Simulazioni storiche filtrate per il calcolo del VaR

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PREMESSA 
 
Gli ultimi provvedimenti in tema di vincoli regolamentari imposti dalle Autorità 
di Vigilanza internazionali hanno messo in luce l’esigenza degli intermediari 
finanziari di sviluppare dei modelli che possano consentire un calcolo efficiente 
del requisito patrimoniale delineato dagli Accordi di Basilea. 
Tali evoluzioni in ambito regolamentare hanno assunto una valenza crescente 
nell’ambito dell’analisi e la gestione dei rischi, portando alla nascita di 
metodologie, sviluppate dai risk manager, sempre più evolute per il calcolo del 
capitale regolamentare. 
La finalità di questo elaborato è quella di individuare il miglior modello ARMA-
GARCH per l’implementazione delle simulazioni storiche filtrate applicate alla 
gestione dei rischi di mercato. Lavorando sugli indici azionari S&P 500, 
Euro Stoxx 50 e Nikkei, si è inteso verificare tramite backtesting l’efficacia del 
modello a simulazioni storiche filtrate a confronto con i modelli a simulazione 
storica con e senza bootstrapping. L’analisi è stata condotta utilizzando il 
software di programmazione Matlab® che ha permesso di creare degli script 
ad-hoc per ogni step dell’analisi. 
La centralità dell’argomento è testimoniata dall’ampia letteratura in materia e 
dall’interesse operativo della metodologia da parte di organismi operanti a 
vario titolo sui mercati internazionali (banche d’investimento, clearing house).  
Il numero di eccezioni riscontrate con il backtest è pressoché in linea con 
quello ammesso dall’intervallo di confidenza scelto per il VaR, confermando 
l’importanza del metodo Filtered Historical Simulation negli ambienti operativi 
del risk management.  
 
 
 
 
Parole chiave: Simulazioni storiche filtrate, modelli ARMA-GARCH, 
simulazioni storiche, Value at Risk, backtesting.
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INTRODUZIONE 
Il Risk Management è un settore relativamente nuovo, nato agli inizi degli anni 
90’ con l’introduzione di una specifica regolamentazione internazionale 
(Basilea), che ha portato gli istituti di credito a dotarsi di proprie unità di 
valutazione del rischio ampliandone enormemente il ruolo nel tempo. La 
stessa regolamentazione, tuttavia, è stata rimessa in discussione diverse volte 
al fine di migliorare la modalità di quantificazione del rischio.  
Esistono, infatti, molti modi per quantificare il rischio, uno tra questi è il VaR 
(Value at Risk), che rappresenta la misura della massima perdita che una book 
o un portafoglio composto da diverse posizioni può subire, considerato un 
certo livello di confidenza, entro un determinato orizzonte temporale. 
In letteratura sono state proposte diverse modalità di calcolo del VaR, che si 
differenziano dal primitivo calcolo della funzione di densità delle perdite. Uno 
dei primi modelli proposti fu il RiskMetrics, sviluppato dalla banca 
d’investimenti J. P. Morgan, che è il più semplice dei metodi inizialmente 
proposti, perché assume che i fattori del rischio siano distribuiti normalmente, 
ma questo può portare ad una sottostima del rischio di incorrere in eventi 
estremi non favorevoli. In seguito, grazie allo sviluppo ed alla ricerca di metodi 
sempre più sofisticati, si passò a modelli via via sempre più complessi ed 
efficaci, che prendono il nome di metodi della full valuation. Essi, a differenza 
dei modelli iniziali, simulano diversi scenari, prendendo in considerazione la 
possibile evoluzione dei mercati dove, successivamente, verrà calcolato il VaR 
come percentile relativo ad essi. In seguito, sono stati proposti altri modelli, tra
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i quali si possono citare “le simulazioni storiche filtrate”. Queste rappresentano 
“il nuovo modello standard” per il calcolo dei margini delle maggiori casse di 
compensazione d’Europa (come, ad esempio, LCH Clearnet, CME Group 
OTC Clearing, EurexOTC Clear). Le simulazioni storiche filtrate sono un 
modello econometrico incentrato sull’analisi della distribuzione dei rendimenti 
della singola posizione o del portafoglio composto da più posizioni. La difficoltà 
del metodo è individuare il miglior processo, che descrive sia la media che la 
varianza della distribuzione. È pertanto evidente che l’applicabilità del metodo 
richiede una buona conoscenza della statistica e dell’analisi delle serie 
storiche. 
L’obiettivo che ci proponiamo nel presente lavoro è il calcolo della misura di 
rischio VaR, tramite il metodo delle simulazioni storiche filtrate, poste a 
confronto con le simulazioni storiche semplici. Al fine di testare l’efficacia di tali 
metodi, è stato condotto un backtesting, che prende in considerazione il 
periodo che va dagli anni immediatamente precedenti alla crisi del 2008 fino 
ad oggi. Si precisa che il backtesting è stato volutamente condotto in questo 
arco temporale al fine di verificare la sua affidabilità come metodo di calcolo 
del rischio. 
Il lavoro si articola nei seguenti punti: 
La parte prima evidenzia gli aspetti teorici riguardanti i vari metodi di calcolo. 
Nel primo capitolo viene descritta l’evoluzione dei modelli VaR, sia quelli 
parametrici che quelli basati sulla full valuation; mentre il secondo capitolo è
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totalmente incentrato sul VaR e sulla modalità di costruzione delle simulazioni 
storiche e delle simulazioni storiche filtrate. 
Nella seconda parte viene effettuata un’analisi empirica su tre indici azionari: 
EURO STOXX50, S&P500, NIKKEI. Quest’ultima è condotta grazie all’ausilio 
del software di programmazione Matlab® che ci ha permesso di creare degli 
script ad-hoc per ogni step dell’analisi. Per ogni indice vengono individuati i 
migliori processi ARMA-GARCH in grado di descriverne al meglio il 
comportamento futuro sulla base di quello passato. 
In seguito tali processi vengono collocati all’interno del modello a simulazioni 
storiche filtrate (FHS) per il calcolo del VaR. Il backtesting eseguito nell’ultima 
parte dell’elaborato serve a dimostrare l’efficacia previsionale di tale metodo. 
Le conclusioni chiudono il lavoro.
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Parte Prima 
ASPETTI TEORICI
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I. Evoluzione storica dei modelli per il calcolo del VaR 
 
1.1 I modelli parametrici 
I modelli VaR giocano un ruolo fondamentale per la gestione delle istituzioni 
finanziarie di ogni dimensione. Non a caso un numero sempre più elevato di 
modelli, di diversa complessità, è infatti utilizzato per stimare le perdite 
potenziali. La pietra angolare di questo tipo di modelli fu il modello lineare VaR 
basato sulle varianze e covarianze dei rendimenti storici, sviluppato dalla 
banca d’investimento J.P. Morgan alla fine degli anni 80’, a seguito del crash 
dell’87. In quegli anni il presidente Dennis Weatherstone chiese di ricevere alla 
fine di ogni giorno di borsa aperta un’informazione sintetica relativa al rischio 
che la banca aveva sul mercato. Il modello ebbe un successo immediato 
grazie al collegamento che aveva con la teoria moderna del portafoglio di 
Markowitz (1959), prevalente in quel momento. L’approccio parametrico
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 è in 
effetti il modello più semplice e veloce per il calcolo del VaR. La semplicità 
trova il suo fondamento nell’ipotesi di distribuzione normale dei rendimenti, con 
le variazioni del valore del portafoglio sono una combinazione lineare delle 
variazioni degli asset che lo compongono. Nell’approccio parametrico il calcolo 
del VaR è eseguito semplicemente come il prodotto tra il valore della posizione 
per la deviazione standard
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 moltiplicata per il quantile della distribuzione 
normale (variabile a seconda dell’intervallo di confidenza prescelto). 
                                                 
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 Viene definito tale perché necessita della stima dei parametri dalla serie storica. 
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 Misura della volatilità di un asset.