Stabilizzazione d'assetto di un nanosatellite mediante controllo elettromagnetico attivo

Capitolo 1
Introduzione
In questa tesi, viene affrontato e discusso il problema della stabilizzazione a tre assi
di un piccolo satellite (nanosatellite) mediante l’uso di attuatori elettromagnetici. Il
problema della stabilizzazione magnetica  e di notevole interesse quando  e necessario
avere dei costi di realizzazione e di missione piuttosto bassi(infatti questo tipo di con-
trollo d’assetto risulta particolarmente economico nel suo complesso) . Inoltre c’ e da
dire che la realizzazione pratica, per quanto riguarda la tecnologia utilizzata, di que-
sto sitema di controllo  e abbastanza semplice e quindi si presta bene all’impiego nel
campo dei nanosatelliti(ovvero nel settore dei piccoli payloads) . Inolte i componen-
ti utilizzati per la costruzione di questo sistema sono molto leggeri a tutto favore del
mass budget che come sappiamo  e di notevole importanza per tutti i veicoli spaziali.
Ovviamente a  anco di queste rimarcate caratteristiche di semplicit  a ed economicit a
si evidenziano alcuni limiti operativi del sistema stesso. Infatti c’ e da dire che non si
dispone della coppia di controllo magnetico nel caso in cui il momento magnetico,
generato dall’avvolgimento magnetico, risulta essere parallelo al campo Geomagne-
tico locale. Inoltre per questo tipo di sistema  e di notevole importanza il problema
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Capitolo 1. Introduzione 3
dell’isolamento magnetico. Questo tipo di problema si genera dalle interazioni che
ci sono tra i campi magnetici prodotti dagli avvolgimenti e il corpo del satellite stes-
so(compresi i sensori di posizione come i magnetometri ed altri apparati del satellite) .
Pertanto  e di notevole importanza il discorso della pulizia magnetica soprattutto nella
fase di realizzazione. Questo discorso verr a trattato nel proseguio della tesi ponendo
l’attenzione su tutti gli accorgimenti utilizzati per minimizzare questo fattore. Bisogna
poi sottolineare la complessit a di modellizare in maniera opportuna e precisa il campo
magnetico terrestre a causa della sua natura complessa e alla sua dinamica. In ne si
deve porre attenzione al fatto che con questo tipo di controllo d’assetto non si possono
ottenere delle accuratezze nel puntamento troppo elevate.
1.1 Approccio e Risultati
Inizialmente verr a studiata la natura del campo magnetico terrestre e succesivamente
ne verr a data una modellizzazione matematica opportuna. Una volta nota l’interazione
del satellite(in particolar modo degli avvolgimenti lungo i tre assi) con il campo ma-
gnetico circostante e modellizate le varie coppie ambientali(aerodinamica, gradiente di
gravit a, momento magnetico residuo) , verranno scritte le equazioni del moto che sono
nonlineari e dopo la linearizzazione di queste verr a sintetizzato un sistema di controllo
magnetico. In questa tesi si  e deciso di utilizzare delle tecniche di controllo ottimo
attraverso la teoria del Linear Quadratic Regulator(LQR). Le simulazioni del sistema
di controllo verranno effetuate per mezzo di un codice Matlab, che permetter a di vi-
sualizzare gra camente l’andamento nel tempo delle grandezze d’assetto di interesse.
Inoltre verranno presentate delle tecniche di ottimizzazione sulla scelta dei parame-
tri che caratterizzano il sistema. In ne nell’appendice verr  a proposto un calcolo sul
dimensionamento di massima degli avvolgimenti per un satellite di riferimento.
Capitolo 1. Introduzione 4
1.2 Outline della Tesi
Il Capitolo 2 illustra l’origine del campo magnetico terrestre e la modellizzazione ma-
tematica di questo. In particolar modo vengono sviluppate le equazioni di Maxwell e
vengono descritte le interazioni del campo con gli altri corpi celesti. Il modello mate-
matico ottenuto verr a poi utilizzato nella simulazione numerica.
Il Capitolo 3 tratta la dinamica del satellite. Vengono prima descritte sia la dinamica
orbitale che la dinamica d’assetto per poi ricavare le equazioni del moto. Successi-
vamente si descrivono le coppie ambientali agenti sul satellite in esame. Alla  ne del
capitolo, poi, si parla dei dispositi per la determinazione dell’assetto: i sensori.
Il Capitolo 4 si concentra sull’interazione del satellite con il campo magnetico terrestre
analizzando le coppie magnetiche di disturbo e le coppie magnetiche di controllo. In-
 ne vengono elencati alcuni dispositivi per il controllo d’assetto come le Torque Coils
e le Torque Rods.
Il Capitolo 5 riguarda la linearizzazione delle equazioni del moto e l’implementazione
della legge di controllo per mezzo del Linear Quadratic Regulator.
Il Capitolo 6 mostra i risultati delle simulazioni numeriche ottenute con il Matlab.
Inoltre vengono commentati i risultati ottenuti nelle diverse condizioni operative.
Il Capitolo 7 conclude la tesi riassumendo i risultati ottenuti con questo lavoro.
Capitolo 2
Il Campo Magnetico Terrestre
Come sappiamo il controllo d’assetto che si andr a a studiare dipende dal campo ma-
gnetico circostante. Nel presente capitolo verranno date prima delle informazioni di
carattere generale e successivamente verr a descritta l’origine, l’evoluzione e le va-
riazioni del campo magnetico terrestre. Una modellizzazione matematica del cam-
po verr a in ne fornita. Inoltre verranno presentati e discussi alcuni dispositivi per la
misura del campo magnetico terrestre.
2.1 Campo Magnetico
Una nota intoduttiva sulle equazioni di base che governano il magnetismo risulta
necessaria prima di illustrare il campo magnetico della Terra.
2.1.1 Origini ed Equazioni
Il campo magnetico ed il campo elettrico sono mutuamente collegati. Una prima sco-
perta venne effettuata nel 1819 da Christian Oersted che dimostr o il moto dell’ago
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Capitolo 2. Il Campo Magnetico Terrestre 6
magnetico di una bussola in presenza, nelle vicinanze dell’ago, di una spira percorsa
da corrente. Successivamente furono Michael Faraday e Joseph Henry a stabilire che
si poteva ottenere una differenza di potenziale ai capi di una spira se si muoveva una
magnete vicino ad essa.
Le Equazioni di Maxwell costituiscono il fondamento del moderno elettromagnetismo.
Possono essere espresse sia in forma differenziale che in forma integrale come segue:
Equazioni di Maxwell In Forma Differenziale:
∇ ·E = ρ
ε0
(2.1)
∇ ·B = 0 (2.2)
∇×E = − ∂
∂t
B (2.3)
∇×B =  0ε0
∂
∂t
E+  0J (2.4)
Equazioni di Maxwell in Forma Integrale:
∫
A
E ·dA = q
ε0
(2.5)
∫
A
B ·dA = 0 (2.6)
∫
s
E ·ds = −dφB
dt
(2.7)
∫
s
B ·ds =  0I+  0ε0
dφE
dt
(2.8)
Le equazioni 2.2 e 2.6 sono due espressioni della legge di Gauss dell’elettricit a. Que-
Capitolo 2. Il Campo Magnetico Terrestre 7
sta legge afferma che il  usso del vettore campo elettrico attraverso una super cie
 e proporzionale alla quantit a di carica elettrica contenuta dalla super cie stessa. Le
equazioni di Gauss per il magnetismo sono espresse invece dalle equazioni 2.3 e 2.7.
Questa afferma che, per un dipolo magnetico, il  usso magnetico entrante dal polo sud
 e pari a quello uscente dal polo nord attraverso una super cie chiusa. Le equazioni 2.4
e 2.8 sono le leggi di Faraday dell’induzione. Questa afferma che l’integrale del vettore
campo elettrico attorno ad una spira chiusa  e pari alla variazione temporale cambiata
di segno del  usso del campo magnetico attraverso la super cie descritta dalla spira.
In ne la Legge di Ampere (equazioni 2.4 e 2.8) afferma che l’integrale del campo ma-
gnetico attorno ad una spira chiusa  e proporzionale alla corrente che scorre nella spira
stessa.
2.1.2 Caratteristiche del Campo Magnetico
Il campo magnetico essendo una quantit a vettoriale deve essere espresso attraverso una
direzione e un verso. Un comune esempio del campo magnetico e delle sue linee di
forza e quello di una barra magnetica (vedi Figura 2.1).
Pertanto il campo magnetico ad una certa distanza sar a pari a:
H = 3(M× âr)âr −M
r3
(2.9)
dove r  e la distanza tra la fonte del campo magnetico ed il punto dove si vuole misurare
il campo, âr  e il versore del vettore che congiunge il centro del magnete con il punto
di misura, e M  e il momento di dipolo magnetico della barra.
La magnetizzazione , M , di un oggetto rappresenta la sua forza magnetica ed  e
Capitolo 2. Il Campo Magnetico Terrestre 8
Figura 2.1: Campo Magnetico Prodotto Da Una Barra Magnetica
funzione della densit a in volume del momento magnetico di dipolo.
M = M
volume (2.10)
Inoltre  e di notevole importanza la relazione tra campo magnetico e vettore di induzio-
ne magnetica B:
B =  0(H+M ) (2.11)
dove  0 rappresenta la permeabilit  a magnetica nel vuoto.
Il valore di  0  e pari ad 1 nel Sistema Internazionale(SI) e quindi nel resto della tesi
verr a utilizzato il simbolo B per indicare sia B che M poich e:
B =  0H (2.12)
Differenti unit a di misura sono utilizzate per indicare le grandezze elettromagnetiche.
Le pi u comuni sono indicate nella Tabella 2.1 . Per quanto riguarda questa tesi tutti i
Capitolo 2. Il Campo Magnetico Terrestre 9
valori del campo magnetico sono espressi in Tesla.
B= 104Gauss(G)
B= 1Weber/metro2(Wb/m2)
B= 109gamma(γ)
B= 1Tesla(T )
Tabella 2.1: Unit a di Misura del Campo Magnetico
Un confronto sulle intensit a del campo magnetico di alcuni corpi  e illustrata nella
Tabella 2.2.
Campo Magnetico Intensit a(Gauss)
Campo Magnetico Galattico 0.00001
Vento Solare 0.00005
Nube Molecolare Interstellare 0.001
Campo Magnetico Terrestre(LM) 1
Campo Super cie Solare 1-5
Campo Magnetico di Giove 1000
Campo Magnetico Stellare 11,500
Campo di un Magnetar 1,000,000,000,000,000
Tabella 2.2: Intensit a del Campo Magnetico
2.2 Origini ed Effetti del Campo Magnetico della Terra
In questa sezione verranno descritte le principali caratteristiche del Campo Magnetico
Terrestre e successivamente le sue variazioni.
2.2.1 Campo Geomagnetico
Il campo magnetico della Terra pu o essere ben modellizzato attraverso una super cie
sferica uniformemente carica oppure attraverso un modello di dipolo inclinato come
mostrato in Figura 2.2.
Capitolo 2. Il Campo Magnetico Terrestre 10
Figura 2.2: Modello Del Campo Magnetico Terrestre
L’ipotesi di dipolo inclinato fu esposta per primo da William Gilbert nel 1600. Nel
1635 invece fu Gellibrand a capire che il campo magnetico terrestre  e dipendente sia
dallo spazio che dal tempo.
La forza del campo magnetico  e di circa 30000 nT all’equatore e di circa 60000 nT ai
poli. L’asse del dipolo magnetico, indicato con m̂ ,  e posizionato a 79.8 N in latitudine
e a 107.0 W in longitudine. Questi valori sono riferiti al 1999. L’asse del dipolo risulta
essere inclinato di 11.5 rispetto all’equatore. Questo  e soggetto ad un drift naturale pari
a 0.2/anno verso ovest e la sua intensit a decresce dello 0.05% per anno. Le coordinate
magnetiche comparate con le coordinate dell’asse di spin sono mostrate in Figura 2.3.
Per quanto riguarda i valori del campo magnetico per i punti sulla super cie terrestre
il modello di dipolo non  e molto utilizzato ma lo diviene non appena ci allontaniamo
dalla super cie al crescere della quota. C’  e da dire, poi, che vi  e un minimo nell’inten-
sit a del campo posizionata a circa 25S, 45W ed un massimo posizionato a circa 10N,
Capitolo 2. Il Campo Magnetico Terrestre 11
Figura 2.3: Coordinate Geomagnetiche
100E. Questo fenomeno comporta che il centro del dipolo non risulta coincidere con
il centro della Terra.
Il NASA Technical Report SP-8017 e il Wertz forniscono interessanti informazioni
a riguardo dell’intensit a, dell’orientazione e l’aspetto della Magnetosfera del campo
Geomagnetico. Ad elevate distanze dalla super cie terrestre il modello di dipolo di-
viene meno preciso in quanto l’effetto della magnetosfera diventa notevolmente domi-
nante. La megnetosfera  e generata dall’interazione del vento solare con il campo geo-
magnetico. Sia il campo magnetico terrestre che il vento solare esercitano delle azioni
reciproche l’uno sull’altro. Infatti mentre il vento solare esercita una compressione del
campo geomagnetico quest’ultimo fa si che le particelle solari vengona de esse dal
campo magnetico stesso. Questa interazione genera una serie regioni all’interno del
campo magnetico della Terra come visto nella Figura 2.4.
Capitolo 2. Il Campo Magnetico Terrestre 12
Figura 2.4: Magnetosfera
Shock Front
Un fronte d’urto si genera al con ne tra il vento solare e il campo magnetico. Questo
fenomeno  e simile ad un onda d’urto generata dal fatto che il vento solare si muove con
una velocit a elevata rispetto al campo magnetico terrestre. Questo fronte provoca una
serie di oscillazioni locali dell’intensit a del campo geomagnetico. Queste oscillazioni
variano da un minimo di 10nT ad un massimo di 50nT.
Magnetosheath
Questa  e una zona caratterizzata da una forte turbolenza dove il vento solare viene
de esso dal campo magnetico dopo il passaggio attraverso il fronte d’urto. All’interno
di questa regione il campo  uttua rapidamente sia in intensit  a che in direzione. In
direzione del Sole la Magnetosheath  e circa 4R⊕ ma tende a diventare di 2R⊕ in seguito
Capitolo 2. Il Campo Magnetico Terrestre 13
ad una tempesta magnetica.
Magnetopause
La Magnetopause  e uno strato di con ne che separa il campo magnetico della Terra
dalla Magnetosheath. Questa regione si estende da circa 10R⊕ nella zona pi u vicina
al Sole  no a circa 80R⊕ nella zona opposta al Sole. Anche questa regione pu o su-
bire delle variazioni di dimensioni, con una velocit a di 50 Km/sec, in seguito ad una
tempesta magnetica. Lo spessore di questa zona  e di circa 10 Km e in essa il campo
magnetico subisce delle notevoli variazioni in direzione( no a 180◦) e in intesit a(anche
pi u di 40 nT) .
Magnetotail
La Magnetotail  e generata dal vento solare che trascina con se le linee del campo
magnetico della Terra lontano dal Sole. Le linee di campo nell’emisfero sud hanno
direzione opposta a quella del Sole mentre nell’emisfero nord puntano verso il Sole.
Questa zona pu o arrivare ad essere estesa anche  no a 1000R⊕ ed  e di circa 30R⊕ in
direzione opposta a quella del Sole. A distanze tra 8R⊕ e 10R⊕ l’intensit a del campo
a pari a quella del modello di dipolo terrestre. A distanze maggiori invece l’intensit a
decresce all’aumentare della distanza con la Terra. A 10R⊕ l’intensit a  e di 20nT, a
80R⊕ decresce  no a 7nT. In ne a 1000R⊕  e stato osservato che l’intensit a del campo
varia dai 4nT ai 16nT.
Capitolo 2. Il Campo Magnetico Terrestre 14
Neutral Sheet
Questa regione separa le linee di campo entranti ed uscenti dalla Magnetotail. Si esten-
de da circa 10R⊕ dal limite della Magnetotail ed  e parallela con il piano equatoriale
del Sole. Inoltre la sua posizione  e sopra il piano equatoriale nei mesi estivi e sotto il
piano equatoriale nei mesi invernali. Lo spessore di questa regione varia dai 500 Km
ai 5000 Km.
Cusp Region
La Cusp Region  e situata nella zona della Terra opposta al Sole ed  e la zone dove per
prime le linee di campo si trasformano nella Magnetotail. Questa regione si estende
dagli 8 ai 10R⊕ ad una latitudine di ±25◦. Inoltre c’ e da dire che questa regione
fa parte delle fasce di Van Allen e quindi presenta delle improvvise variazioni nella
densit a delle particelle.
2.2.2 Origini del Campo Magnetico Terrestre
Teoria ed origini del campo magnetico terrestre sono discusse da Thompson. Le prime
ipotesi sull’origine del campo magnetico vennero fatte ipotizzando che la Terra fosse
un grande magnete in seguito alla forte presenza di ferro in essa. In realt a poi questa
ipotesi venne scartata per ragioni di tipo termodinamiche. Tutti i materiali rilasciano
il loro magnetismo ad alte temperature, superiori alla temperatura di Curie. A questo
punto per o l’orientamento del momento magnetico varia casualmente facendo perdere
la magnetizzazione al corpo. Ora poich e la temperatura del contorno del nucleo della
Terra  e di circa 3000◦ e la temperatura di Curie del ferro  e di 780◦ la Terra non pu o
agire da magnete per produrre un campo magnetico.
Capitolo 2. Il Campo Magnetico Terrestre 15
Una nuova teoria venne elaborata tra il 1940 ed il 1950 da Elsasser e Bullard i quali af-
fermarono che il campo megnetico terrestre viene generato dal moto  uido dei mettalli
densi presenti all’interno del nucleo terrestre. Questo moto  e causato dalla circolazione
di una corrente elettrica, capace di circolare per un tempo dovuto alla auto-induzione.
Per far si che questo fenomeno avvenga c’ e bisogno di un meccanismo che mantenga
e controlli la corrente elettrica. Senza questo maccanismo l’energia sarebbe dissipata
per effetto Joule in 105 anni.
La formulazione della teoria della dinamo auto-eccitante  e semplice perch e si basa sul-
la meccanica classica, termodinamica ed elettromagnetismo. Comunque la soluzione
del problema non  e semplice in seguito alla sua non linearit a. Solamente alcune so-
luzioni semplici sono note, ma gli scienziati credono che ogni movimento complicato
all’interno del nucleo da comunque origine ad una dinamo. La fonte di energia per la
dinamo si pensa essere dovuta al decadimento radioattivo degli elementi presenti nel
nucleo della Terra. Questa energia produce una corrente di convezione che alimenta
la dinamo attraverso una azione magnetoidrodinamica. In ne c’  e da dire che ci so-
no ancora teorie contrastanti con quella della dinamo che per o risulta generalmente
accettata.