e antisimmetrici (indicati dalla freccia) nella direzione Γ−X, per i quali si 
osserva una bassa velocità di gruppo lungo l’intero range di frequenze  ad essi relative. 
 
 
Fig. 4.1:  Struttura a bande, per un cristallo fotonico costituito da una serie di colonne circolari in aria, su 
reticolo quadrato, scavate in un materiale dielettrico con costante dielettrica pari a 2.1 [5]. Il 
raggio delle colonne d’aria è assunto pari a 0.28 volte la costante di reticolo. I modi simmetrici 
ed antisimmetrici, sono denotati da S ed A rispettivamente. 
 
Nello stesso articolo è presentata un’espressione analitica per la valutazione 
dell’amplificazione da emissioni stimolate, in un cristallo fotonico generico. 
Partendo dalle equazioni di Maxwell:  
 
                                      
 
                
{} (1.1)                                                                                   0),(4),()( =+⋅∇ trPtrEr exπε
(2.1)                                                                                                               0),( =⋅∇ trH
(3.1)                                                                                            ),(
1
),( trH
tc
trE
∂
∂
−=×∇
{} (4.1)                                                                  ),(4),()(
1
),( trPtrEr
tc
trH exπε +
∂
∂
=×∇
Capitolo 1                                                                                         Il guadagno nelle strutture PBG ottiche 
  
  
 
10
dove ε(r), assunta positiva e indipendente dalla frequenza, rappresenta la costante 
dielettrica dipendente dalla posizione nel reticolo fotonico, mentre c rappresenta la 
velocità della luce nel vuoto. P
ex
(r,t) è un campo di polarizzazione estrinseca che non è 
descritto da ε(r). La permeabilità magnetica è supposta unitaria. 
Eliminando il campo magnetico nelle equazioni precedenti, otteniamo un’equazione 
d’onda non omogenea per il campo elettrico E(r,t), espresso in termini di Q(r,t) 
(funzione d’onda): 
 
                         
con  
 
  
L’operatore differenziale Η è Hermittiano; per dimostrarlo si considera il prodotto 
interno di due funzioni vettoriali periodiche complesse Q
1
(r) e Q
2
(r): 
 
con V volume su cui le condizioni al contorno periodiche sono imposte. Applicando 
l’identità vettoriale: 
 
si ottiene: 
 
(5.1)                                                               ),(
)(
4
),(
1
2
2
2
2
2
2
trP
t
r
c
trQ
t
c
ex
∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Η+
∂
∂
−
ε
π
(6.1)                                                                                                  ),()(),( trErtrQ ε=
(7.1)                                                                    ),(
)(
1
)(
1
),(
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
×∇×∇=Η trQ
rr
trQ
εε
(8.1)                                                                                         )()(, 2121 rQrdrQQQ
V
⋅≡
∫
∗
(9.1)                                                                          )()()( BABABA ×∇⋅−⋅×∇=×⋅∇
Capitolo 1                                                                                         Il guadagno nelle strutture PBG ottiche 
  
  
 
11
 
con S si indica la superficie del volume V. Il primo integrale, nel lato destro 
dell’equazione, è l’integrale di superficie della componente normale dell’integrando; 
questo integrale di superficie è uguale a zero per le condizioni al contorno periodiche. 
Applicando nuovamente l’identità vettoriale (9.1) si ottiene: 
 
 
anche in questa relazione l’integrale di superficie è nullo. Come si verifica, Η è un 
operatore Hermittiano, perciò le sue autofunzioni formano un set completo di funzioni 
ortogonali. Queste autofunzioni sono classificate in onde trasversali )(
)(
rQ
T
kn e onde 
longitudinali ),(
)(
rQ
L
kn (k è un vettore d’onda nella prima zona di Brillouin del reticolo 
fotonico, mentre n è un’indice di banda) caratterizzate dalle proprietà sotto elencate. Per 
i modi trasversali: 
 
 
)(
)(
)(
)(
,
21
21
r
rQ
r
rQ
drQQ
V
εε
∫
⋅
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
×∇×∇≡Η
∗
∫
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
×
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
×∇=
∗
S
r
rQ
r
rQ
dS
)(
)(
)(
)( 21
εε
(10.1)                                                          
)(
)(
)(
)( 21
∫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
×∇⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
×∇+
∗
V
r
rQ
r
rQ
dr
εε
∫
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
×∇×=Η
∗
S
r
rQ
r
rQ
dSQQ
)(
)(
)(
)(
,
21
21
εε
∫
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
×∇×∇⋅+
∗
V
r
rQ
r
rQ
dr
)(
)(
)(
)( 21
εε
(11.1)                                                                                             , 21 QQ Η=
(12.1)                                                                                  )()(
)(
2
)(
)(
rQ
c
rQ
T
kn
kn
T
kn
T
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=Η
ω
Capitolo 1                                                                                         Il guadagno nelle strutture PBG ottiche 
  
  
 
12
  
con ,
)(T
knω  autofrequenza angolare del modo trasversale. Invece le autofrequenze 
angolari dei modi longitudinali 
)( L
knω  sono uguali a zero e la funzione d’onda ad essi 
relativa è caratterizzata dalla seguente relazione: 
 
 
Si osserva che 
)(T
knQ e 
)(L
knQ  non sono puramente trasversali o longitudinali, a causa 
della variazione spaziale di ε(r); i termini “trasversale” e “longitudinale” sono usati in 
analogia con il caso relativo ad ε(r) costante, in cui le equazioni (13.1) e (14.1) si 
riducono alle relazioni che definiscono i modi trasversali e longitudinali, 
rispettivamente. Le due funzioni d’onda sono così normalizzate: 
 
 
con α, β=T oppure L, e V volume del reticolo fotonico su cui le condizioni al contorno 
periodiche sono imposte. Si nota che )(
)(
rQkn
α
 e { },)()()(
)()(
rQrrE knkn
αα
ε≡  sono 
adimensionali per definizione. Per le autofunzioni vale la relazione di completezza: 
 
 
dove ⊗ denota un tensore i cui elementi sono forniti dal prodotto degli elementi dei due 
vettori jiij BABA =⊗ )(  mentre E  denota il tensore unitario. 
Grazie alle relazioni di completezza e ortonormalità, gli autovettori  
)(T
knQ e 
)(L
knQ  
possono essere usati come basi vettoriali per esprimere varie grandezze relative ai 
cristalli fotonici.  
Supponiamo piccola la densità dei centri ottici e assumiamo che l’inversione di 
popolazione di atomi o molecole droganti, presenti nel cristallo fotonico, sia ottenuta 
per mezzo di una fonte di eccitazione ottica esterna. Quando un automodo unitario 
{ } (13.1)                                                                                               0)()(
)(
=⋅∇ rQr
T
knε
(14.1)                                                                                         0)(
)(
1
)(
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
×∇ rQ
r
L
kn
ε
(15.1)                                                                       )()( ''
)(
''
)(
∫
=⋅
∗
V
nnkknkkn VrQrdrQ δδδαβ
βα
(16.1)                          )'()'()()'()(
)()()()(
∑∑
−=⊗+⊗
∗∗
kn kn
L
kn
L
kn
T
kn
T
kn rrEVrQrQrQrQ δ
Capitolo 1                                                                                         Il guadagno nelle strutture PBG ottiche 
  
  
 
13
relativo al campo elettrico E
κµ
(r), con k vettore d’onda nella zona di Brillouin e µ indice 
di banda (l’indice di banda n viene rinominato con µ per evitare di confonderlo con 
n(r)) si propaga nel cristallo fotonico, induce un campo di polarizzazione estrinseca 
P
ex
(r,t) dovuto alla presenza di atomi droganti: 
 
 
Nella relazione precedente, α(ω) rappresenta la polarizzabilità degli atomi droganti ed è 
a parte immaginaria negativa a causa dell’inversione di popolazione; n(r), che 
rappresenta la densità degli atomi droganti, è supposta piccola (questo permette di 
trascurare le correzioni locali del campo) e con la stessa periodicità del cristallo fotonico 
(r rappresenta il vettore posizione). Nei calcoli, per evitare di ottenere una divergenza 
non fisica, si pone ω uguale all’autofrequenza angolare ω
κµ 
. 
Dall’equazione (5.1), si ricava un’espressione per il campo elettrico E
ex
(r,t), indotto 
dalla polarizzazione estrinseca P
ex
(r,t). Definendo una funzione (tensore) di Green 
ritardata G(r,r’,t), si ottiene: 
 
   
con 
 
(19.1)                                                                                  'per          0)',',( ttttrrG <=−     
 
Si può ottenere la soluzione dell’equazione (5.1) dall’integrale di convoluzione fra la 
funzione di Green ed il termine presente nel membro di destra della (5.1): 
 
 
 
 
 
 
(17.1)                                                                                   )()()(),(
ti
kex erErntrP
ω
µωα
−
≈
(18.1)                                                     )'()'()',',(
1
2
2
2
ttrrEttrrG
tc
−−=−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Η+
∂
∂
− δδ