CAPITOLO 1
Torsione di strutture prismatiche laminari
Lo studio sperimentale riportato nel presente lavoro comporta l’indagine di fenomeni al cui
verificarsi concorre in modo imprescindibile un elemento prismatico laminare nella
condizione di pura torsione dinamica. Ai fini della definizione del contesto teorico a cui
riferire l’interpretazione dei risultati conseguiti, qui di seguito sono richiamati e trattati gli
argomenti riguardanti la torsione statica e dinamica di tale elemento. Oltre alla trattazione dei
modi di vibrazione torsionale in condizione di oscillazioni libere e forzate, viene evidenziato
un metodo di eccitazione della torsione che ha origine direttamente da una porzione di
superficie della struttura laminare. All’uopo viene presentato il progetto di un elemento
planare, ideato e realizzato presso il Dipartimento di Fisica di Modena, in grado di mettersi in
uno stato di vibrazione torsionale.
1.1 Torsione statica
Il termine torsione indica uno stato di stress che si instaura in un elemento elastico quando
esso è sollecitato da un momento torcente. Nel caso di pura torsione e per piccole
sollecitazioni, nei punti di una qualunque sezione perpendicolare alla direzione di tale
momento, è presente la sola componente tangenziale (o di shear) dello stress. Ciò induce
nell’elemento una deformazione che si manifesta con uno spostamento angolare della sezione
rispetto a quella ad essa adiacente.
In Figura 1.1 (a) è rappresentata una struttura prismatica, una dimensione della quale
(lunghezza) è molto maggiore delle altre due, sottoposta a torsione dall’azione di una coppia
di forze agente ad una delle due estremità mentre l’altra è bloccata da un vincolo. In un
qualunque punto x dell’asse longitudinale la corrispondente sezione trasversale risulta ruotata,
rispetto a quella nel punto di vincolo, di un angolo θ che, nell’ambito di validità della teoria
lineare della torsione, è espresso dalla relazione
[3,4]
:
Capitolo 1 8
x
x δ
δθ
θ = con . Cost
x
=
δ
δθ
(1.1)
Essa indica una dipendenza lineare crescente dell’angolo di torsione dalla posizione lungo
l’asse che assume valori variabili ad un “passo” (twist rate) costante il cui ammontare è
definito in base alle proprietà elastiche del materiale costituente l’elemento oltre che dalle
sue dimensioni geometriche e dall’entità del momento torcente.
La Figura 1.1(b) mostra la distribuzione dello stress nelle sezioni ottenute con piani paralleli
e perpendicolari all’asse dell’elemento prismatico in corrispondenza di uno stato di torsione
pura. Nei punti delle superfici esterne lo stress assume un valore massimo che gradualmente
diminuisce nell’interno fino ad annullarsi sull’asse. Diversamente dal caso di un elemento
strutturale cilindrico in condizione di pura torsione in cui lo stress di taglio, oltre che ad
essere massimo, risulta anche costante in tutti i suoi punti, per un elemento a sezione
rettangolare gli stress superficiali variano invece il loro ammontare da zero, negli spigoli,
fino ad un massimo (τ
max
e τ'
max
) nel punto medio delle superfici. La Figura 1.1(b) si
riferisce ad un elemento la cui larghezza è molto maggiore dello spessore, una situazione,
questa, che è caratteristica delle strutture prismatiche laminari. Va inoltre sottolineato che per
tali elementi, in pura torsione, la superficie esterna è il luogo dei punti dove solo le
componenti di stress ad essa parallele sono presenti.
1.1 Torsione statica 9
Figura 1.1: (a) Stato deformato di una struttura laminare a sezione rettangolare costante
in configurazione di cantilever beam con la rappresentazione della sezione
trasversale in presenza di torsione
(b) Distribuzione degli stress sulla sezione trasversale. A, B, C, D indicano
punti dove gli stress τ e τ’ sono nulli mentre E, F, G, H quelli appartenenti
alle superfici, nel senso della larghezza e dello spessore, in cui questi stress
assumono il loro massimo valore (τ
max
e τ’
max
).
Lo stato di stress τ che si instaura in ogni punto della sezione trasversale, in seguito
all’esistenza di un momento torcente M esternamente applicato, dipende linearmente dalla
distanza del punto dall’asse dell’elemento secondo la relazione:
x
Gr
δ
δθ
τ = (1.2)
dove G è il modulo di taglio (o di rigidità) del materiale ed r la distanza del punto considerato
dall’asse dell’elemento laminare.
Nel caso di una struttura laminare di spessore trascurabile rispetto alla larghezza lo stress
massimo sulle superfici laterali (τ'
max
) risulta ininfluente nei confronti di quello presente nei
punti E ed F (τ
max
) (vedere Figura 1.1(b)).
Nei limiti della risposta elastica, imponendo le condizioni di equilibrio, si può esprimere il
momento torcente M
con la seguente espressione
[5]
:
Capitolo 1 10
P
I
x
G M
δ
δϑ
= (1.3)
dove I
P
è il momento di inerzia polare della sezione trasversale in esame rispetto al
baricentro, il cui ammontare dipende dalla forma di tale sezione.
L’angolo θ di cui è ruotata la sezione trasversale posizionata all’estremo libero, distante L dal
vincolo, risulta espresso come, facendo riferimento all’equazione precedente:
M
GI
L
L
x
P
= =
δ
δϑ
ϑ (1.4)
da cui:
ϑ ϑ
t
P
c
L
GI
M = = (1.5)
dove c
t
è la costante di rigidità torsionale. Alla definizione del valore di questa costante, nel
caso della lamina a sezione rettangolare, concorre il rapporto tra la larghezza e lo spessore.
1.2 Torsione dinamica: oscillazioni libere e
forzate
A seguito della rimozione del momento torcente che ha allontanato l’elemento elastico
laminare dalla condizione di equilibrio, esso risulta oscillare liberamente sotto l’azione di
forze elastiche, inerziali e dissipative. Nel caso ideale di fenomeni di smorzamento
trascurabili l’equazione del moto di una sezione trasversale, alla distanza generica x dal
vincolo, è rappresentata dalla seguente equazione che descrive la propagazione di un’onda:
( ) ( )
0
, ,
2
2
2
2
= −
x
t x
C
t
t x
I
t P
δ
θ δ
δ
θ δ
ρ (1.6)
1.2 Torsione dinamica: oscillazioni libere e forzate 11
dove ρ, I
P
, t e C
t
(= c
t
L) sono, nell’ordine, la densità del materiale, il momento polare della
sezione, il tempo, e il modulo di rigidità torsionale (dipendente dal modulo di taglio G e dalla
densità).
La precedente equazione può essere riscritta nella forma della propagazione ondosa:
( ) ( )
2
2
2
2
2
, ,
x
t x
v
t
t x
δ
θ δ
δ
θ δ
= (1.7)
dove v è la velocità di fase della propagazione torsionale.
Essa, nel caso di una lamina a sezione rettangolare è espressa come:
ρ ρ
G
w
t
I
C
v
P
t
2
= = (1.8)
con t e w rispettivamente spessore e larghezza dell’elemento.
Soluzioni di tipo armonico e/o una loro combinazione lineare, soddisfano l’equazione (1.7).
Una loro possibile forma è rappresentata dalla seguente funzione:
( )
+ +
− +
+ +
− = x ft x ft x ft x ft t x
λ
π
π
λ
π
π
λ
π
π
λ
π
π θ θ
2
2 cos
2
2 cos
2
2 sin
2
2 sin ,
0
(1.9)
dove θ
0
è il massimo spostamento angolare della sezione, f la frequenza di oscillazione e λ la
periodicità spaziale dell’onda descritta dalla funzione θ(x,t).
Soluzioni particolari possono essere ottenute una volta fissate le condizioni al contorno che,
nel caso di vibrazioni meccaniche, sono rappresentate dai vincoli imposti all’oscillazione
stessa. Per un elemento laminare vincolato come un cantilever beam in vibrazione torsionale,
la soluzione generale dell’equazione (1.7) soddisfa le specifiche condizioni al contorno:
( ) 0 , 0 = t θ
( )
0
,
,
=
∀ = t L x
x
y x
δ
δθ
(1.10)
quando la lunghezza d’onda λ assume valori discreti e ben determinati.
Capitolo 1 12
In particolare:
n
L
n
4
= λ dove: n = 1, 3, 5, 7… (1.11)
dove n è un intero dispari che identifica ogni vibrazione di stato stazionario (modo) ed L la
lunghezza della lamina. In queste condizioni si producono onde stazionarie dall’interferenza
di perturbazioni della stessa frequenza che si propagano in opposte direzioni lungo
l’elemento. Quando entrambi gli estremi vengono vincolati le lunghezze d’onda associate ai
modi di vibrazione sono caratterizzate da valori pari dell’intero n.
Ai valore permessi di λ corrispondono le frequenze date dalla relazione:
P
t
n
n
I
C
L
n v
f
ρ λ 4
= = (1.12)
dove f
n
e λ
n
individuano le condizioni stazionarie che si possono instaurare, cioè i modi
propri di vibrazione della lamina. Le oscillazioni libere si instaurano a ben determinate
frequenze: quelle che caratterizzano i modi propri di vibrazione della lamina
all’individuazione delle quali contribuiscono le proprietà elastiche ed inerziali insieme con le
condizioni al contorno. In Figura 1.2 sono mostrati alcuni modi corrispondenti alle due
condizioni di vincolo della lamina quando essa oscilla liberamente.
Figura 1.2: Onde stazionarie corrispondenti ad alcuni modi di vibrazione torsionale di una
struttura laminare in oscillazione libera: (a) caso di una estremità vincolata e (b) caso di
entrambe le estremità bloccate.
1.2 Torsione dinamica: oscillazioni libere e forzate 13
Nei sistemi reali le vibrazioni torsionali subiscono un graduale smorzamento di ampiezza
dovuto a fenomeni di dissipazione energetica che in essi si manifestano. Per mantenerli in
torsione dinamica occorre agire esternamente con sollecitazioni forzanti al fine di compensare
l’energia dissipata.
In questo caso l’equazione della propagazione ondosa (1.7) si trasforma in
[6,7]
:
( ) ( )
( ) t x M
x
t x
C
t
t x
I
t P
,
, ,
2
2
2
2
− = −
δ
θ δ
δ
θ δ
ρ (1.13)
dove M(x,t) rappresenta il momento forzante esterno.
Generalmente, e anche in questo lavoro, il momento che genera la torsione è applicato ad una
ben determinata sezione trasversale del sistema elastico da eccitare.
Nel caso di un momento forzante che varia in maniera armonica nel tempo applicato alla
sezione trasversale posizionata in un punto ξ lungo l’asse longitudinale del sistema elastico
laminare
[5]
:
( ) ( )
t i
e x P t x M
ω
ξ δ
−
− = , (1.14)
dove P è una costante che rappresenta l’ampiezza di questa sollecitazione.
L’equazione del moto perciò diventa:
( ) ( )
( )
t i
P
e x
I
P
x
t x
v t
t x
ω
ξ δ
ρ δ
θ δ
δ
θ δ
−
− − = −
2
2
2 2
2
, 1 ,
(1.15)
La soluzione di questa equazione assumerà la forma:
( ) ( )
t i
e x t x
ω
ξ ψ θ
−
= , , (1.16)
dove ψ è la parte spaziale della soluzione, che identifica il profilo di vibrazione della lamina.
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