Studio del processo doppio inclusivo p↑(↓) + p → Jet + π + X

4 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE
rema di fattorizzazione e` stata dimostrata soltanto per processi Drell-Yan2,
per processi di tipo e+e− → AB [1] e per processi di scattering semi-inclusivi
profondamente anelastici in particolari condizioni cinematiche [2]. Quindi
l’uso del teorema in questo lavoro di tesi va visto come un ragionevole An-
satz, cioe` si suppone che la sua validita` sia estendibile anche a processi del
tipo (A, SA) + (B, SB) → C + d +X . Se l’accordo fra teoria e esperimenti e`
soddisfacente, come sin’ora e` sempre stato, allora l’Ansatz puo` essere consi-
derato accettabile.
Durante la trattazione si fa spesso riferimento al lavoro in Ref. [3], perche´
questa tesi affronta il processo doppio inclusivo con lo stesso formalismo e
con la stessa metodologia seguiti in quell’articolo3.
Di seguito verranno illustrati in breve alcuni concetti relativi al formalismo
di elicita` e all’interpretazione che le PDF e le FF acquistano nel suddetto
formalismo; seguira` una piccola panoramica storica contenente alcuni risul-
tati di rilievo sull’asimmetria di spin, nei capitoli secondo e terzo si affrontera`
l’analisi della sezione d’urto per il processo doppio inclusivo in esame, rispet-
tivamente nel caso non polarizzato e in quello polarizzato; successivamente
nel capitolo quarto verranno illustrate alcune predizioni numeriche fatte sull’
asimmetria di spin singolo per il processo (A, SA) + (B, SB) → C + d + X .
Infine nelle appendici verranno trattati alcuni dettagli di calcolo utili ai fini
della comprensione del lavoro affrontato in questa tesi.
1.1 Cenni sul formalismo di elicita`
Dal momento che la trattazione affrontata in questo lavoro di tesi si basa sul
formalismo di elicita`, in questa sezione verranno illustrati brevemente alcuni
concetti chiave di questo formalismo, come la definizione di stato di elicita`,
di ampiezza di elicita` e della matrice densita` di elicita`.
I vantaggi di usare questo formalismo essenzialmente sono i seguenti:
• L’elicita` di una particella e` la componente dello spin lungo la sua dire-
zione di moto e come tale essa assume un significato chiaro e univoco
in tutti i sistemi di riferimento.
• Ogni stato di spin puo` essere scritto come combinazione lineare di
autostati di elicita`.
• Gli stati di elicita` si trasformano in maniera semplice per cambiamenti
di sistema di riferimento. Per esempio nel caso di particelle a massa
2
I processi di tipo Drell-Yan sono quei processi in cui una coppia leptonica l+l−
viene prodotta in seguito alla annichilazione quark-antiquark qq¯ in una collisione
protone-protone.
3Dove si analizza il processo (A,SA) + (B,SB) → C + X .
1.1. CENNI SUL FORMALISMO DI ELICITA` 5
nulla, si dimostra che in seguito ad una trasformazione del gruppo di
Lorentz ( boost, rotazione . . . ), uno stato di elicita` acquista una fase δ
che dipende dagli indici di elicita` e dai parametri della trasformazione
( angoli di rotazione, velocita` del boost . . . ).
1.1.1 Stati di elicita`
Si consideri il gruppo di Poincare´, detto anche gruppo non omogeneo di
Lorentz. Tale gruppo possiede dieci generatori:
• quattro generatori rappresentati dal quadrimpulso Pˆ µ di una particella,
che generano le traslazioni spaziali (Pˆ i) e temporali (Pˆ 0);
• tre generatori rappresentati dal trivettore Jˆi = 12εijkMˆ jk che generano
le rotazioni spaziali;
• tre generatori rappresentati dal trivettore Kˆi = Mˆ0i che generano i
boost di Lorentz.
Per definire Jˆ i e Kˆi si fa uso del tensore antisimmetrico Mˆµν contenente i
sei generatori del gruppo omogeneo di Lorentz [4]. Con questi generatori
e` possibile costruire due invarianti di Lorentz, detti operatori di Casimir,
che permettono di definire uno stato quantistico. Il primo e` la norma del
quadrimpulso Pˆ µPˆµ che ha autovalore pari ad m2 (quadrato della massa
della particella) su stati di singola particella libera. Il secondo invariante
e` la norma dell’operatore di Pauli-Lubanski, detto anche pseudovettore di
polarizzazione, cosi definito:
Wˆσ = 1
2
εµνρσMˆµνPˆ ρ , (1.1)
dove εµνρσ e` il tensore di Levi-Civita (ε0123 = 1).
Questo operatore soddisfa le seguenti relazioni:
Wˆ µPˆµ = 0 , (1.2)
[
Wˆµ, Pˆλ
]
= 0 , (1.3)
[
Wˆµ, Mˆλρ
]
= i(gµρWˆλ − gλµWˆρ) , (1.4)
[
Wˆµ, Wˆλ
]
= iεµλρσWˆρPˆ σ . (1.5)
Di seguito verra` illustrata l’azione dell’operatore di Pauli-Lubanski su stati di
singola particella con massa m e su stati a singola particella priva di massa4.
4Per approfondimenti si consulti la Ref. [5].
6 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE
1. Stati di singola particella massiva
Si consideri l’azione di
[
Wˆj , Wˆk
]
su uno stato in cui la particella
di massa m e` a riposo ( P λ = (m, 0) ):
[
Wˆj , Wˆk
]
= iεjkρ0Wˆ ρm = imεjklWˆ l . (1.6)
Dal momento che m e` diversa da zero per ipotesi, si puo` definire
l’operatore
sˆi =
1
mWˆi ,
che soddisfa la seguente relazione di commutazione5:
[sˆj, sˆk] = iεjklsˆl .
Questa e` la nota relazione di commutazione degli operatori di spin
nel caso non relativistico. Alla luce di cio` si vede facilmente che la
norma Wˆ µWˆµ e` un invariante con autovalore m2s(s + 1), dove s e` il
numero quantico di spin. Si noti come nel caso considerato l’operatore
sˆ coincide con l’operatore di momento angolare totale Jˆ :
Usando la (1.1) si ha:
Wˆσ = 1
2
εµνρσMˆµνPˆ ρ = 1
2
εµν0σMˆµνPˆ 0 = m
2
εµν0σMˆµν .
Analizzando separatamente la parte temporale e spaziale di
questa quantita`, si ha:
Wˆ0 = m
2
εµν00Mˆµν = 0 ,
Wˆi = m
2
εµν0iMˆµν = m
2
εijkMˆ jk ;
dove nell’ultimo passaggio si sono usate le proprieta` di anti-
simmetria e di invarianza per permutazioni cicliche del ten-
sore di Levi-Civita. Dalla definizione del momento angolare
totale Jˆi = 12εijkMˆ jk si vede chiaramente che Wˆi = mJˆi e che
quindi nel caso di stati a singola particella massiva a riposo
(detti stati standard), sˆi ≡ Jˆi.
A questo punto, indicando con λ l’autovalore dell’operatore Jz sullo
stato standard, lo stesso stato puo` venir scritto con la notazione di
Dirac nel seguente modo:
|p˙ ;λ〉 ,
5Si noti come questa relazione discende banalmente dalla (1.6).
1.1. CENNI SUL FORMALISMO DI ELICITA` 7
e si ha6:
Pˆ µ |p˙ ;λ〉 = p˙ |p˙ ;λ〉 ,
Wˆ µWˆµ
m2 |p˙ ;λ〉 = Jˆ
2
|p˙ ;λ〉 = sˆ2 |p˙ ;λ〉 = s(s + 1) |p˙ ;λ〉 ,
sˆz |p˙ ;λ〉 = Jˆz |p˙ ;λ〉 = λ |p˙ ;λ〉 = sz |p˙ ;λ〉 .
Per ottenere il corrispondente stato con generico tri-impulso p =
(p, θ, φ), e` necessario applicare allo stato standard una trasformazione
di Lorentz (boost+rotazione) [6] e cos`ı si ottiene:
|p ;λ〉 = U [r(φ, θ, 0)] |pzˆ ;λ〉 = U [h(p)] |p˙ ;λ〉
dove h(p) = r(φ, θ, 0)lz(v), con lz(v) boost di Lorentz lungo l’asse z e
r(φ, θ, 0) rotazione di un angolo θ e φ rispettivamente attorno all’asse
y e z. Lo stato cos`ı ottenuto e` chiamato stato di elicita` della particella
di massa m, in quanto si puo` mostrare che e` autostato dell’operatore
di elicita` :
Jˆ · Pˆ
|Pˆ |
|p ;λ〉 = λ |p ;λ〉 ,
dove λ e` detto indice di elicita`.
Si noti come per uno stato a singola particella con massa m si hanno
(2s + 1) valori dell’indice di elicita`.
2. Stati di particella non massiva
In questo caso nel definire lo stato standard non e` possibile usa-
re il sistema di riferimento in cui la particella e` a riposo, in quanto
dalla relativita` speciale si sa che non si puo` definire un sistema di
riferimento di quiete per una particella priva di massa.
In alternativa si definisce stato standard quello dove la particella si
muove lungo il semiasse positivo delle z con quadrimpulso dato da:
pµstd = (pstd, 0, 0, pstd) .
In maniera del tutto analoga a quanto fatto per le particelle massive, si
trova [6] che l’operatore di Pauli-Lubanski agendo sullo stato standard
ha come autovalore il modulo quadro dell’indice di elicita` λ:
Wˆ µWˆµ
pstd
|pstd ;λ〉 = |λ|2 |pstd ;λ〉 , (1.7)
e analogamente a quanto gia` visto lo stato con energia e impulso gene-
rici si ottiene dallo stato standard per mezzo di una trasformazione di
Lorentz (boost+rotazione):
|p ;λ〉 = U [h(p)] |pstd ;λ〉
6Per definizione di stato standard.
8 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE
con h(p) = r(φ, θ, 0)lz(v).
Si noti come nel caso non massivo e` possibile associare ad uno stato
quantistico due soli indici di elicita`.
1.1.2 Ampiezze di elicita`
Si deve ora definire il concetto di stato di elicita` a due particelle perche´ que-
sto genere di stati compare nelle ampiezze di scattering del tipo ab → cd
considerate in questo lavoro di tesi.
Si consideri una particella a con indice di elicita` λa e, con momento in coor-
dinate polari dato da pa = (p, 0, 0), che si muove lungo la direzione zˆ; e una
particella b con elicita` λb ed in moto lungo la direzione opposta con impulso
pb = (p, pi, pi). Lo stato di elicita` composto dalle due particelle si definisce
come il prodotto dei due singoli stati di elicita` delle particelle a e b:
|p, 0, 0 ;λa, λb〉 ≡ |p, 0, 0 ;λa〉 ⊗ |p, pi, pi ;λb〉 .
Si noti come
Jz |p, 0, 0 ;λa, λb〉 = (λa − λb) |p, 0, 0 ;λa, λb〉 .
Piu` in generale, se la particella a ha momento generico p = (p, θ, φ), si ha:
|p, θ, φ ;λa, λb〉 = U [r(φ, θ, 0)] |pzˆ ;λa, λb〉 = |p ;λa, λb〉 =
= |p, θ, φ ;λa〉 ⊗ |p, pi − θ, φ + pi ;λb〉 .
In questo caso lo stato ha momento angolare totale lungo la direzione p =
(p, θ, φ) e pari a (λa − λb).
A questo punto si hanno sufficienti elementi per introdurre il concetto di
ampiezza di elicita` di scattering. Si consideri il processo di scattering ab → cd
nel sistema di riferimento del centro di massa e sia pi = (pi, 0, 0) l’impulso
iniziale lungo zˆ della particella a e pf = (pf , θ, φ) l’impulso della particella c;
allora l’ampiezza di elicita` di scattering per il processo ab → cd si definisce
come:
Mˆλc,λd;λa,λb(θ, φ) = 〈pf , θ, φ ;λc, λd| Sˆ |pi, 0, 0 ;λa, λb〉 ,
dove Sˆ e` l’operatore di scattering dell’interazione considerata. Nel caso del-
le interazioni forti e elettromagnetiche (le sole che vengono considerate in
questa trattazione) l’operatore Sˆ ha la proprieta` di essere invariante sia per
trasformazioni di parita` (trasformazioni di tipo P) che per inversioni tempo-
rali (trasformazioni di tipo T ). Come conseguenza di questo fatto e` intuitivo
capire che le ampiezze di elicita` di scattering godono di alcune proprieta` di
simmetria [6]: si dimostra che e` possibile fattorizzare la dipendenza azimutale
dell’ampiezza di scattering:
Mˆλc,λd;λa,λb(θ, φ) = eiφ(λa−λb) Mˆλc,λd;λa,λb(θ) .