Studio del campo di velocità di un getto circolare tramite tecnica Stereo PIV

con leggi note (vedere 1.2.8 e seguenti) lungo l’asse del getto (x) instaurando la cosidetta zona di 
flusso completamente stabilizzato. (Fig: 1.2.1) In tale zona si può vedere come, in ciascuna 
sezione, la velocità assiale u decresce con continuità da un massimo u
m
in corrispondenza 
dell’asse fino a zero a grande distanza radiale r dall’asse; caratteristica peculiare di tali profili è 
la loro autosimilarità, ossia adimensionalizzando la velocità della sezione data rispetto u
m
 e la 
coordinata radiale r rispetto a b, dove b è il valore di r in cui u = u
m
/2, i profili di velocità (u/u
m
-
r/b) si sovrappongono (osservazioni di Trupel 1926). I dati di Fig. 1.2.2 sono tratti dalle 
osservazioni di Trupel (1926), si nota l’autosimilarità dei profili di velocità assiale, in seguito
confermati dagli esperimenti di Corrsin (1946), Hinze e Zijnen(1949), Albertson et al (1950). 
Fig: 1.2.1: Schema del getto libero assialsimmetrico (Rajaratnam 1976).
Fig. 1.2.2: Osservazioni di Trupel (1926): profili di velocità per il getto libero assialsimmetrico (Abramovich 1963).
7
Le equazioni del moto che descrivono il getto si possono ricavare a partire dalle equazioni di
Reynolds, per il caso incompressibile, scritte in coordinate cilindriche (r ,
I
, z) con z coordinata
assiale del getto, nell’ipotesi di assialsimmetria con 0 GIG (Schlichting 1968 e Loitsyanskii 
1966).
¸
¸
¸
¹
·
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¨
©
§

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¸
¹
·
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¨
©
§
 
r
v
r
v
vv
z
v
r
z
v
r
v
r
v
rr
v
r
p
r
v
z
v
v
r
v
v
r
zrr
rrrrr
z
r
r
2
'
2
'
''
2
'
2
2
22
2
2
11
I
I
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
X
G
G
UG
G
G
G
 (1.2.1) 
¸
¸
¹
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¨
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§

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¹
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©
§
 
r
vv
vv
z
vv
r
z
v
r
v
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v
rr
v
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vv
z
v
v
r
v
v
r
zr
r
zr
''
''''
2
2
22
2
2
1
I
II
IIIIIII
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
X
G
G
G
G
(1.2.2)
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¸
¹
·
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¨
©
§

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¸
¹
·
¨
¨
©
§
 
r
vv
v
z
vv
rz
v
r
v
rr
v
z
p
z
v
v
r
v
v
zr
zzr
zzzz
z
z
r
''
2
'''
2
2
2
2
2
11
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
X
G
G
UG
G
G
G
 (1.2.3) 
0 
zr
vr
z
vr
r G
G
G
G
(1.2.4)
Dove v
r
 , v
I
, v
z
 sono le velocità medie e le v’
r
 , v’
I
, v’
z
 sono le rispettive velocità di fluttuazione. 
Per il getto circolare, nell’ipotesi di assenza di swirl, si ha v
I
 =0; inoltre si può applicare 
l’approssimazione di strato limite, finché lo stesso ha un ingombro trasversale ridotto, ossia: v
z
>> v
r
  e i gradienti in direzione radiale sono molto maggiori di quelli in direzione assiale. 
Per numeri di Reynolds superiori a qualche migliaio gli stress viscosi sono trascurabili rispetto i 
corrispondenti stress di Reynolds e si può assumere che gli stress normali sia in direzione radiale 
che angolare siano circa uguali. Sotto tali ipotesi e aggiungendo che nella maggior parte dei casi 
pratici vale l’ipotesi di assenza di gradienti di pressione 0 dzdp , le precedenti equazioni
portano a scrivere: 
8
rr
rr
v
v
z
v
v
z
r
z
z
G
WG
UG
G
G
G 11
  (1.2.5)
0 
rz
vr
r
vr
z G
G
G
G
(1.2.6)
Dove si è definito 
''
zr
vvUW  , e cambiando notazione nelle precedenti equazioni con u=v
z
 , 
v=v
r
 , x=z. Per il getto assialsimmetrico che si diffonde in ambiente stagnante in assenza di 
gradienti di pressione il momento integrale in direzione assiale si conserva, infatti l’equazione 
1.2.5 moltiplicata per ‘r e integrata lungo r tra r = 0 e f r  porta a : 
02
2
0
 
³
f
drur
x
US
G
G
(1.2.7)
Da ciò il momento integrale in direzione assiale si conserva. Ponendo ora: 
¸
¹
·
¨
©
§
 
b
r
f
u
u
m
(1.2.8)
Ipotizzando che:  e  (Rajaratnam 1976) e sostituendo nella 1.2.7: 
p
m
xu v
q
xbv
02
2
0
22
 
¸
¹
·
¨
©
§
³
f
b
r
df
b
r
bu
x
m
SU
G
G
(1.2.9)
Poiché l’integrale nella 1.2.9 è costante, si ottiene: ; da questa discende: 
022
xbu
m
v 022   qp
cioè . Per determinare tali esponenti si ha bisogno di un’ulteriore equazione che si può 
ricavare considerando la similarità o dall’equazione integrale dell’energia oppure dalle ipotesi di 
entrainment, ossia la cattura di fluido ambiente da parte del getto. Definendo Q
0  qp
0
 il flusso
dall’ugello e Q quello del getto in ogni sezione x, è noto (Ricou e Spalding 1961) come il
rapporto risulti maggiore di uno e cresca con x; vale a dire che il getto cattura il fluido
circostante. È possibile scrivere allora:
0
/QQ
³
f
 
0
2 drurQ S (1.2.10)
9
evbdrur
xx
Q
³
f
  
0
22 SS
G
G
G
G
(1.2.11)
avendo chiamato con b il margine del getto dove u è prossima allo zero e v
e
 la velocità di
entrainment. Da considerazioni dimensionali si può scrivere 
mee
uv D  e 
q
xb v , quindi 
sostituendo nella 1.2.11 si ricava che: 
0
2
x
vb
bu
x
e
m
v
G
G
(1.2.12)
Dunque andando a derivare e sostituendo si otterrà per gli esponenti: 012   pqqp .
Da questa  e quindi anche1 q 1 p ; trovati gli esponenti le relazioni sono: 
xCb
2
 (1.2.13)
mentre da considerazioni dimensionali:
2
0
x
M
u
m
U
v (1.2.14)
sostituendo nella precedente  , con d diametro del getto, si ottiene: 
2
0
2
00
UrM US 
dx
C
U
u
m
2
1
0
 (1.2.15)
Ricavati tali andamenti si analizzano ora tre tipi di soluzione analitica che calcolano i profili di 
velocità u e v in ogni sezione. 
10
1.3 Soluzione alla Tollmien 
Al fine di ottenere la distribuzione di velocità si ha la necessità di trovare una terza equazione,
per ottenere un sistema di equazioni (1.2.5 e 1.2.6) ben posto nelle incognite ( u, v, “ ). Nella
soluzione alla Tollmien (Rajaratnam 1976) un’ulteriore relazione è costruita sulla lunghezza di 
mescolamento di Prandtl per W , sforzo turbolento di Prandtl, scritto come:
¸
¹
·
¨
©
§
 
r
U
r
U
l
G
G
G
G
UW
2
(1.3.1)
dove l, la lunghezza di mescolamento di Prandtl, è un parametro dimensionale empirico che lega
le variazioni delle velocità di fluttuazione ai gradienti radiali di velocità media secondo la 
relazione  rulhu GG
1
' , che descrive il trasferimento di quantità di moto tra strati di fluido
posti ad una distanza radiale pari a r=l. Prandtl inoltre ipotizza che rl v  (Mattioli 1988). 
Da considerazioni dimensionali è possibile scrivere xCxCeqbl   ˜  
2
)13.2.1.( EEE  con C 
costante da determinare. Si può vedere che: 
If
xa
r
f
b
r
f
u
u
m
 
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
 
¸
¹
·
¨
©
§
 
1
0
(1.3.2)
avendo posto xar I e cambiando costante . Definendo, nell’ipotesi di flusso 
bidimensionale, la funzione di corrente di Stokes 
23
Ca  
\  come:
rr
u
G
\G1
 (1.3.3)
xr
v
G
\G1
 (1.3.4)
11
sostituendo nella 1.3.3 la 1.3.2 ed integrando da 0 a r e da 0 a I  si ottiene:
I\ Fxau
m
22
 . (1.3.5)
Avendo trovato un’espressione per \ , di conseguenza: 
 Fxau
x
rv
m
22
G

G
 (1.3.6)
avendo dalla 1.2.15 xnu
m
 , con n parametro dimensionale indipendente da x, sostituendo in 
1.3.6 si ottiene: 
 xFan
x
rv
2
G

G
 . (1.3.7)
Svolgendo la derivata e semplificando si arriva a: 
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
 
I
F
F
x
na
v
'
(1.3.8)
'
1
F
x
n
u
I
 (1.3.9)
2
2
'"
2
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§

¸
¹
·
¨
©
§
 
II
UW
FF
x
n
a (1.3.10)
Sostituendo le precedenti espressioni nella 1.2.5 e semplificando il tutto:
'
2
'
"
FF
F
F  
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§

I
(1.3.11)
12
Imponendo le condizioni al contorno: 


 0;0;0;;
00;0;0;0;0
00;1;;0;0
''
'
''
 f  f f 
     
     
FFur
FFFvr
FFuur
m
II
II
II
(1.3.12)
si ottengono le soluzioni per gli andamenti di u/u
m
 e v/u
m
 in funzione di r/b. (Figg. 1.3.1 e 1.3.2)
La costante caratteristica dell’andamento, determinata per le osservazioni di Trupel (1926), sarà 
24.1 axb .
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
r/b
u/um
Fig. 1.3.1: Soluzione di Tollmien per u/u
m
.
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
r/b
v/um
Fig. 1.3.2: Soluzione di Tollmien per v/u
m
.
13
Dalla conservazione del momento integrale si ricava: 
2
0
2
0
0
2
2 Urudrr USUS  
³
f
; (1.3.13)
andando a sostituire in questa la 1.3.9 e svolgendo le opportune semplificazioni, trovando da dati
sperimentali che: 536.0
'
0
2
 
³
f
I
I
d
F
, si ottiene che: xarUu
m 00
965.0 .
1.4 Soluzione tipo Goertler 
In tale tipo di soluzione viene introdotto il modello di viscosità turbolenta di Prandt: esprimendo
lo sforzo tangenziale nel nostro caso come rU GGHPW  e confrontando con la 1.3.1 si ha 
che la viscosità turbolenta di Prandtl è rUl GGUH
2
 (Anderson 1991); in primo luogo va
definito xrV[  , con V costante di comodo, ottenendo [fuu
m
  (Rajaratnam 1976).
Considerando la funzione di corrente di Stokes: 
fud
x
drur
m
r
[
V
[
\
³³
  
0
2
2
0
(1.4.1)
avendo xnu
m
  (vedere 1.2.12), con xrUCn
001
  allora:
[
V
[[
V
\
[
F
nx
df
nx
2
0
2
  
³
. (1.4.2)
Dalle 1.3.3 e 1.3.4 si ottiene: 
[
'
F
x
n
u  (1.4.3)
14
¸¸
¹
·
¨
¨
©
§
 
[V
F
F
x
n
v
'
1
(1.4.4)
con sforzi tangenziali:
r
u
G
G
HUW  (1.4.5)
essendo buk
m
 H . Andando a sostituire l’espressione di u
m
 e b=C
2
x si trova che 
2
Cnk H ;
come si nota è indipendente da x, questo significa che il getto turbolento assialsimmetrico, con
tale modello di stress tangenziali, ha viscosità turbolenta costante e questo rende la soluzione 
simile a quella del getto circolare laminare, per il quale la viscosità turbolenta è nulla, con la
differenza che in questo caso XXH dUCkC
021
  e si ricava: 
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
 
[G
G
UW
'
2
F
x
n
r
knC (1.4.6)
Andando a sostituire tali espressioni nell’equazione del moto si ottiene:
"''
FFFF [ (1.4.7)
con il parametro 
2
1 kC V . L’equazione 1.4.7 è la stessa trovata da Schlichting (1933) per il
getto circolare laminare. Le condizioni al contorno sono: 


 0;0;0;
000;00;0
00;1;0;0
''
'
''
 f  f f 
     
     
FFuor
FoFFvor
FFuuor
m
[[
[[
[[
(1.4.8)
e la 1.4.7 può essere così risolta dando come soluzione: 
2
2
125.01
5.0
[
[

 F ; (1.4.9)
15