2
A differenza di quanto avviene nei materiali trasparenti, in cui vi è una cospicua
penetrazione della luce e dove ha per lo più importanza lo scattering di volume dovuto
ad effetto elasto-ottico, nei materiali opachi viene messo in luce un rilevante contributo
dovuto all’effetto "ripple". Mentre la causa dell’effetto elasto-ottico risiede nelle
variazioni delle costanti dielettriche dei materiali indotte dalle deformazioni elastiche
del mezzo, l’effetto ripple trae origine dal fatto che le interfacce tra i diversi materiali
che costituiscono il campione hanno un profilo dinamico ondulato caratterizzato da una
ben precisa frequenza e vettore d’onda. L'interazione della luce con superfici di questo
genere si complica notevolmente e si ha un cambiamento di frequenza del fascio riflesso
per effetto Doppler. È evidente che quanto maggiore è la riflettività di un’interfaccia
tanto maggiore è il contributo dovuto all’effetto ripple.
Gli spettri Brillouin evidenziano anche l'esistenza di particolari modi acustici detti
pseudomodi di superficie che, pur nascendo dalla sovrapposizione delle onde di volume
riflesse alle interfacce, distribuiscono la propria energia vibrazionale per lo più nelle
immediate vicinanze della superficie. Tali modi si collocano comunque a frequenze
superiori rispetto ai modi di superficie propriamente detti ed in particolare popolano la
regione continua dello spettro.
Lo studio delle onde di superficie trova le sue più promettenti applicazioni nello
sviluppo di nuovi dispositivi acustici ed elettro-acustici: usando per esempio opportuni
trasduttori, un segnale elettrico può essere trasformato in un’onda acustica di superficie
la quale può essere direttamente utilizzata per il processamento dell’informazione e
successivamente riconvertita in segnale elettrico. Le onde acustiche, infatti, rispetto alle
onde elettromagnetiche di uguale frequenza, presentano vantaggi, quali minor velocità e
minor lunghezza d’onda, che permettono un migliore trattamento dei segnali.
Nel primo capitolo discuteremo dei modi acustici presenti in un materiale infinito e
seminfinito, distinguendo lo spettro discreto da quello continuo. In particolare
focalizzeremo la nostra attenzione sui modi di superficie evidenziandone le
caratteristiche peculiari.
3
Nel secondo capitolo introdurremo la teoria della risposta lineare e applicheremo il
teorema di fluttuazione-dissipazione al caso del continuo elastico che costituisce
un'ottima descrizione dei materiali dei quali intendiamo studiare i moti vibrazionali.
Nel terzo capitolo troveremo quindi l'espressione del tensore di Green acustico, che
costituisce la suscettività generalizzata da utilizzare all'interno del teorema di
fluttuazione-dissipazione.
Il quarto capitolo sarà invece dedicato alla teoria dello scattering di Brillouin e
verranno discussi entrambi i canali, ripple ed elasto-ottico, attraverso i quali esso può
avvenire.
Nel quinto capitolo, applicheremo la teoria precedentemente sviluppata al caso di
materiali stratificati in modo da trovare per essi la sezione d'urto differenziale di
scattering in funzione della frequenza fononica.
Infine, il sesto ed ultimo capitolo mostrerà i risultati ottenuti con il programma di
calcolo riportato in appendice, che verranno discussi e confrontati con gli spettri
sperimentali.
4
Capitolo 1
Onde acustiche in mezzi stratificati
1.1 Premessa
Se consideriamo un mezzo omogeneo ed infinito, vi è invarianza traslazionale per
spostamenti lungo qualsiasi direzione dello spazio. Questa simmetria viene rotta qualora
consideriamo un mezzo seminfinito in cui la superficie di separazione tra materiale e
vuoto elimina l’invarianza traslazionale nella direzione ad essa perpendicolare. In un
cristallo infinito le equazioni che descrivono il moto collettivo degli atomi hanno per
soluzioni onde piane con vettore d’onda reale; introducendo una superficie libera,
invece, lo scenario cambia notevolmente poiché in tal caso il vettore d’onda ammette
una componente zq complessa. Ciò provoca una distorsione delle onde di volume e la
nascita di nuovi modi che si propagano parallelamente alla superficie e che rimangono
localizzati in prossimità di questa, smorzandosi con la profondità in uno spessore di
poche lunghezze d’onda; per questa loro peculiarità tali modi sono detti di superficie.
Se estendiamo lo studio ad un mezzo seminfinito composto da più strati di materiali
diversi, la situazione si complica ulteriormente e si assiste alla nascita di ulteriori modi
vibrazionali localizzati in prossimità delle interfacce di separazione e all'interno degli
strati.
5
1.2 Onde acustiche di volume
Cominciamo dunque con l’analizzare un mezzo infinito ed omogeneo. Premettiamo
che siamo interessati ad una situazione in cui:
a
TK
>>
<<Ω
l
h
,
essendo Ω la pulsazione, l la lunghezza d’onda acustica ed a il passo reticolare. Le
precedenti relazioni giustificano l'applicazione della teoria dell’elasticità classica, grazie
al principio di corrispondenza della meccanica quantistica. Per sottolineare
l'adeguatezza di tale teoria, osserviamo anche che i fononi acustici con vettore d’onda q
prossimo all’origine della prima zona di Brillouin, una volta fissata la direzione di q,
hanno una relazione di dispersione ( )qΩ con ottima approssimazione lineare.
Per un mezzo elastico non sottoposto a forze di volume, l’equazione delle onde si
scrive:
∑
∂∂
∂
=
∂
∂
ikl li
k
ijkl
j
xx
u
C
t
u 2
2
2
r , (1.1)
ove
j
u è la componente dello spostamento lungo l’asse
j
x ,
ijklC è il tensore delle
costanti elastiche e r è la densità del mezzo.
La (1.1) è in realtà un sistema di tre equazioni differenziali alle derivate parziali che
ammette come soluzioni funzioni del tipo:
( )ti
jj
eAu Ω−⋅= rq . (1.2)
Queste vengono denominate onde di volume.
Sostituendo le (1.2) nel sistema (1.1), otteniamo il sistema lineare algebrico:
( ) 02 =−Ω∑
ilj
jliijkljk AqqCdr , (1.3)
le cui soluzioni non banali si hanno solo se si verifica la condizione di annullamento del
determinante:
( ) 02 =−Ω∑
il
liijkljk qqCdr . (1.4)
6
Fissato arbitrariamente il vettore reale q, la (1.4) diventa un’equazione cubica in 2Ω ,
le cui radici sono le frequenze delle onde di volume soluzioni del sistema (1.1). Ad ogni
autovalore 2Ω è associato un autovettore A, quindi, per ogni scelta di q, abbiamo tre
onde di volume le cui polarizzazioni formano una terna di vettori tra loro ortogonali.
Dei tre autovettori uno è associato ad un’onda quasi-longitudinale avente una
polarizzazione prevalentemente parallela al vettore di propagazione e due sono associati
ad onde quasi-trasverse la cui polarizzazione è quasi ortogonale al vettore q. Nel caso di
propagazione lungo una direzione di simmetria del cristallo o nel caso in cui il mezzo
sia isotropo, un’onda diventa longitudinale pura e le altre due trasverse pure.
1.3 Onde acustiche in materiali seminfiniti
Esaminiamo ora la situazione molto più complicata, illustrata in (fig.1.1), in cui si ha
un mezzo stratificato seminfinito composto da N film e da un substrato costituiti da
materiali a simmetria cubica. Gli assi cristallografici dei vari strati sono tra loro allineati
e le interfacce di separazione sono costituite da piani basali.
Il metodo utilizzato per risolvere il problema è detto metodo delle onde parziali e
consiste nello scrivere il campo degli spostamenti
j
u nei vari strati come combinazione
lineare delle onde che si avrebbero se questi fossero infiniti. Tuttavia, in questo caso
devono essere considerati vettori d'onda con componente zq in generale complessa, la
cui parte immaginaria è responsabile dello smorzamento delle soluzioni con z. Una
situazione simile è inaccettabile nel caso di mezzi infiniti in cui la simmetria
traslazionale in direzione verticale impone che tutte le caratteristiche fisiche, tra cui le
ampiezze dei moti vibrazionali, non cambino con z.
In particolare, consideriamo le onde che si propagano nel piano sagittale contenente
la direzione [100] in mezzi stratificati aventi interfacce di separazione parallele alla
superficie (001); senza perdita di generalità, possiamo supporre che la direzione [100]
coincida con l'asse x, la [010] con l'asse y e la [001] con l'asse z.
7
L’equazione delle onde si scrive nello strato generico sempre come la (1.1); tuttavia
bisogna ricordare che le costanti elastiche e la densità variano da strato a strato. Al fine
di esprimere più comodamente le costanti elastiche, introduciamo la notazione
matriciale, ottenibile attraverso la seguente sostituzione degli indici:
62112
53113
43223
333
222
111
→
→
→
→
→
→
→
→
→
,
,
,
mkl
nij
CC nmijkl
.
Scegliendo la terna cartesiana di riferimento nel modo sopra specificato, la matrice C
assume la seguente forma:
Film di Si
Film di SiO2
Substrato di Si
x
y
z
Figura 1.1: Geometria del sistema in esame nel caso particolare del SIMOX composto da un film di
silicio, da un secondo film di ossido di silicio e da un substrato di silicio.
8
=
44
44
44
111212
121112
121211
00000
00000
00000
000
000
000
C
C
C
CCC
CCC
CCC
C
Possiamo dunque scrivere per esteso il sistema omogeneo (1.1) utilizzando la
notazione appena introdotta e considerando che gli spostamenti devono essere
indipendenti da y. A conti fatti otteniamo il seguente sistema:
( )
( )
∂
∂
+
∂∂
∂
++
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
+
∂∂
∂
++
∂
∂
=
∂
∂
2
2
44
2
44122
2
112
2
2
2
442
2
442
2
2
2
44
2
44122
2
112
2
x
uC
zx
uCC
z
uC
t
u
z
u
C
x
u
C
t
u
z
uC
zx
uCC
x
uC
t
u
zxzz
yyy
xzxx
r
r
r
. (1.5)
Notiamo subito che, a differenza della prima e della terza, la seconda equazione è
completamente disaccoppiata dalle altre. Questo fenomeno è intrinsecamente connesso
col fatto che la direzione di propagazione dell’onda considerata è contenuta in un piano
di simmetria del cristallo; in generale, per direzione di propagazione qualsiasi, le tre
equazioni sono tra loro accoppiate.
La prima e la terza equazione descrivono il campo degli spostamenti che avvengono
nel piano sagittale, mentre la seconda descrive spostamenti trasversi paralleli al piano
orizzontale e dà luogo ai cosiddetti modi shear-horizontal. Grazie al principio di
sovrapposizione, derivante dalla linearità del sistema (1.5), la soluzione più generale
consiste nella sovrapposizione delle onde sagittali con le onde shear-horizontal. Poiché
anche le equazioni definite dalle condizioni al contorno risultano disaccoppiate, i due
problemi possono essere trattati separatamente; nel seguito, focalizzeremo la nostra
attenzione solo sulle onde sagittali e lavoreremo unicamente con il sottosistema formato
dalla prima e dalla terza equazione:
9
( )
( )
∂
∂
+
∂∂
∂
++
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
+
∂∂
∂
++
∂
∂
=
∂
∂
2
2
44
2
44122
2
112
2
2
2
44
2
44122
2
112
2
x
uC
zx
uCC
z
uC
t
u
z
uC
zx
uCC
x
uC
t
u
zxzz
xzxx
r
r
. (1.6)
Risolviamo il sistema (1.6) notando che, grazie all’invarianza traslazionale del
mezzo lungo l’asse x, possiamo proporre soluzioni del tipo:
( ) ( )
( )txqi
jj
ezutu
Ω−
= ||,r , (1.7)
ove
||
q è la proiezione di q sull’asse x.
Le (1.6), tenendo conto delle (1.7), danno luogo ad un sistema differenziale ordinario
nelle variabili ( )zu
j
, il quale ammette le soluzioni parziali
( )
zi
jj
eAzu a= (1.8),
che sostituite in esso permettono di giungere al seguente sistema algebrico omogeneo
nelle variabili Ax e Az:
( )
( )
0
22
11
2
||44||4412
||4412
22
44
2
||11 =
⋅
Ω−++
+Ω−+
z
x
A
A
CqCqCC
qCCCqC
raa
ara
. (1.9)
Fissato Ω e annullando il determinante della matrice al fine di trovare le soluzioni
non banali, otteniamo un’equazione biquadratica in a, le cui quattro soluzioni sono, a
due a due, una l’opposta dell’altra e una la complessa coniugata dell’altra.
Come si può vedere dalla (fig.1.2), sono possibili quattro diverse disposizioni delle
radici nel piano di Gauss; possiamo avere:
• quattro radici complesse (fig.1.2a),
• quattro radici immaginarie pure (fig.1.2b),
• due radici puramente immaginarie e due radici puramente reali (fig.1.2c),
• quattro radici reali pure (fig.1.2d).
La disposizione delle radici nel piano di Gauss è chiaramente funzione della frequenza
Ω ed ha importanti implicazioni sulla struttura dello spettro acustico, come avremo
occasione di vedere più avanti. Per il momento, limitiamoci a precisare che nei primi
10
due casi chiameremo 1a e 2a le soluzioni con parte immaginaria negativa e 3a e 4a
le soluzioni con parte immaginaria positiva.
Fissato ora un particolare autovalore ma , l’autovettore mA associato sarà tale che
( )
( )
m
||
m
||
m
x
m
zm
qCC
CqC
A
A
a
ar
h
4412
2
44
2
11
2
+
−−Ω
== , (1.10)
Re
Im
Re
Im
Re
Im
Re
Im
(d) (c)
(a) (b)
Figura 1.2: Disposizione delle radici del determinante del sistema (1.9) nel piano di Gauss. Sono
illustrate in maniera chiara le quattro possibilità.
11
per cui possiamo finalmente esprimere gli spostamenti come combinazione lineare delle
soluzioni parziali (1.8):
( )
( )
zim
x
m
m
z
x m
eA
zu
zu a
h
∑
=
=
4
1
1
. (1.11)
In realtà, come abbiamo già osservato,
ij
C e r dipendono dal materiale considerato,
per cui, detto p l’indice dello strato cui appartiene la coordinata z, possiamo modificare
leggermente la notazione precedente, rinominando le variabili utilizzate nella maniera
seguente: mpa ,
m
ph e
m
xpA .
I coefficienti mxpA che compaiono nella combinazione vengono fissati imponendo le
condizioni al contorno alla superficie libera e alle interfacce. In particolare, sulla
superficie libera imporremo l’annullamento della componente normale dello stress,
mentre alle interfacce imporremo la continuità degli spostamenti e delle componenti
normali del tensore degli sforzi.
Una volta definito il tensore degli sforzi come
l
k
kl
ijklij
x
uCT
∂
∂
= ∑ , (1.12)
possiamo scrivere le condizioni al contorno nella maniera seguente:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
=
=
=
=
⇒=
=
=⇒=
+
+
+
+
≠
+
+
=
tzxutzxu
tzxutzxu
tzxTtzxT
tzxTtzxT
zz
tzxT
tzxT
zz
ppzppz
ppxppx
ppxzppxz
ppzzppzz
p
p
ppxz
ppzz
p
p
,,,,
,,,,
,,,,
,,,,
0,,
0,,
1
1
1
1
1
1
1
1
. (1.13)
I pedici p e 1+p che compaiono nelle grandezze presenti nella (1.13) servono a
togliere le ambiguità relative allo strato nel quale esse sono valutate.
Le relazioni ottenute svolgendo tutti i calcoli e utilizzando l’espressione analitica
degli spostamenti (1.11), danno luogo ad un sistema algebrico omogeneo nelle incognite
m
xpA , che vengono trovate a meno di una costante moltiplicativa.
12
1.4 Spettro continuo e spettro discreto
Riprendiamo il sistema della condizioni al contorno (1.13) e contiamo il numero
delle equazioni e delle incognite. Se abbiamo un materiale composto da N film e da un
substrato, avremo in totale 24 +N equazioni. Il numero delle incognite, invece,
dipende dalla disposizione degli autovalori ma relativi al substrato nel piano di Gauss.
Infatti, se nei film tutti gli autovalori e le relative soluzioni parziali devono essere
accettate, così non è per il substrato ove dobbiamo esaminare separatamente tutte le
possibilità presentate nella (fig.1.2). Non è superfluo rammentare che la posizione
occupata dagli autovalori nel piano complesso è una funzione della frequenza Ω .
• Nella situazione in cui si abbiano quattro autovalori complessi, le due soluzioni
associate agli ma con parte immaginaria positiva devono essere scartate, poiché
danno luogo ad onde la cui ampiezza diverge per z→-∞, cosa fisicamente
inaccettabile. In tal caso, abbiamo 24 +N incognite costituite dai coefficienti mxpA .
Se pensiamo ad Ω come parametro libero del sistema, poiché abbiamo tante
equazioni quante incognite, avremo soluzioni non banali solo in corrispondenza di
certi autovalori
i
Ω , l’insieme dei quali costituisce la parte discreta dello spettro
acustico. Nel substrato, la sovrapposizione delle due autosoluzioni accettabili dà
origine ad un modo di superficie la cui ampiezza oscilla con la coordinata z
smorzandosi esponenzialmente con la profondità. Quanto appena detto è di facile
verifica per cui non riportiamo i calcoli relativi; precisiamo comunque che il vettore
degli spostamenti descrive un'ellisse la cui forma varia con la profondità.
• Se tutti gli autovalori sono puramente immaginari, per i motivi esposti discutendo il
caso precedente, dobbiamo accettare ancora le sole soluzioni parziali associate ad
1a e 2a . Nuovamente il sistema che traduce le condizioni al contorno ha tante
equazioni quante incognite, per cui le soluzioni ammissibili hanno frequenze
appartenenti allo spettro discreto. Le due onde presenti nel substrato si propagano
13
parallelamente all'asse x e si smorzano esponenzialmente con la profondità; il modo
di superficie risultante dalla loro sovrapposizione ha le stesse caratteristiche.
• Se invece abbiamo due autovalori reali e due immaginari, dobbiamo scartare
soltanto la soluzione parziale associata a quello con parte immaginaria positiva. Il
sistema delle condizioni al contorno vede pertanto 34 +N incognite, cioè una in più
rispetto al numero di equazioni e risulta risolvibile per ogni valore di Ω . Tali Ω
fanno parte dello spettro continuo. Delle tre soluzioni parziali accettabili nel
substrato, una rappresenta un’onda che viaggia lungo l'asse x e si smorza con la
profondità, mentre le restanti sono associabili a due onde piane di volume che si
propagano specularmente rispetto ad un piano orizzontale. La concomitanza delle
ultime due da origine ad un moto ondoso caratterizzato da un'ampiezza oscillante e
non smorzata lungo l'asse z.
Il modo che scaturisce dalla sovrapposizione delle tre onde appena esaminate è detto
modo misto, poiché è caratterizzato da componenti sia di volume sia di superficie.
• Nel caso in cui si abbiano quattro autovalori reali, possiamo accettare le onde
parziali relative a tutti gli ma . Il numero delle incognite eccede di due il numero
delle equazioni, cosicché il sistema è nuovamente risolvibile per ogni valore di Ω.
Ancora una volta tali Ω entrano a far parte dello spettro continuo.
Nel substrato, le quattro onde piane, qualora considerate a coppie, danno origine a
due moti ondosi caratterizzati da un'ampiezza oscillante con z. La sovrapposizione
di questi ultimi è propriamente detta modo di volume.
Grazie alle considerazioni precedenti, osserviamo che al variare della frequenza
pn 2Ω= alcuni modi rientrano nello spettro discreto ed altri nel continuo. Uno studio
più approfondito porta all'introduzione di una frequenza sΩ , detta frequenza di soglia,
al di sotto della quale lo spettro è discreto, mentre al di sopra è continuo. Verifichiamo
quest'ultima affermazione nel caso di un substrato isotropo e nel caso di un substrato
costituito da un cristallo cubico.
14
Per un materiale isotropo, come l'ossido di silicio, possiamo calcolare la frequenza di
soglia e caratterizzare i vari tratti dello spettro in un modo molto semplice. Iniziamo col
considerare la relazione 2
||
2 qqq −±=⊥ tramite la quale possiamo prontamente
asserire che per
||
qq < , ⊥q è puramente immaginario, mentre per ||qq > , ⊥q è reale.
Sappiamo inoltre che grazie all'isotropia del materiale abbiamo delle onde di volume
puramente longitudinali e puramente trasverse, caratterizzate da due particolari velocità,
rispettivamente
l
v e
t
v , che non variano con la direzione di propagazione. Tali velocità,
che risultano di fatto costanti, sono facilmente ricavabili tramite la prima delle (1.6). Se
consideriamo infatti un'onda piana longitudinale che si propaga lungo l'asse x, non
essendoci dipendenza da z, la prima delle (1.6) si scrive semplicemente:
2
2
112
2
x
u
C
t
u xx
∂
∂
=
∂
∂
r , (1.14)
da cui si ricava immediatamente che
r
11Cv
l
= . (1.15)
Analogamente, considerando un'onda piana trasversa che si propaga in direzione z,
eliminata ogni dipendenza dalla variabile x, la prima delle (1.6) diventa:
2
2
442
2
z
u
C
t
u xx
∂
∂
=
∂
∂
r (1.16)
e la velocità dell'onda risulta essere:
r
44Cv
t
= . (1.17)
Va osservato che la velocità dell'onda longitudinale è maggiore di quella dell'onda
trasversa.
A questo punto, consideriamo la relazione di dispersione vq=Ω tramite la quale
possiamo scrivere che
2
||2
2
q
v
q −
Ω
±=⊥ . (1.18)
15
Sostituendo nella precedente le due velocità longitudinale e trasversa del substrato,
otteniamo quattro valori di ⊥q i quali non sono altro che gli autovalori ma del sistema
(1.9). Possiamo dunque affermare quanto segue:
• se
||
qv
t
<Ω allora i quattro autovalori sono puramente immaginari e lo spettro
risulta essere discreto;
• se
||||
qvqv
lt
<Ω< abbiamo due autovalori immaginari e due reali; scartando quello
con parte immaginaria positiva, otteniamo un modo acustico costituito da una
componente evanescente e da due onde di volume trasverse, perciò questo tratto di
spettro risulta continuo e caratterizzato da modi misti;
• l'ultimo caso si ha quando
||
qv
l
>Ω ; tutti gli autovalori sono reali e lo spettro è
continuo e caratterizzato da onde di volume longitudinali pure e trasverse pure.
Possiamo dunque affermare che nel caso di substrato isotropo, la frequenza di soglia
coincide con la frequenza minima delle onde trasverse e risulta essere, grazie alla (1.17),
r
44
||
C
qs =Ω . (1.19)
Analogamente,
r
11
||
C
q
l
=Ω , (1.19)
ottenuta tramite la (1.15), viene denominata frequenza di soglia longitudinale.
Quanto abbiamo appena discusso, è stato ricavato in base a semplici e dirette
considerazioni fisiche. Abbiamo tuttavia risolto il sistema (1.9) nel caso di un substrato
di SiO 2 e, tracciando al variare della frequenza Ω il luogo degli autovalori ma , il
risultato ottenuto ha confermato in pieno l'esattezza delle conclusioni sopra riportate.
Il caso relativo ad un substrato cubico è assai più complicato e risulta impossibile
applicare direttamente le considerazioni utilizzate per descrivere il mezzo isotropo. Il
motivo è molto semplice e risiede nel fatto che le onde di volume, in generale né
Ricevi informazioni sui nostri servizi, sulle offerte e non perdere news e consigli su università e lavoro.
