Stima di parametri di aggiornamento

Introduzione
L'obiettivo di questa Tesi consiste nello sviluppo di una metodologia eciente per l'aggior-
namento di modelli agli elementi niti (E.F.) sulla base di dati sperimentali diretti costituiti
dalle funzioni di risposta in frequenza (FRF). Le basi teoriche utilizzate per lo sviluppo di
una tale metodologia prendono spunto dal preesistente algoritmo di aggiornamento Predictor-
Corrector (P-C) sviluppato da Henning Grafe [2], molto interessante dal momento che, oltre
ad utilizzare come input le misure dirette e non grandezze stimate a partire da quest'ultime
(comeadesempiolecaratteristichemodali),permettedieliminareilvincolodicorrispondenza
uno ad uno trai gradi di libert a (DOF)misurati e gradidi libert a totali, problematica che per
molto tempo  e stata combattuta adottando tecniche di riduzione del modello numerico man-
tenendo come DOF Master quelli coinvolti nelle misure. Questa soluzione tuttavia introduce
inevitabilmente delle approssimazioni sul modello E.F. ridotto risultante.
Questa Tesi pertanto pu o essere considerata come un lavoro di miglioramento dell'algoritmo
P-C originario, che sostanzialmente si basa sulla minimizzazione, tramite l'aggiornamento it-
erativo di alcuni parametri di correzione che agiscono sul modello numerico, di una funzione
obiettivo scalare rappresentante le discrepanze tra le FRF numeriche con le rispettive con-
tropartisperimentali in undeterminato numero di linee spettrali. Un'approssimazione in serie
di Taylor troncata al secondo ordine di questa funzione obiettivo scalare, ma considerando
una matrice Hessiana approssimata, porta alla denizione dell'approssimazione quadratica
standard, alla quale viene aggiunta una funzione vincolante dei parametri di aggiornamento,
partecipe nella minimizzazione complessiva, in modo da correggere la non quadraticit a della
funzione obiettivo vera e propria.
Nell'espressione dellaverafunzione obiettivoscalare, equindianche nellasuaapprossimazione
quadratica standard, risulta inclusa una matrice peso che ha il compito di dare maggiore im-
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INDICEINDICE
portanza all'aggiornamento delle FRF in certe linee spettrali piuttosto che in altre; analoga-
mente, nell'espressione dellafunzionevincolante viene introdottaunamatricepesoilcuiscopo
 e quello di limitare maggiormente (dare maggiore importanza nella minimizzazione) le vari-
azioni di alcuni paramentri di aggiornamento rispetto alle altre. Inoltre occorrerebbe anche
che il codice gestisca automaticamente, tramite un fattore di scala (che verr a identicato
con il nome di parametro di smorzamento) l'importanza relativa riposta nelle minimizzazioni
contrastanti dell'approssimazione quadratica standard della vera funzione obiettivo e della
funzione vincolante della variazione dei parametri di aggiornamento.
Granpartedelleinnovazioniintrodotteriguardanolasceltadelleduematricipesoedelfattore
di scala sopra citati. Inne  e stato aggiunto un algoritmo per migliorare la robustezza del
metodo P-C al rumore sui dati, ossia sulle FRF sperimentali.
Nel dettaglio le innovazioni introdotte possono brevemente riassumersi nei seguenti punti:
 La matrice peso delle linee spettrali, che interviene nella denizione della funzione obi-
ettivo (e quindi anche nella sua approssimazione quadratica standard),  e stata costruita
in modo da porre maggiore importanza nell'aggiornamento delle linee spettrali che im-
plicano variazionipi upiccole dei parametri di aggiornamento, ed inquelle dove gliindici
di discrepanza tra le FRF numeriche e sperimenali, indispensabili per denire la vera
funzione obiettivo scalare, risultano meno incerti.
 La matrice peso dei parametri correttivi o parametri di aggiornamento, che interviene
nell'espressione della funzione vincolante della soluzione,  e stata selezionata in modo da
limitare maggiormente le variazioni dei parametri nella cui direzione l'approssimazione
quadratica standard risulta una peggiore approssimazione della vera funzione obiettivo
scalare.
 Il fattore di scala rappresentante il peso relativo che l'algoritmo deve riporre, ad og-
ni iterazione, nella minimizzazione contrastante dell'approssimazione standard e della
funzione vincolante,  e stato ottenuto con una versione modicata di un criterio molto
utilizzato nell'ottimizzazione multiobiettivo di funzioni incommensurabili (nel caso in
esame queste funzioni sono rappresentate dall'approssimazione quadratica standard e la
funzione vincolante), ossia il criterio della L-curve [6].
2
INDICEINDICE
 L'algoritmoaggiuntivo perlarobustezza alrumoresuidatisibasasullalimitazione delle
variazioni dei parametri di aggiornamento sulle quali l'incertezza dei dati si propaga
maggiormente in termini di incertezza relativa. L'entit a complessiva della limitazione  e
assegnata adun secondo fattoredi scala calcolato mediante unaseconda minimizzazione
multiobiettivo, del tutto analoga alla prima, dove la nuova coppia di funzioni la cui min-
imizzazione risulta in contrasto  e costituita rispettivamente dalla somma dell'approssi-
mazione standard e della funzione vincolante moltiplicata per il primo fattore di scala
gi a determinato al termine della prima minimizzazione multiobiettivo, e dall'incertezza
relativa di questa somma.
 L'algoritmo P-C originario sore anche della presenza di due parametri di impostazione
manuali signicativi, la cui scelta, cio e, spetta al progettista, e che pu o risultare onerosa
dal punto di vista del tempo necessario per determinare i loro valori migliori. In questa
Tesi, invece, il numero di parametri di impostazione manuali signicativi  e stato ridotto
da due ad uno. In particolare, considerando che i due parametri originari sono relativi
all'esclusione dall'aggiornamentodialcune lineespettrali edialcuni parametridiaggior-
namento,  e stato mantenuto soltanto il parametro manuale relativo alla prima categoria
di esclusione, mentre, l'esclusione dei parametri di aggiornamento viene eettuata dal
nuovo codice in modo automatico.
Nell'ultima partedella Tesi l'algoritmoP-Cmodicato viene applicato adun cospicuo numero
di casistiche nelle quali il modello numerico agli E.F. di partenza viene ottenuto dal modello
mumerico base introducendo delle modiche strutturali, in modo che ci si aspetti la conver-
genza verso il modello base non alterato. Le simulazioni prevedono anche l'inserimento di una
componenterandomdirumoresulleFRFdelmodellobaseassuntocomemodellosperimentale
simulato, e che pertanto costituiscono l'input dell'algoritmo.
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Parte I
Modelli matematici
per la dinamica strutturale
e relativo aggiornamento
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Capitolo 1
Analisi Dinamica
L'analisi dinamica delle strutture st a diventando sempre pi u complessa, e continuer a a com-
plicarsi per superare le sde e le richieste del ventunesimo secolo. L'interesse nelle propriet a
dinamiche cresce perch e quasi tutte le strutture sono soggette a vibrazioni, che in genere sono
indesiderate. Ad esempio, gli eetti negativi causati dalle vibrazioni includono diminuzione
della resistenza a fatica delle macchine e perdita di precisione dei macchinari. A causa degli
eetti devastanti che i fenomeni vibratorii possono avere sulle macchine e sulle strutture,
l'analisidelle vibrazioni ediventata unaprocedurastandard nellaprogettazione enello svilup-
po della maggior parte dei sistemi ingegneristici. Oggi, per il progetto e l'analisi di strutture
complesse,  e necessario possedere modelli matematici molto adabili. Lo studio del compor-
tamento dinamico di una struttura pu o essere suddiviso in due distinte attivit a, conosciute
come modellizzazione numerica e test vibrazionali.
1.1 Il metodo agli elementi niti (E.F.)
Il metodo agli elementi niti  e una tecnica di analisi numerica che ha lo scopo di ottenere
soluzioni approssimate di una grande variet a di problemi ingegneristici.
Il metodo nacque nell'ambito dell'analisi strutturale e fu largamente sviluppato nell'industria
aerospaziale durante gli anni '50 e '60.
Il metodo agli elementi niti consiste nella divisione del sistema sico in piccoli sottogruppi o
elementi. Ponendo il campo degli spostamenti relativo ad un certo elemento come la somma
5
1 Analisi DinamicaIl metodo agli elementi niti (E.F.)
dei prodotti di opportune funzioni interpolanti (funzioni delle sole variabili spaziali) per gli
spostamenti dipuntimaterialibendeterminati dettinodi(talispostamenti sonofunzioni della
solavariabile temporale), sostituendo tale sommatoriaapprossimante nelle espressioni dell'en-
ergiacineticaepotenzialedelsistema continuoedutilizzandoleespressioni ottenute nellenote
equazioni di Lagrange, si ottiene un sistema di equazioni dierenziali alle derivate ordinarie
nella sola variabile temporale, ove le incognite sono rappresentate dagli spostamenti nodali.
Eettuando la stessa procedura per ogni diverso elemento del modello E.F., raggruppando in
un unico nodo i nodi comuni a pi u elementi, ed eettuando le opportune trasformazioni di co-
ordinateperpassaredaglispostamentinodalirelativiairiferimentilocali(diciascunelemento)
aglispostamenti nodali relativi al sistema di riferimento globale comune per tutti gli elementi,
si giunge al sistema complessivo (nel quale gurano tutti gli spostamenti nodali come funzioni
incognite del tempo) di equazioni dierenziali ordinarie del secondo ordine. Per tale sistema
esiste una soluzione in forma chiusa, il ch e ha reso il metodo E.F. di estrema utilit a in campo
industriale. Maggiori dettagli sulla dinamica discreta alla base del metodo agli elementi niti
verranno forniti nella prossima sezione.
Nel sistema di equazioni dierenziali ordinarie rappresentante la dinamica discreta compaiono
le cosiddette matrici di massa e rigidezza di dimensione NN, oveN  e il numero di gradi di
libert adell'intera struttura. LasceltadiN  earbitrariamadovrebbe essere grandeabbastanza
da minimizzare l'errore di discretizzazione. Il modello matematico risultante consiste di un
semplice set di equazioni dierenziali che potrebbero, o meno, rappresentare accuratamente la
struttura reale (continua). Le inaccuratezze che potrebbero essere presenti in un modello agli
elementi niti possono essere suddivise in due categorie:
 errori inerenti al metodo degli elementi niti
 errori introdotti dall'analista
La prima categoria include gli inevitabili errori derivanti dall'utilizzo di tecniche numeriche.
L'errore pi u critico di questa categoria  e sicuramente quello di discretizzazione derivante dal-
l'approssimazione di una struttura continua (con inniti gradi di libert a) ad una discretizzata
medianteunnumeronitodigradidilibert a. Ilvaloreditaleerroredipendedallaqualit adella
mesh e dall'ecienza delle funzioni di interpolazione (o di forma) scelte per ciascun elemento.
6
1 Analisi DinamicaAnalisi della meccanica delle vibrazioni
La seconda categoria consiste di quegli errori dovuti alle assunzioni fatte dall'analista, come
ad esempio: scelta della geometria degli elementi, omissione di dettagli importanti, incertezze
riguardanti le condizioni al contorno, etc. Sebbene alcuni di questi errori si manifestano
a livello elementale, non in
uenzando signicativamente le propriet a globali della struttura,
altripossonointervenireadunlivellospazialmenteglobale. Dalpuntodivistadilocalizzazione
dell'errore, queste inaccuratezze globali possono porre maggiori problemi dal momento che, in
generale, non ci sono elementi che sono direttamente associati con esse.
1.2 Analisi della meccanica delle vibrazioni
Un analisi esatta di sistemi continui porta ad equazioni dierenziali alle derivate parziali
come funzioni di spazio e tempo, ma per strutture che non siano molto semplici, ottenere una
soluzioneinformachiusa eunobiettivoirraggiungibile. Intalicasivengonoutilizzate tecniche
di analisi approssimate. Queste costituiscono un compromesso alla soluzione analitica esatta
e rappresentano la struttura come una collezione nita di coordinate discrete, una per ogni
grado di libert a del sistema, ove si denisca N il numero totale di gradi di libert a (DOF).
Attualmente, la necessit a di migliorare la qualit a dei modelli discreti incrementa l'importanza
dello sviluppo di processi quali il cosiddetto aggiornamento strutturale (model updating).
1.2.1 Equazioni del moto
A dierenza del bilancio di forze relativo ai sistemi continui, la corrispondente equazione
del moto per sistemi discreti, tempo-invarianti e conservativi,  e espressa come un sistema di
equazioni dierenziali ordinarie del secondo ordine dove la variabile indipendente  e soltano
il tempo, mentre quella dipendente  e rappresentata dagli spostamenti nodali generalizzati
(traslazioni e rotazioni) anche indicati come coordinate discrete o lagrangiane:
[M]f x(t)g+[K]fx(t)g=ff (t)g(1.1)
ove Ewins (1984) classic o le matrici di massa e rigidezza, [M] e [K], come rappresentati il
\Modello Spaziale" del sistema dinamico.
7
1 Analisi DinamicaAnalisi della meccanica delle vibrazioni
L'equazione (1.1)comprendeN equazioni dierenziali lineari acoecienti costanti. Applican-
do la trasformata di fourier ad entrambi i membri si ottiene:


2
−![M]+[K]fX(!)g =fF (!)g(1.2)
−1
2
denendo la matrice delle FRF come: [H(!)] = (−![M]+[K]), si ottiene, per il vettore
delle risposte (coordinate discrete) nel dominio della frequenza:
fXg= [H]fFg(1.3)
Ewins (1984) classic o [H] come rappresentate del \Modello di Risposta".
1.2.2 Analisi Modale
I parametri modali di un sistema non smorzato consistono in un gruppo di autovalori (fre-
quenze naturali) e di corrispondenti autovettori (forme modali) che possono essere considerati
come le frequenze e le de
essioni con le quali il sistema vibrerebbe naturalmente, ossia senza
l'intervento di forze esterne. Il problema dell'identicazione delle forme modali (modi nor-
mali) e delle frequenze naturali si risolve, quindi, ponendofFg=f0g, in modo da ottenere il
sistema:


2
−![M]+[K]fXg =f0g(1.4)
se la generica forma modale  e designata conf ge la corrispondente frequenza naturale con
r
!, allora la (1.4) pu o scriversi come:
r


2
−![M]+[K]f g=f0g per r =1,2,3...N(1.5)
r
r
Raggruppando tutti gliN modi, il cosiddetto \Modello Modale" risulta espresso dalle matrici:
23

45

[]
r
NN

NN
2
ove si  e considerato: = !. I modi normali godono delle note propriet a di ortogonalit a
r
r
rispetto alle matrici di massa e rigidezza:
2323

TT
4545
[][M][] =m[][K][]=k(1.6)
rr

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