Teoria delle onde prodotte in acqua
8
Capitolo 1
TEORIA DELLE ONDE PRODOTTE IN ACQUA
1.1 Introduzione
Verranno ora analizzate nel dettaglio le principali teorie sul moto ondoso oggetto del
presente studio; inoltre, nel corso del capitolo, verranno descritte le modalità con cui tali
teorie vengono implementate durante le prove sperimentali attraverso l’utilizzo di
battionde per la produzione del moto ondoso artificiale.
Saranno quindi esposte le principali equazioni che governano la dinamica delle onde
seguendo le indicazioni di diversi studiosi che fino ad oggi hanno cercato di dare una
formulazione matematica a tali fenomeni.
1.2 Teoria trocoidale di Gerstner (teoria rotazionale)
La teoria di Gerstner, che risale al 1802, è la prima te oria del moto ondoso ed è relativa a
onde che si propagano in acque di profondità illimitat a (acque alte); essa si basa sulle
seguenti ipotesi:
- la superficie del pelo libero è una superficie isoba rica e in un certo istante ha un
andamento costituito da una serie di ondulazioni cilindriche che si propagano con
celerità costante; le sottostanti superfici isobaric he hanno un andamento simile a
quello dell’onda superficiale e si propagano con la stessa celerità;
- le linee di intersezione tra le suddette superfici isobariche con un piano verticale,
parallele alla direzione di propagazione delle onde, sono linee di flusso, per cui una
particella liquida appartenente in un dato istante a una di queste linee resta sempre
sulla linea stessa, la quale però si evolve nel tempo; la particella è quindi sottoposta
a una pressione costante nel tempo;
- le oscillazioni hanno un’ampiezza trascurabile rispetto alla lunghezza d ell’ onda per
cui la teoria di Gerstner è una teoria del 1° ordine.
Teoria delle onde prodotte in acqua
9
Fig. 1.1-1 Schema dell’onda trocoidale di Gerstner
Applicando quindi le equazioni dell’idrodinamica dei fluidi perfetti, Gerstner, con
riferimento a un sistema d’assi cartesiani con origine nella cresta dell’onda, asse delle x
orizzontale diretto nel senso della propagazione del moto ondoso e asse delle z verticale
diretto verso il basso, pervenne alle seguenti equazioni parametriche del profilo dell’onda:
(1.2-1)
dove H è l’altezza, T il periodo e W la velocità di propagazione dell’onda.
Le equazioni precedenti sono le equazioni parametriche dell’onda superficiale: facendo
variare t tra 0 e T, si ottengono le coordinate x e z del generico punto del profilo. Tali
equazioni rappresentano una trocoide circolare (luogo dei punti descritti da un punto
interno a un cerchio, quando questo rotola senza strisciare su un piano orizzontale); il
profilo dell’onda non è perciò rappresentato da una curva simmetrica, in quanto i cavi
sono più appiattiti rispetto alle creste.
Sempre secondo la teoria di Gerstner, le particelle liquide percorrono orbite circolari con
velocità angolare costante in un periodo T, per cui non c’è trasporto di materia; l’orbi ta
superficiale ha un diametro pari all’altezza d’onda H, mentre il diametro dell’orbita, e
quindi l’altezza dell’onda, si smorza con la profondità p con una legge esponenziale
molto rapida:
(1.2-2)
Le orbite delle particelle sono sincrone, per cui le creste e i cavi si verificano negli stessi
istanti, sia per le orbite superficiali, sia per quelle alle varie profondità.
Il profilo trocoidale dell’onda alla generica profondit à p è quindi ancora espresso dalle
equazioni precedenti, nelle quali occorre introdurre, al posto dell’altezza superficiale H,
l’altezza , data dalla 1.2-2.
Teoria delle onde prodotte in acqua
10
Nella figura sono rappresentati i profili dell’onda alle varie profondità.
La velocità orbitale della generica particella diminuisce con la profondità con la stessa
legge esponenziale dell’altezza:
(1.2-3)
L’appunto principale che viene mosso a questa teoria è c he, essendo Gerstner partito dalle
condizioni di quiete e avendo applicato le equazioni dei fluidi perfetti, doveva pervenire a
una soluzione irrotazionale, mentre si dimostra facilmente che la soluzione trovata presenta
un rotV ≠ 0 ; la seconda osservazione è che le equazioni riportate sopra indicano che il
senso di rotazione delle particelle liquide sulle orbite circolari è contrario alla velocità di
propagazione e ciò contrasta con le osservazioni sul moto ondoso reale.
Questa incongruenza può essere facilmente rimossa, cambia ndo il segno del secondo
termine del secondo membro nella prima equazione delle 1.2-1 (x=Wt+H/2 sin(2π/T)
) .
Fig. 1.1-2 Profilo e orbita delle onde a varie profondità secondo la teoria trocoidale
Poiché l’instabilità del profilo dell’onda, che dà orig ine al frangimento, si verifica non
appena la velocità orbitale superficiale U uguaglia la velocità di propagazione W, secondo
la teoria di Gerstner al frangimento si ha:
(1.2-4)
Teoria delle onde prodotte in acqua
11
cioè lo sviluppo della circonferenza descritta dalle part icelle superficiali in un periodo T è
uguale alla lunghezza L dell’onda ( L = πH ); in tale situazione la trocoide di Gerstner
degenera in una cicloide il cui andamento è caratterizzat o da cuspidi; mentre non possono
esistere onde caratterizzate da L < πH , in quanto la cuspide della cicloide diventerebbe un
cappio e tale circostanza è manifestamente assurda, com e si può osservare dalla figura 1.1-
3, nella quale sono schematicamente rappresentate le costruzioni della trocoide (L > πH ),
della cicloide (L = πH ) e della curva che si avrebbe per L < πH , a partire da una posizione
iniziale coincidente col cavo.
Quindi, secondo questa teoria, la ripidità massima dell ’onda al frangimento è data da:
(1.2-5)
Questo è un altro limite della teoria di Gerstner, in qu anto è noto che la massima ripidità
possibile è =1/7, quindi molto minore del valore limite dato dalla precedente equazione.
Ciò è dovuto al fatto che, essendo la teoria di Gerstne r una teoria del 1° ordine, non può
essere valida fino alle condizioni di frangimento, nelle quali l’altezza dell’onda non è più
trascurabile rispetto alla lunghezza.
È infine da osservare che, per onde di altezza H << L, la trocoide può essere assimilata a
una sinusoide, per cui la soluzione di Gerstner si avvicina alle teorie irrotazionali del 1°
ordine.
Fig. 1.1-3 Profilo dell’onda secondo la teoria trocoidale per diversi valori di H/L
Teoria delle onde prodotte in acqua
12
1.3 Teoria irrotazionale lineare (o del 1° ordine)
La prima teoria irrotazionale delle onde periodiche è d i Airy (1845) ed è stata
successivamente sviluppata e approfondita da Stokes (1847).
Si assuma un sistema di assi cartesiani con origine in un punto appartenente alla superficie
del pelo libero, asse delle x orizzontale diretto secondo la direzione di propagazione delle
onde e asse delle z diretto verso l’alto. Poiché il moto è irrotazionale, esiste un potenziale
di velocità, tale che:
(1.3-1)
essendo V la velocità, u,w e v le sue componenti secondo gli assi rispettivamente delle x,
delle z e delle y e s la direzione secondo cui è diretta V.
Le equazioni che si applicano sono quella di continuità i n forma indefinita e quella di moto
vario per un fluido perfetto:
(1.3-2)
(1.3-3)
Che possono essere così riscritte:
(1.3-4)
(1.3-5)
e quindi:
(1.3-6)
Per le onde di piccola ampiezza, si ipotizza che gli spostamenti siano così piccoli da poter
trascurare , perché infinitesimo del 2° ordine, per cui si ha:
Teoria delle onde prodotte in acqua
13
(1.3-7)
Questa equazione deve essere soddisfatta in tutti i punti del dominio; le condizioni al
contorno sono relative al fondo e alla superficie libera.
Al fondo ( ) non ci può essere componente verticale di velocità , per cui:
(1.3-8)
In superficie ( ) è e quindi:
(1.3-9)
e poiché è sempre molto piccolo, risulta anche:
(1.3-10)
Derivando rispetto al tempo questa equazione, si ottiene:
(1.3-11)
Avendo presente che / / = = si ha anche:
(1.3-12)
La soluzione delle equazioni 1.3-4 e 1.3-12, oltre a soddisfare le condizioni al contorno
sopra riportate, deve essere periodica nel tempo e nello spazio secondo la direzione x di
propagazione ed è data da:
(1.3-13)
Derivando rispetto al tempo si ha:
(1.3-14)
Teoria delle onde prodotte in acqua
14
Dalle 1.3-10 e 1.3-14 si ottiene quindi il profilo dell’onda in superficie:
(1.3-15)
equazione che rappresenta l’onda superficiale di Airy, la quale, in ogni istante, è
rappresentata da una curva simmetrica.
Come si può osservare, l’onda è periodica sia nello s pazio, sia nel tempo. Niente cambia,
ovviamente, a parte la fase dell’onda, se nell’ espressione 1.3-15 si fa figurare il seno
invece del coseno (per t=0, si avrebbe , anziché H/2 nel punto di ascissa x=0).
Per la componente verticale della velocità superficiale si ha:
(1.3-16)
Per onde di piccola ampiezza si può trascurare il prodot to ( )( )( ) rispetto a
( ), per cui:
(1.3-17)
D’altra parte si ha anche:
(1.3-18)
Uguagliando le due espressioni di si ottiene:
(1.3-19)
e quindi:
(1.3-20)
Per la velocità di propagazione W si ha:
(1.3-21)
Queste equazioni sono valide qualunque sia la profondità d del fondale.
Teoria delle onde prodotte in acqua
15
In acque alte, alla profondità p generica, l’integrazione delle equazioni differenziali po rta
alla soluzione:
(1.3-22)
dove in questo caso la rappresenta l’escursi one di livello rispetto al valore p della
profondità.
Si deduce quindi che l’onda ha la stessa lunghezza e lo st esso periodo dell’onda
superficiale, ma ha un’altezza data dalla 1.2-2 ( ; cioè l’altezza si riduce con
la profondità con una legge esponenziale molto rapida.
Se si determina mediante la seconda delle 1.3-1 la componente u secondo l’asse x della
velocità in superficie ( ), derivando rispetto a x la funzione potenziale ,
data dalle 1.3-13, si perviene, nel caso di acque alte (d > L/2 ), a una espressione di che,
a parte gli sfasamenti nello spazio e nel tempo, è la stessa della componente , calcolata
sempre in acque alte. Ciò significa che in acque alte l e orbite delle particelle liquide
superficiali sono circolari e sono percorse in un periodo T con una velocità U tangenziale
costante.
Analogamente, se si ricavano e si confrontano tra loro le componenti orizzontale e
verticale della velocità a una qualsiasi profondità p, si giunge allo stesso risultato: le orbite
delle particelle sono ancora circolari, ma hanno un diametro, pari all’altezza , che si
smorza con la profondità con la legge esponenziale 1.2-2; con la stessa legge si smorza la
velocità orbitale (1.2-3).
1.4 Teorie irrotazionali non lineari
Se vengono a mancare le condizioni di base fin qui supposte, in particolare l’altezza H non
è trascurabile rispetto a L, così da non poterne trascurare i quadrati e le potenze di ordine
superiore, è opportuno fare riferimento a teorie che f orniscano una migliore aderenza
all’effettivo manifestarsi del moto ondoso.
Se si pone:
(1.4-1)
la soluzione di Stokes per l’onda superficiale risulta essere la seguente:
Teoria delle onde prodotte in acqua
16
(1.4-2)
Dove le grandezze sono funzioni di L e della profondità d.
La teoria di Stokes è quindi di ordine superiore; conside rando nella 1.4-2 solo il primo
termine del secondo membro, si trovano i risultati della teoria del 1° ordine; considerando
il primo e il secondo termine si ha la teoria del 2° ordine; considerando genericamente fino
al termine ennesimo, si a la teoria di ordine n.
La teoria del 2° ordine di Stokes fornisce:
(1.4-3)
In acque alte ( d > L/2 ) diventa:
(1.4-4)
La 1.4-4 non è più una curva simmetrica rispetto all’asse delle z, ma presenta la cresta più
a cuspide del cavo; infatti, sempre in acque alte, calcolando la massima sopraelevazione
(cresta) che si ha quando gli argomenti dei due coseni dell’e quazione sono entrambi pari a
zero o multipli di 2π e calcolando analogamente il minimo livello (cavo), che si verifica
quando l’argomento del primo dei due coseni del secondo membro è pari a π o a multipli
dispari di π e di conseguenza l’argomento del secondo cose no è pari a 2π o a un multiplo di
2π, si ottiene:
(1.4-5)
e
(1.4-6)
Quindi i centri delle orbite delle particelle liquide non si trovano più sul livello dell’acqua
a riposo ma sopraelevate rispetto a questo della quantità s:
(1.4-7)
In figura sono tracciati i profili dell’onda del 1° e del 2° ordine in acque alte,
corrispondenti a una data ripidità ; naturalmente le differenze sono tanto più
accentuate quanto maggiore è la ripidità dell’onda.
Teoria delle onde prodotte in acqua
17
Fig. 1.4-1 Confronto tra i profili dell’onda del 1° e del 2° ordine
La celerità dell’onda W con la teoria del 2° ordine è la stessa di quella tro vata con la teoria
lineare, mentre cambia solo con la teoria del 3° ordi ne; in questo caso, in acque alte risulta:
(1.4-8)
e quindi
(1.4-9)
Si può osservare che, in prossimità del frangimento, la quantità entro la parentesi sotto la
radice vale circa 1.10; per cui la teoria del 3° ordine, nelle condizioni limiti, maggiora la
celerità del 5% circa rispetto a quella del 1° ordine.
Si dimostra che con la teoria del 2° ordine le orbite delle particelle liquide non sono
perfettamente chiuse, per cui in ogni periodo c’è un av anzamento delle particelle stesse nel
senso della propagazione del moto ondoso.
La velocità di avanzamento, alla profondità z, è data da:
(1.4-10)
In acque alte si ricava quindi per la velocità di trasp orto in superficie ( z=0 ):
(1.4-11)
Teoria delle onde prodotte in acqua
18
L’orbita superficiale non è più circolare, ma si pre senta più appiattita intorno al cavo
(figura 2.4-2) ed è tale che in ogni periodo si ha un avanzam ento nel senso della
propagazione dell’onda pari a , per cui una particella, che inizialmente si
trova nella posizione A, dopo un periodo T non ritorna in tale posizione, ma si sposta nella
posizione B; si vede che la velocità superficiale di trasporto è in genere molto piccola
rispetto a W, ma in prossimità del frangimento ( prossimo a 0.10) raggiunge un valore
vicino a 0.10 W e non è quindi più trascurabile.
Fig. 1.4-2 Orbite delle particelle secondo la teoria del 2° ordine
È da notare però che l’espressione generale 1.4-10 della velocità di trasporto non soddisfa
la condizione che essa sia nulla al fondo ( ) per effetto della viscosità e la
condizione che la portata media di trasporto attraverso una sezione verticale sia nulla,
condizione espressa da:
(1.4-12)
Studi di Longuet-Higgins hanno dimostrato che è impossibile risolvere il problema
tenendo conto di entrambe le condizioni sopra richiamate.
Considerando separatamente le due condizioni, si è perve nuti a una soluzione : in una
sezione verticale la velocità di trasporto (che ha un v alore integrale pari a zero) è diretta nel
senso di propagazione dell’onda nella zona più prossima al fondo; è invece diretta in senso
opposto nella zona centrale della corrente; mentre in superficie la direzione dipende dal
rapporto d/L tra la profondità d e la lunghezza d’onda L.
Precisamente risulta:
(1.4-13)
In figura 1.4-3 è rappresentato l’andamento di in funzione di vari rapporti ;
mentre la situazione di acqua alta ( > ) non è rappresentata.
Teoria delle onde prodotte in acqua
19
Fig. 1.4-3 Andamento della velocità di trasporto per diversi valori di
Si vede che le velocità di trasporto, in un senso o ne ll’altro, sono tanto maggiori quanto più
piccolo è il rapporto d/L, cioè quanto più basso è il fondale, a parità di L.
È da notare che, secondo altri studiosi, la velocità di trasporto sarebbe diretta sempre nel
senso di propagazione nelle zone prossime sia al fondo, sia alla superficie e in senso
opposto nella zona centrale della corrente.
1.5 Le onde in acque basse
Quando le onde, propagandosi, raggiungono un fondale , entrano in “acque
basse”, cioè incominciano a sentire la presenza del fo ndo. Lo studio viene effettuato
considerando la teoria delle onde al 1° ordine e suppone ndo che le variazioni di fondale
siano graduali. Si considera, inoltre, costante il periodo durante la propagazione del moto
ondoso in acque basse e pari al periodo dell’onda in acqu e alte.
Nella propagazione in acque basse le onde subiscono una serie di modifiche e più
precisamente:
- Cambia il profilo dell’onda;
Ricevi informazioni sui nostri servizi, sulle offerte e non perdere news e consigli su università e lavoro.
