Sopra un problema al contorno nella teoria delle funzioni a variabile complessa

3 
CAPITOLO 1 
 
Antonio Signorini 
 
Antonio Signorini nacque ad Arezzo il 2 Aprile 1888. 
Ad Arezzo frequentò il Liceo classico, al termine del quale 
passò alla Scuola Normale Superiore di Pisa, dove si distinse 
per le sue non comuni capacità di studioso (e anche per la 
compitezza delle sue maniere).  
Dopo aver compiuto gli studi secondari nella sua città natale 
si iscrisse all’Università di Pisa. 
Nel Luglio del 1909 conseguì, con lode, la laurea in 
Matematica e due anni dopo il diploma della scuola Normale. 
Fu assistente presso la cattedra di geometria analitica a Pisa di 
Luigi Bianchi e nel 1911 si trasferì all’Università di Padova 
come assistente presso la cattedra di Meccanica Razionale di 
Tullio Levicivita, disciplina di cui divenne libero docente nel 
1912, incaricato nel 1914 e ordinario, a Palermo, a partire dal 
1916 fino al 1923 quando fu trasferito a Napoli dove fino al 
1934-35 fu ordinario di Fisica-Matematica e successivamente 
di Meccanica Razionale dal 1935 al 1938. 
Nel frattempo aveva preso parte alla prima guerra mondiale. 
Nel 1939 successe a Levicivita nella cattedra di Meccanica 
Razionale e Fisica-Matematica all’università di Roma fino
4 
all’anno del suo collocamento in riposo per raggiunti limiti di 
età (1958).  
Scomparve dopo qualche mese di malattia il 23 febbraio 1963. 
A Roma fondò una scuola di ricerca scientifica. 
Fu socio nazionale dell’Accademia dei Lincei; membro del 
Consiglio dell’Istituto dell’Enciclopedia Italiana, socio di 
numerose accademie e società scientifiche italiane ed estere.  
La sua opera scientifica, varia e veramente notevole, si è 
concretata in oltre 110 pubblicazioni. 
I primi suoi lavori sono dedicati alla geometria, ed egli ebbe 
sempre interesse per le questioni geometriche, infatti nel 
1941, con nuove e semplici considerazioni, ritrova una 
proprietà caratteristica della sfera, e le sue ricerche, compiute 
poco prima del 1950, sull’ottica geometrica, che dettero 
origine ad  importanti lavori di B. Segre, V. Dalla Volta e G. 
Toraldo di Francia. 
Del resto anche in altre sue memorie fece spesso uso di 
eleganti considerazioni geometriche. 
Compì inoltre studi di Analisi: sul criterio di Stephanos, su 
alcune questioni relative a funzioni analitiche e, insieme a M. 
Picone, sulla determinazione di alcuni integrali che si 
presentano nel calcolo delle variazioni. Ma la sua attività si 
svolse principalmente nel campo della Meccanica e della 
Fisica-Matematica. 
Nella sua tesi di abilitazione alla scuola Normale trattò il 
difficile problema dell’estensione ai mezzi cristallini uniassici
5 
del principio di Huyghens; un pò più tardi, precisamente nel 
quinquennio 1911-1915, compì ricerche su argomenti, allora 
in via di attualità, relativi all’elettromagnetismo e alla 
dinamica degli elettroni. 
Ricordiamo, in particolare, la nota sulla propagazione delle 
onde elettromagnetiche in un conduttore toroidale, in cui fa 
uso del calcolo tensoriale (detto allora calcolo differenziale 
assoluto) qualche anno prima della famosa memoria in cui 
Einstein richiamò l’attenzione del mondo scientifico su quel 
calcolo. 
Nello stesso quinquennio studiò il moto di un punto soggetto a 
forza di richiamo ed a resistenza idraulica percorrendo così, 
sia pure in un sistema dissipativo, le odierne questioni di 
Meccanica non lineare. 
Volontario durante la prima guerra mondiale fu portato a 
compiere ricerche di balistica. Notevole il suo metodo di 
integrazione approssimata delle equazioni della balistica 
esterna, e la sua memoria del 1946 in cui compie un 
approfondito studio del moto di un proiettile considerato non 
come punto materiale ma come corpo rigido. 
E del moto di un corpo rigido si occupò a varie riprese 
collegando anche lo studio di quel moto ad alcuni suoi 
risultati sulla geometria delle masse; queste ricerche furono, 
in parte, esposte in una conferenza tenuta ad Istambul durante 
l’ottavo congresso di Meccanica applicata.
6 
La laurea in ingegneria che Signorini, già professore 
ordinario, volle conseguire per meglio adeguare il suo corso 
alle necessità degli allievi ingegneri, lo indusse a prendere in 
esame elevati problemi scientifici suggeriti dalla tecnica. 
Come consulente dell’Istituto Nazionale di Calcolo si occupò 
anche di problemi di interesse tecnico ma i contributi più 
importanti sono le sue ricerche sulla teoria delle deformazioni 
finite ne i suoi teoremi di media nella Meccanica dei continui. 
È noto come la teoria ordinaria dell’elasticità venga ridotta a 
equazioni lineari considerando come infinitesimi spostamenti 
e deformazioni. Ma per i corpi, come la gomma, di grande 
deformabilità, questa ipotesi di infinitesimalità non è 
ovviamente ammissibile; bisogna perciò ricorrere alla teoria, 
molto più complessa, delle deformazioni finite. 
Signorini cominciò ad occuparsi di questo argomento fin da 
1923-24 in un suo corso di Fisica-Matematica, e riferì alcuni 
suoi risultati nel III Congresso di Meccanica applicata che 
ebbe luogo a Stoccolma nel 1930. 
 Dopo aver elaborato ed ampliato i risultati ottenuti da altri 
autori sulla cinematica delle deformazioni finite, passa alla 
ricerca di una relazione che sostituisca la legge di Hooke 
dell’elasticità ordinaria. A questo scopo ricorre ai principi 
della termodinamica che gli permettono di introdurre il 
potenziale elastico per trasformazioni isoterme e adiabatiche. 
Ottiene così, valendosi anche della nozione di spostamento
7 
inverso, le equazioni generali per la statica delle deformazioni 
finite. 
Per risolvere tali equazioni, non lineari e molto complicate, 
egli suppone le forza proporzionali ad un certo parametro θ e 
ammette le soluzioni di quelle equazioni sviluppabili in seria 
di potenze di θ; la legittimità di questo procedimento è stata 
poi provata, con metodi funzionali, dallo Stoppelli. 
 Egli dimostra anzitutto, salvo casi eccezionali, l’unicità di 
quello sviluppo in serie, poi osserva che il primo termine si 
riduce a quello fornito dall’elasticità ordinaria e lo studio delle 
condizioni d’integrabilità del secondo termine permette anzi 
di conoscere, in generale, lo spostamento di corpo rigido che 
nell’elasticità ordinaria si lascia indeterminato. Però, in 
qualche caso, l’esame del secondo termine dello sviluppo 
porta ad incompatibilità o indeterminazione: l’elasticità 
ordinaria non è in questi casi la prima approssimazione della 
teoria delle deformazioni finite; il risultato in discorso merita 
forse un ulteriore esame. Fino a questo punto egli suppone del 
tutto arbitrario il potenziale elastico, salvo qualche condizione 
qualitativa imposta dalla Fisica; in seguito invece egli si 
propone di trovare la sua espressione. 
È questo un problema che si chiama di vera Fisica-
Matematica (a differenza della Matematica Fisica che è solo 
lo studio analitico delle equazioni differenziali che si 
incontrano nella Fisica) che egli risolve introducendo la
8 
cosiddetta elasticità di secondo grado cioè ammettendo le 
tensioni funzioni di secondo grado delle deformazioni inverse. 
Supponendo inoltre i corpi isotropi e, come avviene nella 
gomma, incomprimibili (cioè nella deformazione non varia il 
volume; per questi corpi incomprimibili Signorini svolge 
un’ampia teoria) ottiene una forma del potenziale elastico in 
accordo con i risultati raggiunti da altri autori in base 
all’esperienza. 
Nello sviluppo di queste ricerche Signorini espone non solo le 
soluzioni complete di particolari problemi di equilibrio 
elastico, ma istituisce anche un’estensione della teoria 
ordinaria dell’elasticità studiando i piccoli spostamenti e le 
piccole deformazioni a partire da una condizione di equilibrio 
forzato e dimostrando che in questa nuova teoria valgono 
ancora teoremi classici di elasticità come, ad esempio, quello 
di Betti. 
Nella quarta delle memorie citate esamina le deformazioni 
finite per corpi vincolati. 
Questi ultimi studi lo portarono ad introdurre un problema di 
nuovo tipo: deformazioni di corpi elastici con condizioni 
ambigue al contorno; il problema si presenta ad esempio 
quando il corpo elastico è soggetto ad un appoggio rigido o 
cedevole e di cui non si conosce l’estensione dell’area di 
appoggio. 
La questione, interessante anche dal punto di vista analitico, è 
stata risolta in modo completo da Fichera.
9 
La sua teoria sulle deformazioni finite dette origine anche a 
numerosi studi dei suoi allievi in particolare del Tolotti ed è 
anche esposta, con indirizzo didattico, in un corso del 
C.I.M.E. e in un corso di Fisica-Matematica pubblicato in 
litografia (Veschi Roma). 
Per quanto riguarda i teoremi di media, di cui la maggior parte 
è contenuta in una memoria pubblicata negli Annali della 
scuola Normale Superiore, essi sono notevoli per la loro 
semplicità e generalità. 
In sostanza Signorini stabilisce formule per il valor medio 
delle tensioni (o delle tensioni moltiplicate per opportune 
espressioni) valide per qualunque sistema continuo. Da queste 
formule egli trae notevoli eguaglianze e disuguaglianze 
applicabili a qualunque mezzo (elastico, plastico, ecc.) e che 
perciò nell’ambito della scienza delle costruzioni offrono 
ottimi criteri per la sicurezza. 
I teoremi di media hanno dato origine a ricerche del Grioli ed 
altri. È di notevole importanza ricordare anche il suo trattato 
di Meccanica Razionale che, pur avendo scopo principalmente 
didattico, contiene vedute originali e profonde. 
L’opera scientifica del Signorini ottenne alti e meritati 
riconoscimenti. 
Poco più che trentenne ebbe l’ambita medaglia d’oro dei XL; 
era dal 1935 socio corrispondente e dal 1946 socio nazionale 
dell’Accademia dei Lincei di cui fu anche segretario.
10 
Era membro delle Accademie delle Scienze di Torino e di 
Bologna, dell’’Istituto Lombardo, dell’Accademia Pontanina 
di Napoli, dell’Accademia Petrarca di Arezzo. 
Era anche dottore “honoris causa” del politecnico di 
Karlsruhe. 
Dal 1938 faceva parte della redazione di questi Annali. 
Antonio Signorini fu Maestro nel senso più elevato della 
parola. Raggiunsero la cattedra universitaria o equivalente i 
suoi allievi: Tolotti, Cattaneo, Grioli, Bordoni, Manacorda e 
Tedone. 
Vasta era la sua cultura anche fuori dell’ambito strettamente 
scientifico. Era, fra l’altro, ottimo intenditore di musica, e 
conosceva perfettamente la lingua francese e la tedesca. 
Profondamente onesto, equanime nei giudizi, veramente 
signorile nel tratto, la sua dipartita lascia vivo rimpianto in 
tutti quanti ebbero la fortuna della sua preziosa amicizia.