Figura 2: Avanzamento in funzione della coordinata del nodo successivo, A=0.3
In questi e in tutti i grafici dell’avanzamento che saranno presentati in seguito la stazione
trasmittente si trova nel punto (1,0), inoltre si trascura il fattore p.
La figura 2 (A=5) rappresenta una rete con molti utenti, o nella quale si utilizza una probabilità di
trasmissione o una soglia elevata o un guadagno di processo insufficiente ad ottenere l’attenuazione
degli interferenti necessaria alla visibilità reciproca di tutti i terminali.
In figura 3 A=0.3 implica che l’interferenza “efficace” alla destinazione è sufficientemente ridotta
da consentire il raggiungimento della destinazione in un singolo passo.
La funzione presenta un massimo; per calcolarlo si risolve il sistema:
°
°
↓
°
°
→
↑
ω
ω
ω
ω
0),(
0),(
− Υ
−
− Υ
Υ
Z
Z
La cui unica soluzione nel dominio della funzione è:
altrimenti ,0
2
1
1/2 se ,
2
1
1
;0
0
2/1
°
↓
°
→
↑
!
A
max
max
peZZ
e
A
pZA
A
Υ −
Lo studio di questi grafici permette, oltre la mappatura dell’EFP sulle posizioni all’interno di un
cerchio, di interpretare i risultati e di sviluppare un approccio concettuale al problema, come sarà
più chiaro in seguito.
Il calcolo del valore atteso del massimo Z nota la distribuzione del numero e della posizione degli
utenti è analiticamente complesso, quindi si sono ricercati dei metodi numerici: si è scelto di
percorrere parallelamente due strade, la prima consiste nello sviluppo di un simulatore Monte Carlo,
la seconda nel calcolo approssimato della funzione densità di probabilità di Z mediante calcolo delle
aree delle curve di livello.
Il simulatore Monte Carlo
Il simulatore, fissati i parametri del canale ed una coppia (p, Ο itera il seguente esperimento:
1. Scelta del numero degli utenti, distribuiti secondo Poisson con parametro caratteristico Ο
2
(potenziali ricevitori).
2. Scelta della posizione degli utenti disponibili a ricevere da T
n
: infatti fissato il numero dei
terminali, la loro distribuzione all’interno di un cerchio (di raggio unitario) è uniforme, cioè:
Σ
−
2
1
)(,2)(
4
frrf
R
3. Determinazione del massimo e accumulo di tale valore.
Al termine degli esperimenti calcolo del valore medio dividendo la quantità accumulata per il
numero di iterazioni.
In appendice si riporta il codice C che implementa il simulatore.
Si ripete il procedimento per diverse coppie di valori (p, Ο).
In figura 4 si riporta l’andamento di Z
opt
per ]8,0[]1,0[),( υ Οp .
L’utilizzo di Ο
2
limita la scelta fra gli utenti liberi e di conseguenza giustifica la diversa definizione
di Z.
Affrettatamente si potrebbe affermare che in modo equivalente si possa mantenere la definizione
presente in letteratura e utilizzare la distribuzione completa, estraendo il numero totale di nodi
presenti. In realtà pesare per la probabilità che un nodo sia libero al termine del calcolo equivale a
tollerare la scelta di una stazione non disponibile come ottimo ovvero di considerare il destinatario
potenzialmente occupato; i risultati, infatti, non coincidono. Diversamente si dovrebbe estrarre il
numero di nodi e per ciascuno di essi decidere con probabilità ∆(p) se è libero ed in tal caso
considerarlo fra gli utenti eligibili come relay node in quello slot.
Al variare di p, Z
opt
è sempre decrescente con Ο, in assenza di rumore, infatti, un piccolo numero di
utenti facilita la trasmissione perché l’entità dell’interferenza, limite principale del sistema, è molto
ridotta e possiamo raggiungere direttamente la destinazione.
In particolare se Ο=0 l’unico nodo disponibile è D
n
e quindi P
S
=1 e Z=p.
Si osservi che Z
opt
per Ο>3 decresce dolcemente al crescere di Ο questo però non implica che le
prestazioni della rete rimangano costanti, ossia che il numero medio di salti non vari: svanito il
contributo dell’avanzamento in un singolo passo, occorre trasmettere ad un nodo intermedio e
questo va ricercato sempre più vicino alla stazione trasmittente, al crescere del livello di
interferenza.
Per densità di nodi significative, al variare di p inizialmente domina la proporzionalità diretta di Z
e
p; parimenti cresce il livello di interferenza e, quando i due contributi si equilibrano, la funzione
presenta un massimo (vincolato); per valori di p superiori l’interferenza prevale e l’avanzamento
ottimo decresce se considerato come funzione della probabilità di trasmissione, i terminali liberi
infatti diminuiscono e siamo costretti a instaurare la comunicazione diretta, meno efficiente.
Figura 3: Z
opt
in funzione di p e Ο
È importante illustrare meglio questa affermazione.
In generale una rete di telecomunicazioni radio-mobili deve essere in grado di supportare un
numero elevato di comunicazioni contemporanee senza avere un forte decadimento delle
prestazioni o entrare in congestione; per questo è utile analizzare l’andamento della probabilità di
trasmissione ottima p
opt
al variare di Ο ossia la probabilità per la quale, fissato Ο Z
opt
è massimo,
che permette di valutare quale sia la possibile occupazione media delle risorse, che un utente può
esercitare, garantendo il corretto funzionamento del sistema.
Dalla figura 5 si osserva che se Ο p
opt
=1 (d'altronde è una probabilità), ossia con un numero di
interferenti ridotto la rete può essere utilizzata pienamente da tutti gli utenti, oltre decresce e,
similmente ai risultati di [1] e [2], si stabilizza intorno a 0,38 non risentendo dell’aumento di
Ο Questo permette di affermare che, se il nodo destinazione è irraggiungibile a causa
dell’interferenza generata dai terminali vicini, la condizione ottima corrisponde all’equilibrio fra il
numero di stazioni libere e occupate ( 5.0)38.0( | ∆ , fra le occupate si annoverano quelle in
trasmissione e quelle in ricezione da trasmittenti diversi da T
n
), diversamente dal caso descritto in
[1], in cui l’assenza di una stazione certamente libera (seppur remota), costringe a ridurre il carico
sulla rete.
Figura 4: p
opt
( Ο): probabilità che massimizza Z
opt
al variare di Ο
Calcolo approssimato della distribuzione di Z
Il secondo metodo si propone di ottenere i medesimi risultati, utilizzando una procedura rivolta al
calcolo approssimato di Z
opt
, utilizzando la sua definizione.
Con riferimento alle figure 2 e 3 si osserva che la funzione cresce avvicinandosi al punto di
massimo; quindi se esiste un terminale all’interno di una curva di livello, ottenuta sezionando la
superficie con un piano normale all’asse z (figure 6 e 7), indubbiamente sarà caratterizzato da un
avanzamento atteso superiore ad uno all’esterno della curva.
Ovvero, interpretando }P{ZZ
i
i
M
)(max come v.a., allora la sua funzione di distribuzione verrà
approssimata mediante un insieme discreto di punti:
⊥ ⊥
k
A
kkM
e
ZZZ
2
livello a punti dei luogo curva della internoall' liberi nodi 0PrPr
Ο
δ
con
⊥
max
,...,2,,0}{ ZzzZ
k
∋ ∋
e quindi:
⊥ ⊥ ⊥
kk
AA
kMkMkMkk
eeZZZZZZZp
212
PrPrPr
11
Ο Ο
δ δ δ
Questa espressione è valida solo per avanzamenti superiori al valore corrispondente all’origine;
infatti si deve trovare la soluzione più conveniente, supponendo che D
n
sia sempre libero e che
possa essere l’alternativa migliore rispetto a tutti gli altri nodi disponibili (non interessa più se e
dove si trovino terminali con avanzamenti inferiori).
Infine, detto j l’indice del valore di Z
k
più prossimo al valore in (0,0), ossia
A
j
eZ
| , si può
scrivere:
dz(z)zZ
opt
≥
1
0
Z
M
f
jj
A
j
jk
kkopt
A
j
jk
kk
eZpZZeZpZ
22
1
Ο Ο
τ
τ
δ δ
ƒ ƒ
Figura 5: Curve di livello, A=5.
Quindi il problema si riconduce alla determinazione delle aree delle curve di livello.
Il calcolo è di difficile soluzione a causa dall’espressione di Z, in cui non è possibile separare la
dipendenza da entrambe le coordinate, siano esse cartesiane o polari.
Quindi si è sviluppato un codice C (anch’esso in appendice) che svolge una procedura di calcolo
automatico volta a ripetere le operazioni che si svolgerebbero, se fosse possibile, per via analitica.
Dalle figure 6 e 7 si osserva che le curve sono simmetriche rispetto l’asse x e chiuse.
Considerata la simmetria delle curve di livello, si può calcolare l’area sottesa alla metà superiore
(rispetto l’asse x) e poi raddoppiarla. In primo luogo è necessaria la conoscenza degli estremi di
integrazione; si possono determinare mediante il metodo della bisezione, conoscendo un punto
esterno alla curva (in cui Z<Z
k
) e uno interno (Z>Z
k
). Il problema è stato risolto ricercando il punto
più vicino all’origine per cui Z>Z
k
, certi che un punto diametralmente opposto a T
n
sia esterno.
È necessario scegliere quindi un algoritmo efficiente per l’integrazione numerica (ossia che richieda
pochi valori della funzione in relazione alla precisione ottenibile), in particolare si è scelto il metodo
di quadratura di Gauss-Legéndre (adatto ad intervalli limitati)
Mediante una procedura C ([8]), si determinano le ascisse in cui calcolare la funzione e i pesi
relativi.
Non potendo esprimere l’arco di curva con un’espressione del tipo y=f(x) è necessario determinare
le ordinate, corrispondenti alle ascisse scelte, utilizzando nuovamente il metodo della bisezione (in
questo caso un punto sull’asse x, estremi esclusi, sarà interno alla curva, un punto sulla
circonferenza di raggio D esterno).
Infine si calcola l’integrale secondo l’approssimazione:
ƒ
≥
|
N
k
kk
b
a
wxfdxxf
1
)()(
Inizialmente si era tentato di determinare le aree generando una fitta griglia di punti e determinando
quali fossero interni alla curva; il problema principale è il tempo di calcolo necessario ad ottenere
una approssimazione soddisfacente e quindi il metodo è stato abbandonato.
Figura 6: Curve di livello, A=0,3.
Utilizziamo i seguenti livelli di precisione:
ξ 100 punti equispaziati per Z in [0, Z
max
).
ξ Precisione di 10
-4
per la determinazione degli estremi e delle ordinate
Mettiamo a confronto il risultato simulato e i due risultati del calcolo (figure 8, 9, 10, 11):
L’errore massimo è circa del 5%.
Per stimare con maggiore precisione l’errore, si è valutata la differenza tra le due approssimazioni,
sottraendo i due valori estremi si ottiene:
)1(
2 j
A
ez
Ο
Η
∋
Il massimo errore percentuale è circa del 7,8%.
Per aumentare l’accuratezza si è tentato di aumentare il numero di livelli utilizzati nel calcolo delle
aree; il risultato è un minore errore massimo fra calcolo e simulazione (3%).
E’ interessante osservare come utilizzando due metodi differenti si siano ottenuti risultati simili,
seppur entrambi affetti da errori, che nella simulazione possono essere imputati al numero finito di
iterazioni e ai difetti dei generatori di numeri casuali, nel calcolo alla propagazione di errori
numerici e alla scelta del numero e della distribuzione dei livelli (principalmente).
Figura 7: Z
opt
in funzione di p e Ο: risultati della simulazione.
Figura 8: Risultati calcolati che approssimano per difetto i precedenti
Figura 9: Risultati calcolati che approssimano per eccesso quelli ottenuti per simulazione
Figura 10: Confronto fra le tre diverse soluzioni (particolare)
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