Stima dell'umidità del suolo da dati SAR: analisi di sensibilità

 Stima dell’umidità del suolo da dati SAR:  
analisi di sensibilità    
 
 2
possibilità di ottenere delle stime spazialmente e temporalmente distribuite, 
anche se non esenti da errori ed incertezze. 
 
La teoria del rilevamento da remoto del contenuto volumetrico d’acqua si 
fonda sull’ampio contrasto tra le proprietà dielettriche dell’acqua liquida e dei 
suoli asciutti.  
Diversi studi sono stati condotti negli anni per determinare il comportamento 
della costante dielettrica al variare dell’umidità del terreno nella regione delle 
microonde e diversi tentativi sono stati fatti per modellare tale comportamento 
attraverso un’espressione analitica. 
 
Tra questi, gli studi di Hallikainen  [1], mediante un’analisi puntuale effettuata 
su vari campioni di terreno, hanno permesso di evidenziare come frequenza e 
caratteristiche del suolo, quali contenuto volumetrico d'acqua, frazione di 
acqua libera e vincolata, densità e classe texturale del terreno
1
, nonché la 
temperatura, influenzino il comportamento dielettrico secondo una relazione 
che può essere espressa attraverso un’espressione di tipo polinomiale. Per ogni 
frequenza tale espressione è stata generata, per ε
′
 e ε
′′
, rispettivamente parte 
reale e parte immaginaria del parametro dielettrico ε , come una funzione del 
contenuto volumetrico d'acqua (m
v
) e delle componenti di sabbia (S) e argilla 
(A) del suolo in percentuale di peso. 
 
Tale espressione, alla base di tutta la nostra trattazione, è 
 ()( ) ( )
2
210210210 vv
mAcSccmAbSbbAaSaa ⋅+++⋅+++++=′ε  
 ()( ) ( )
2
210210210 vv
mAcSccmAbSbbAaSaa ⋅+++⋅+++++=′′ε  
con i coefficienti a
i
, b
i
, c
i
, diversi per parte reale e parte immaginaria, dati 
dalla tabella seguente: 
                                                 
1
 Ad ogni terreno è assegnabile una classe texturale sulla base della distribuzione della dimensione 
delle particelle. In particolare, in ottemperanza al sistema di classificazione proposto dall’U.S. 
Department of Agriculture, un suolo può essere schematizzato sulla base delle percentuali di 
particelle con diametro d > 0.005 mm, come la sabbia, con 0.002 < d < 0.005 mm, come il limo, e 
con d < 0.002 mm, come l’argilla. 
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 3
 
 
Dalle evidenze di tali studi appare chiaro che la stima delle caratteristiche 
dielettriche del suolo è il primo passo per la misura dell’umidità nello stesso. 
 
La valutazione delle caratteristiche dielettriche del terreno presenta tuttavia un 
problema non secondario legato alla necessità di eliminare dal segnale radar 
retrodiffuso la dipendenza dalla rugosità superficiale della zona illuminata.  
Con un sistema radar ad apertura sintetica a singola frequenza e singola 
polarizzazione non è possibile svincolarsi dal contributo della rugosità, che è 
quindi stata inizialmente trattata come un disturbo da minimizzare.  
Gli attuali sistemi polarimetrici hanno però consentito la separazione dei due 
contributi e sono quindi alla base di diversi modelli di inversione. 
 
Ovviamente una misura non ha molto senso se non se ne conosce il grado di 
affidabilità, ovvero l’entità dell’incertezza sulla misura stessa, e questo lavoro 
di tesi si propone proprio di sviluppare un’analisi quantitativa al riguardo. 
 
Allo scopo di illustrare meglio tale contributo all’argomento saranno 
preliminarmente introdotti i modelli di scattering e di approssimazione 
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 4
utilizzati dagli algoritmi di inversione e alcuni parametri di interesse per il 
seguito della trattazione. In particolare si farà riferimento ad un modello 
frattale della superficie terrestre (il Fractional Brownian Motion  [3], o fBm) 
rispetto al quale il Dipartimento di Ingegneria Biomedica, Elettronica e delle 
Telecomunicazioni (DIBET) dell’Università Federico II di Napoli ha 
realizzato un precedente lavoro di caratterizzazione statistica dell'angolo di 
orientazione della polarizzazione del campo diffuso. 
Successivamente verrà introdotto il modello di inversione proposto da 
Hajnsek  [2], che permette il recupero della rugosità superficiale e dell’umidità 
del terreno dai dati polarimetrici dei radar ad apertura sintetica basandosi su 
auto valori e auto vettori della matrice di coerenza polarimetrica, nonché due 
modelli sviluppati dal DIBET. Il primo basato sull’uso dei rapporti 
copolarizzato e crosspolarizzato, già oggetto di analisi in altri lavori, ed un 
secondo metodo, ancora allo stato embrionale, che permette di svincolare 
l’analisi dalla caratterizzazione statistica dell'angolo di orientazione della 
polarizzazione del campo diffuso.  
Verrà quindi fatta una breve trattazione delle principali cause di incertezza 
nelle misure in questione per poi approcciare l’analisi vera e propria.  
Infine, in appendice, saranno riportati i sorgenti dei principali programmi 
implementati nel linguaggio IDL per lo sviluppo dell’elaborato. 
 
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 5
 
 
 
 
CAPITOLO 1 
1 Modelli di scattering per la stima dell’umidità nel suolo 
Ai fini della trattazione teorica è fondamentale lo sviluppo di un modello 
realistico della superficie e l’applicazione di una conveniente tecnica 
computazionale con lo scopo di determinare un’espressione del campo diffuso 
che permetta l’inversione.  
In questo capitolo verrà quindi introdotto il modello classicamente usato per 
rappresentare le superfici. Dopo averne evidenziati i limiti, si considererà la 
più valida geometria frattale e quindi il modello di superficie rispondente a 
tale geometria che permette la più comoda valutazione approssimata del 
campo diffuso. Di tale calcolo approssimato se ne evidenzieranno i limiti di 
validità ed infine se ne valuterà una tecnica di estensione. 
 
1.1 Modelli di superficie 
Il calcolo del campo elettromagnetico diffuso da una superficie naturale 
richiede l’adozione di un modello che rispetti le proprietà della superficie in 
esame. 
Una superficie, che nella nostra trattazione supporremo statisticamente 
isotropica, può essere descritta come una funzione z = z(x, y), con z quota del 
punto individuato dalla coppia di coordinate (x, y) nel sistema di riferimento 
adottato. 
 
I modelli, per tener in conto dell’andamento aleatorio della superficie, sono 
stocastici e regolati da parametri, come la deviazione standard della quota e la 
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 6
lunghezza di correlazione, che contraddistinguono il tipo di superficie 
considerata. 
Gli approcci maggiormente usati nel modellare una superficie sono quello 
classico gaussiano, caratterizzato dall’estrema semplicità di trattazione, e 
quello fBm, più complesso computazionalmente e basato sull’uso della 
geometria frattale, ma più aderente alle caratteristiche delle superfici naturali 
per la capacità dei modelli frattali di descriverne compiutamente le proprietà 
statistiche di invarianza alla scala di osservazione. 
 
1.1.1 Modello classico gaussiano 
Alla base del modello classico c’è l’assunzione che la quota del punto, z, sia 
una variabile aleatoria gaussiana con media nulla e varianza σ
z
2
, dipendente 
dalle caratteristiche del profilo: 
 
2
2
1
2
2
2
1
)(
),0(~
z
ezP
Nz
z
z
σ
πσ
σ
−
=
 
Formula  1.1 - Caratterizzazione statistica della quota nel modello classico Gaussiano 
 
 
Una superficie di questo tipo si presta molto bene ad un’analisi del campo 
diffuso, in particolare utilizzando l’approssimazione di Kirchhoff, tuttavia la 
semplicità di questo metodo si paga con una scarsa aderenza dei risultati ai 
dati reali, causata principalmente dall’incapacità del modello di riprodurre le 
caratteristiche di auto affinità delle superfici naturali. 
 
1.1.2 Introduzione alla geometria frattale 
I frattali sono figure geometriche caratterizzate dal ripetersi sino all'infinito di 
uno stesso motivo su scala sempre più ridotta. Tale peculiarità fa sì che 
vengano soddisfatte le proprietà di auto similitudine o auto affinità, e ne 
 Stima dell’umidità del suolo da dati SAR:  
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 7
garantisce struttura fine e dimensione frazionaria. La geometria frattale quindi 
abbandona il concetto di dimensione proprio della geometria euclidea e si basa 
sulla possibilità che un oggetto geometrico sia caratterizzato da una 
dimensione reale
2
. 
Dalla proprietà di auto similitudine, ovvero per il fatto che ingrandendo un 
qualsiasi tratto di curva si visualizza ancora un insieme ricco di particolari e 
complesso come il precedente, scaturiscono due caratteristiche: 
• le curve frattali pur essendo continue non ammettono mai un’unica 
tangente in un punto; 
• presi due punti della curva, anche se vicini tra loro, la loro distanza 
misurata lungo la curva è sempre infinita
3
. 
La prima di queste due caratteristiche è evidentemente critica nel calcolo del 
campo diffuso perché impedisce l’utilizzo della condizione di continuità dei 
campi tangenti.  
A questa e alla problematica di non stazionarietà, che comporta uno spettro di 
potenza
4
 il cui integrale diverge alle basse frequenze, si porrà rimedio 
considerando il modello di superficie come un processo frattale solo in un 
ampio ma limitato range. Tale range ingloberà i dettagli di nostro interesse, 
ovvero quelli che concorrono al processo di formazione dell’onda diffusa, e 
sarà quindi limitato inferiormente dalla lunghezza d’onda elettromagnetica e 
superiormente dalla dimensione della scena illuminata. 
 
1.1.3 Modello fBm 
La geometria frattale fornisce una ragionevole e affidabile descrizione delle 
superfici naturali, tuttavia, affinché sia utile nel telerilevamento, è necessario 
                                                 
2
 La dimensione di un frattale è espressa mediante la dimensione di Hausdorff-Besicovitch (D) ed è 
legata alla rugosità della superficie: maggiore è la rugosità, più alto sarà il valore di D. 
3
 La lunghezza di un frattale “piano” non può essere misurata definitivamente, ma dipende 
strettamente dal numero di iterazioni al quale si sottopone la figura iniziale. 
4
 Lo spettro di potenza di una superficie (stazionaria) è definito come la trasformata di Fourier 
della funzione di autocorrelazione 
()()
yx
j
j
yxyx
ddeeCW
yy
xx
ττττκκ
τκ
τκ
−
−
⋅=
∫∫
,,  
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 8
che il modello frattale realizzato permetta una valutazione eventualmente 
approssimata del campo elettromagnetico diffuso. Un modello di superficie 
frattale corrispondente a tali caratteristiche è il Fractional Brownian Motion 
 [3], o fBm, ottenuto supponendo che ad essere gaussiane siano le differenze di 
quota tra due punti, e non, come nel modello classico, la quota stessa. In 
particolare per ogni x , x
′
, y  e y
′
, posto 
22
)()( yyxx
′
−+
′
−=τ , il 
processo aleatorio z(x, y) soddisfa la relazione 
 ()
∫
∞−
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
<
′′
−
ξ
ξ
τπ
τ
ξ
ξ
_
22
2
2
_
2
1
),(),( de
s
yxzyxzP
H
s
H
 
Formula  1.2 – Caratterizzazione statistica dell’incremento di quota nel modello fBm 
 
con H detto coefficiente di Hurst ed s parametro reale dimensionalmente pari a 
[m
1-H
]. 
Per quanto sopra, una superficie fBm è caratterizzata da una distribuzione 
stazionaria gaussiana degli incrementi di quota, mentre la superficie stessa è 
non stazionaria. Inoltre la descrizione si basa totalmente sui due parametri H e 
s. La dimensione frattale di tale processo aleatorio, che si dimostra esistere 
unicamente se 0 < H < 1, è D = 3 - H. 
 
Al posto del parametro s molto spesso si utilizza il parametro T, detto topotesi 
 
H
Ts
−
=
1
 
pertanto la caratterizzazione statistica dell’incremento di quota nel modello 
fBm può essere espressa anche dalla 
 ()
∫
∞−
−
−
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
<
′′
−
ξ
ξ
τπ
τ
ξ
ξ
_
222
2
2
1
_
2
1
),(),( de
T
yxzyxzP
HH
T
HH
 
Formula  1.3 - Caratterizzazione statistica dell’incremento di quota nel modello fBm 
in funzione del parametro topotesi 
 
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 9
Il motivo è da ricercarsi nel fatto che la topotesi, per definizione pari alla 
distanza in corrispondenza della quale i segmenti che uniscono due punti 
sulla superficie hanno una pendenza rms unitaria, è più intuitivamente legata 
alla lunghezza caratteristica della superficie stessa. 
 
Concordemente a quanto detto in generale per la geometria frattale, una 
superficie fBm è un processo aleatorio auto affine, per cui posto 
),(),()( yxzyxzz
′′
−=Δ τ  
risulta 
)(~)( ττ zrrz
H
ΔΔ  per ogni r > 0, 
inoltre la superficie fBm è non stazionaria e presenta uno spettro di potenza il 
cui integrale diverge alle basse frequenze. Per eludere questa problematica, 
come precedentemente accennato, il modello di superficie viene considerato 
conforme alla Formula  1.2 solo in un ampio ma limitato range di frequenze 
spaziali 
maxmin
κκκ << , con 
 
min
max
max
min
1
1
τ
κ
τ
κ
≈
≈
 
dove τ
min
 e τ
max
 sono rispettivamente il dettaglio più piccolo e più grande che 
può essere rivelato. 
In virtù di questo vincolo otteniamo un modello fBm a banda limitata che 
mantiene un ottimo legame con le superfici reali eliminando al tempo stesso i 
problemi relativi al processo puramente matematico.  
 
1.2 Calcolo del campo diffuso con approccio SPM 
Il problema della diffusione delle onde elettromagnetiche da una superficie 
aleatoria è oggetto di ricerca da decenni. Diverse soluzioni analitiche in forma 
chiusa per la diffusione da una superficie fBm sono state ottenute utilizzando 
l’Integral Equation Method (IEM), tuttavia sono troppo complesse per essere 
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 10
usate in schemi di recupero informazioni e, allo stato dell’arte, non esistono 
schemi teorici di inversione per questo modello. Fortunatamente per molte 
applicazioni pratiche sono sufficienti soluzioni approssimate. Fra queste, nel 
campo del telerilevamento, il metodo più utilizzato è lo Small Perturbation 
Model (SPM), basato sull’ipotesi di variazioni di quota (rugosità) piccola 
rispetto alla lunghezza d’onda. 
 
1.2.1 Geometria di riferimento 
La geometria di riferimento prevede che il sensore, posto in spazio libero, 
illumini un mezzo omogeneo, caratterizzato da una permettività complessa 
(per ipotesi normalizzata a quella del vuoto) e da una permeabilità magnetica 
circa uguale a quella dello spazio libero. La superficie di tale mezzo è 
modellabile come un processo aleatorio di tipo fBm. 
 
 
Figura  1.1 - Geometria di riferimento 
 
L’angolo θ
1
 rappresenta l’angolo di incidenza mentre gli angoli θ
2
 e θ
3
 
caratterizzano la direzione di osservazione. I vettori k
1
 e k
2
 sono 
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 11
rispettivamente il vettore di propagazione relativo all’onda incidente e quello 
riferito all’onda diffusa nella direzione di osservazione.  
Nel caso particolare di backscattering, che è quello di nostro interesse, la 
direzione di osservazione e di radiazione coincidono, pertanto avremo  
πϑ
ϑϑϑ
=
≡=
3
21
 
 
1.2.2 Approccio SPM applicato alla superficie fBm 
Usando lo Small Perturbation Model è ottenibile un’espressione della potenza 
diffusa più semplice di quella ricavabile con l’approssimazione di Kirchhoff. 
Tale modello, basato sulle ipotesi di Rayleigh e su un’espansione in serie del 
campo superficiale, può essere utilizzato se le variazioni di quota sulla 
superficie sono piccole confrontate con la lunghezza d’onda, ovvero nel caso 
di lavoro in banda P, L o S
5
. 
 
Utilizzando lo SPM, il coefficiente di backscattering di una superficie isotropa 
con rugosità modellabile come un processo fBm può essere espresso in 
funzione dei parametri frattali (eccetto che per incidenze prossime alla 
verticale) come: 
 
)22(
02440
)sin2(
||)cos8(
H
pqpq
k
S
k
+
=
ϑ
χϑσ  
Formula  1.4 - Espressione del coefficiente di backscattering nel caso di approccio 
SPM applicato alla superficie fBm 
con 
 p, polarizzazione del campo trasmesso 
 q, polarizzazione del campo ricevuto 
                                                 
5
 La maggior parte delle applicazioni operanti con le microonde utilizzano lo spettro compreso tra 
1 e 12 GHz, così diviso in bande dalla Radio Society of Great Britain (RSGB): 
 L  1 – 2 GHz  λ
min
 = 15 cm 
S  2 – 4 GHz  λ
min
 = 7.5 cm 
 C  4 – 8 GHz  λ
min
 = 3.75 cm 
X  8 – 12 GHz  λ
min
 = 2.5 cm 
Il codice P è a volte usato per le frequenze UHF sotto la banda L. 
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 12
 
λ
π2
=k , numero d’onda incidente 
 
)1(
)1(
2
2)22(
0
H
H
HTS
HH
−Γ
+Γ
=
−
 
e 
pq
χ  coefficiente dipendente dagli angoli di incidenza e diffusione (nel caso 
di nostro interesse coincidenti) e dalla costante dielettrica del terreno. 
Tale coefficiente, in funzione delle polarizzazioni assunte dall’onda in 
trasmissione ed in ricezione, è esprimibile come 
 
 
()
()
( )
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−+
+−
−=
==
−+
−−
=≡
2
2
22
2
2
sincos
)sin1(sin
1
0
sincos
sincos
,
ϑεϑε
ϑεϑ
εχ
χχ
ϑεϑ
ϑεϑ
ϑεχ
vv
vhhv
hhhh
R
 
Formula  1.5 - Coefficienti di diffusione di Bragg 
 
dove con ()ϑε ,
hh
R  si è indicato il coefficiente di Fresnel per polarizzazione 
orizzontale. 
 
1.2.3 Descrizione matriciale del campo diffuso  
Lo scattering può essere interpretato come una trasformazione applicata ad 
un’onda incidente che restituisce un’onda diffusa da un diffusore. Questa 
trasformazione può cambiare lo stato e il grado di polarizzazione dell’onda e, 
se indichiamo il campo incidente e il campo diffuso come 
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
s
v
s
h
s
i
v
i
h
i
E
E
E
E
E
E