1
IL MODELLO DI SELEZIONE DEL PORTAFOGLIO
SECONDO LA TEORIA DEL MERCATO DEI
CAPITALI
Premessa
Il presente capitolo ha lo scopo di illustrare la Moderna Teoria di Portafoglio
attraverso l’analisi dei più importanti studi condotti in materia.
Il lavoro è stato impostato introducendo i concetti di rischio e di rendimento, per poi
passare alla descrizione della relazione fondamentale che li lega.
Il secondo paragrafo ha l’obbiettivo di presentare il modello di Markowitz che sta alla
base della teoria del mercato dei capitali, mentre nella terza parte vengono forniti i
passaggi dell’evoluzione di tale modello, che si concludono con la rappresentazione
concettuale del Capital Asset Pricing Model.
In ultimo viene illustrato brevemente il modello multifattoriale di Ross (APT),
considerata la più valida alternativa al CAPM per la determinazione dei rendimenti attesi
dei titoli.
1.1 Il trade-off rischio rendimento
La relazione esistente tra rischio e rendimento assume un ruolo di estrema importanza
nella scelta degli investimenti finanziari.
Tale trade-off è stato dimostrato da svariate ricerche empiriche
1
, basate su rilevazioni
di dati storici di medio/lungo periodo, le quali hanno confermato che ad un maggior
livello di rischio
2
corrisponde un più elevato rendimento.
1
A tal proposito si veda SHARPE W. F., COOPER G. M. (1972), Risk-Return Classes of Nyse Common
Stocks 1931-1967, Financial Analysts Journal, March-April; FAMA E., MACBETH J. (1973), Risk, Return
and Equilibrium: Empirical Tests, Journal of Political Economy, May-June.
2
Per capire il significato di queste due variabili è opportuno introdurre il concetto di
investimento.
Partendo dal presupposto che gli individui preferiscano i consumi correnti a quelli
futuri, l’investimento può essere definito come un consumo differito nel tempo. In
sostanza, tale differimento deve attribuire agli individui un maggior potere d’acquisto nel
futuro rispetto a quello presente. Il maggior potere d’acquisto è ottenuto dalla
remunerazione del capitale investito sottoforma di rendimento assoluto positivo
3
.
Il tasso di rendimento o rendimento relativo di un titolo può essere calcolato ex-post o
ex-ante in base al momento in cui lo si intende calcolare. Nel caso di misurazione ex-post
il rendimento è il seguente:
null null null null null null nullnull null null nullnull null null
dove
null null = tasso di rendimento del titolo i-esimo
null null = prezzo di vendita del titolo al tempo 1
null null = prezzo di acquisto del titolo al tempo 0
null = pagamenti derivanti dal titolo (cedole, dividendi)
In questo caso, il rendimento è dato dalla variazione del prezzo più gli eventuali flussi
di cassa generati dal titolo nel periodo di detenzione.
Nell’altro caso invece, di misurazione del rendimento atteso (ex-ante), si devono
considerare i possibili valori che la variabile casuale rendimento assume per le
corrispondenti probabilità di accadimento.
In formula:
nullnullnull nullnullnull nullnull null
· null nullnullnull nullnull
2
Il rischio può essere inteso come la Deviazione Standard dei rendimenti, il Beta o altri particolari
indicatori di rischio calcolati attraverso l’analisi fondamentale delle società. Qualunque essa sia la sua
rappresentazione, il risultato degli studi empirici non cambia.
3
I fattori principali che influiscono sui rendimenti richiesti dagli investitori per il differimento del consumo
corrente sono:
il tasso di rendimento reale delle attività risk free (attività prive di rischio come i titoli di stato senza
cedole);
il tasso di inflazione;
il rischio associato all’investimento.
3
dove
nullnullnull null null = rendimento atteso del titolo i-esimo
n = numero di possibili risultati futuri
null null
= probabilità associata a ogni singolo rendimento
null null = singolo rendimento possibile
Dalla formula si evince che il rendimento atteso di un titolo non è altro che il valore
medio calcolato come sommatoria dei prodotti delle due variabili associate, rendimento e
probabilità di manifestazione.
Bisogna precisare che nel primo caso di misurazione, l’investitore possiede tutte le
variabili necessarie per il calcolo in quanto il titolo detenuto è giunto a scadenza (se si
tratta di un obbligazione) o è stato venduto. Nel caso di misurazione ex-ante, l’investitore
intende effettuare una scelta tra più titoli sulla base del rendimento offerto, ma
generalmente non conosce le variabili prezzo di vendita e pagamenti periodici
4
. Per
questo si tende ad associare un rendimento alla sua probabilità di manifestazione.
Nella realtà dei fatti però, attribuire una probabilità ai diversi scenari futuri possibili
risulta essere un esercizio inverosimile. Per superare questo grosso limite, la teoria
finanziaria sostituisce al concetto di incertezza il concetto di rischio e utilizza
quest’ultimo nei modelli finanziari. La nozione di rischio è quella che fa riferimento alla
volatilità intesa come misura della dispersione dei rendimenti passati intorno alla loro
media nel periodo preso in considerazione
5
.
In termini statistici, il rischio viene rappresentato attraverso due unità di misura: la
Varianza e la Deviazione Standard
6
.
Come è stato visto in precedenza per il calcolo del rendimento, anche l’analisi del
rischio può essere condotta ex-post ed ex-ante. Di seguito vengono rappresentate
rispettivamente le formulazioni della deviazione standard ex-post ed ex-ante.
4
Unica eccezione è rappresentata dagli Zero Coupon Bond. Questi titoli sono in grado, almeno in linea
teorica, di concedere all’investitore un rendimento certo in quanto vengono rimborsati ad un prezzo
prefissato (solitamente 100) e non prevedono pagamenti periodici. Inoltre la presenza dello Stato quale
emittente dei titoli è garanzia di solvibilità.
5
Per una trattazione esaustiva del trade-off rischio-rendimento si rinvia a GANDOLFI G. (2009), Scelta e
gestione degli investimenti finanziari, Bancaria Editrice, Roma, pp. 23 e sg.
6
La Deviazione Standard è semplicemente la radice quadrata della Varianza, pertanto nel corso del capitolo
sarà presa in considerazione soltanto la prima in quanto ha il pregio di essere espressa in termini
percentuali.
4
nullnullnull 1
nullnull1
nullnullnull null nullnull null null null null null nullnullnull
nullnullnullnullnullnull null nullnull null null null null null·null null null nullnullnull
dove
null = deviazione standard del titolo
null null = rendimento periodale del titolo
nullnull null = rendimento medio nel periodo complessivo
nullnullnull null null = rendimento atteso del titolo i-esimo
null null = probabilità associata a ogni singolo risultato
null = numero delle osservazioni o possibili risultati futuri
Da un punto di vista pratico, un investitore che voglia acquistare un titolo si
concentrerà sul rendimento medio e sulla dispersione dei rendimenti passati, poiché
costituiscono le più importanti informazioni disponibili. Com’è noto, i dati storici non
rappresentano una buona approssimazione del futuro, ma l’osservazione del rischio e del
rendimento ex-post fornisce una direzione su quello che ragionevolmente potrà essere il
rendimento e la volatilità del titolo nei periodi successivi.
Occorre precisare che i dati sul rischio e sul rendimento di un titolo mobiliare sono
sufficienti per la sua valutazione a condizione che tali rendimenti siano ripartiti secondo
una distribuzione normale
7
, ovvero una distribuzione simmetrica. In altre parole, la
simmetria della campana di Gauss (Figura 1.1) implica che la probabilità di avere un
rendimento maggiore o minore a quello medio atteso di un titolo sia la medesima
8
.
7
La distribuzione normale è anche definita Gaussiana dal nome del matematico tedesco che l’ha introdotta,
Carl Friedrich Gauss.
8
Per approfondimenti si veda SPIEGEL M. R. (1992), Statistica, Etas Libri, Milano, pp. 124 e sg.
5
Figura 1.1 - Distribuzione normale di un titolo mobiliare.
Perciò, ipotizzando che la variabile rendimento ex-post nullnull nullnull sia una variabile continua
con distribuzione normale di frequenza e con media (nullnull null ) e varianza null null null , si avrà che:
il rendimento nel 68,27% dei casi è compreso tra nullnull null nullnull null e nullnull null nullnull null ;
il rendimento nel 95,45% dei casi è compreso tra nullnull null null2null null e nullnull null null2null null ;
il rendimento nel 99,73% dei casi è compreso tra nullnull null null3null null e nullnull null null3null null .
E’ opportuno puntualizzare che le caratteristiche di una distribuzione normale valgono
generalmente nel breve periodo. Infatti, osservando una distribuzione dei rendimenti
annuali di un titolo, si potrebbero incontrare rendimenti maggiori al 100%, ma nessuno
inferiore al -100%
9
in quanto i prezzi dei titoli possono azzerarsi ma non assumere valori
negativi.
Tirando le somme, si può facilmente affermare che dovendo scegliere tra due
alternative di investimento, un individuo avverso al rischio predilige l’investimento che
offre un rendimento maggiore e allo stesso tempo un rischio inferiore. In termini
matematici:
nullnullnull null null null nullnullnull null null e null null null null null
9
Nel caso di periodi superiori ad un anno, la distribuzione dei rendimenti è approssimata da una funzione
lognormale (funzione asimmetrica con la coda destra del grafico più allungata).
6
Nel gergo finanziario, le disuguaglianze qui sopra implicano che il titolo x domina
quello y. Se i due investimenti avessero lo stesso grado di rischio, si sceglierebbe il titolo
con rendimento maggiore. Allo stesso modo, a parità di rendimento sarebbe favorito
l’investimento che presenta una deviazione standard minore.
La rappresentazione grafica del trade-off tra rischio e rendimento può essere
facilmente generalizzata nella figura 1.2.
Figura 1.2 - Rischio e rendimento nel piano cartesiano.
Come si può notare, il piano cartesiano, che riporta sull’asse delle ascisse la misura del
rischio (deviazione standard) e sull’asse delle ordinate il rendimento atteso, è stato
suddiviso in quattro quadranti proprio nel punto corrispondente alle caratteristiche del
titolo x
10
.
Sulla base del principio della dominanza è possibile affermare che nel primo quadrante
si collocano i titoli che dominano x, poiché presentano rendimento atteso maggiore e
deviazione standard minore. Al contrario, nel quarto quadrante si trovano i titoli dominati
da x, in quanto possiedono rendimento atteso minore e un maggior grado di rischio.
Per quanto riguarda i titoli collocati nel secondo e terzo quadrante, non è possibile
definire a priori se questi siano migliori o peggiori di x dal momento che la scelta
dell’investimento dipende dal grado di avversione al rischio del singolo soggetto. Pur
sapendo che tutti gli investitori sono avversi al rischio, è ragionevole pensare che ognuno
ha una sua propensione allo stesso. Di conseguenza, nel terzo quadrante saranno situate le
10
Si noti che lo stesso discorso vale anche per un portafoglio di titoli, in quanto caratterizzato anch’esso da
una determinata relazione rischio-rendimento.
7
preferenze di soggetti che si accontentano di rendimenti minori a fronte di rischi minori,
mentre nel secondo si collocheranno i titoli che offrono rendimenti maggiori con un grado
di rischio più elevato
11
.
Nel proseguo del capitolo si avrà modo di constatare come il grado di avversione al
rischio di un soggetto sia di fondamentale importanza nella scelta di un singolo titolo o di
un portafoglio che rispecchi le esigenze di quello specifico investitore.
1.2 Il modello Media Varianza
Fin qui sono stati introdotti i concetti di base per la selezione di un singolo titolo. In
questo paragrafo si delineeranno i fondamenti della moderna teoria di portafoglio (MPT),
ovvero il modello di Markowitz. Nel 1952 Harry Markowitz dimostrò matematicamente i
vantaggi ottenibili dall’investimento in una pluralità di titoli, attestando i benefici della
diversificazione
12
. Prima di passare ad esaminare i risultati di tale modello è essenziale
procedere all’analisi del trade-off tra rischio e rendimento in un ambito più ampio, quello
di un portafoglio.
1.2.1 Il portafoglio di titoli
Nel mercato dei capitali, gli investitori più razionali non cercano unicamente di
massimizzare il profitto detenendo quel singolo titolo con rendimento atteso maggiore,
ma prestano altresì particolare attenzione al rischio. Per far ciò, è necessario selezionare
una pluralità di titoli in modo tale da mitigare il rischio senza ridurre il rendimento.
Questo vantaggio può essere dimostrato attraverso le espressioni statistiche del rischio
e del rendimento di un portafoglio di titoli. Analogamente a quanto visto nel caso di una
singola attività finanziaria, è possibile compiere l’analisi sia ex-post che ex-ante.
Il rendimento ex-post di un portafoglio è ottenuto semplicemente dalla media
ponderata dei rendimenti dei singoli titoli, dove la ponderazione è rappresentata dal peso
che i titoli hanno nel portafoglio. Allo stesso modo si può procedere nel calcolo del
11
GANDOLFI G. (2009), op. cit., pp. 32-33.
12
Per un esame più dettagliato si veda utilmente MARKOWITZ H. M. (1952), Portfolio Selection, Journal
of Finance, 7, pp. 77-91.
8
rendimento ex-ante, sostituendo alla formulazione i rendimenti passati dei singoli titoli
con quelli attesi. Di seguito viene proposta rispettivamente l’equazione ex-post e quella
ex-ante.
null null null nullnull null ·null null null nullnullnull
null null null null null nullnullnullnullnull nullnull·null null null nullnullnull
dove
null null = rendimento del portafoglio di titoli
null null = rendimento dell’attività i-esima
null null null null null = rendimento atteso del portafoglio di titoli
nullnullnull null null = rendimento atteso dell’attività i-esima
null null = peso dell’attività i-esima, calcolato come valore di mercato del titolo diviso il
valore di mercato dell’intero portafoglio
Osservando le due espressioni, si può facilmente affermare che il rendimento di un
portafoglio non è altro che la media ponderata dei rendimenti dei singoli titoli che lo
compongo.
Come è stato accennato all’inizio di questo paragrafo, la selezione di più titoli permette
di ottenere, a parità di rendimento, un portafoglio caratterizzato da un grado di rischio
inferiore rispetto alla media ponderata delle singole deviazioni standard. Per arrivare a
tale risultato, Markowitz prende in considerazione un ulteriore variabile che rappresenta la
covarianza tra i rendimenti di ogni coppia di titoli che è possibile formare all’interno del
portafoglio. La covarianza può essere rappresentata nel seguente modo:
nullnullnull null,null null
1
nullnull1
null null null null,null nullnull null nullnull · null null null,null nullnull null null null
null nullnullnull
(con i ≠ j)
13
13
Nel proseguo del paragrafo si ometterà il significato dei singoli termini delle equazioni essendo ormai
noti.
9
La formulazione chiarisce come la covarianza sia una misura della congiunta
dispersione dei rendimenti di due titoli intorno alla loro media
14
. Tale misura della
dispersione può presentare segno positivo o negativo a seconda dell’andamento dei
rendimenti dei due titoli. Nel caso di covarianza positiva si ha una situazione in cui
entrambe le attività finanziarie registrano rendimenti che sono superiori alla loro media.
Si ha covarianza negativa, invece, quando un titolo ottiene rendimenti superiori alla sua
media e l’altro inferiori alla propria. Si può quindi dire che in quest’ultimo caso i
rendimenti dei due titoli si muovono sommariamente in senso opposto.
Dalla covarianza è possibile ricavare il Coefficiente di correlazione (ρ), il quale ha la
caratteristica di essere di immediata lettura essendo compreso tra -1 e +1. Un coefficiente
uguale a +1 implica che due titoli hanno una perfetta correlazione positiva, ovvero i due
rendimenti si muovono parallelamente nella stessa direzione; un rho (ρ) pari a -1, al
contrario, indica che le due attività finanziarie ottengono una performance, in termini di
rendimento, diametralmente opposta. Nell’altro caso estremo, dell’indicatore con valore
nullo, si ha una totale indipendenza dei rendimenti. Il Coefficiente di correlazione viene
calcolato secondo la seguente equazione:
null null,null null
nullnullnull null,null null null · null null
Chiariti i concetti di covarianza e correlazione, è importante definire la deviazione
standard di un portafoglio. Come in precedenza, anche a questo riguardo l’analisi può
essere condotta ex-ante ed ex-post
15
. La formulazione è così espressa:
null null null null nullnullnullnullnull null,null ·null null ·null null null nullnullnull null nullnullnull
Scomponendo e utilizzando il coefficiente di correlazione è possibile riscrivere
l’espressione nel seguente modo:
14
Per approfondimenti sulla covarianza e sue derivazioni si veda COLOMBINI F., DE SIMONI M.,
MANCINI A. (2000), La gestione dei portafogli azionari. Modelli e tecniche per l’attività di asset
management, Bancaria Editrice, Roma, pp. 26-29.
15
Per motivi di ridondanza verrà presentata una sola formulazione, poiché simbolicamente l’espressione è
identica. La differenza sostanziale è data dalla modalità di calcolo della varianza e del rendimento del
singolo titolo (analisi ex-ante o ex-post, pp.1-3).
10
null null null null nullnull null null ·null null null nullnullnullnull null ·null null ·null null ·null null ·null null,null null nullnullnull null nullnullnull null nullnullnull
(con i ≠ j)
Il primo termine dell’equazione qui sopra costituisce semplicemente la sommatoria dei
prodotti delle varianze e dei pesi al quadrato dei titoli in portafoglio. In sostanza
rappresenta il rischio dell’intero portafoglio se tutti i titoli fossero correlati positivamente
in modo perfetto
16
. Pertanto la diminuzione del rischio complessivo del portafoglio è da
imputarsi al secondo termine dell’espressione.
Markowitz, attraverso i suoi studi, è stato in grado di arrivare all’importante risultato
che combinando un elevato numero di titoli imperfettamente o negativamente correlati tra
loro, si riesce a diminuire notevolmente, a parità di rendimento atteso, il rischio del
portafoglio
17
.
1.2.2 Aspetti generali del modello
Sotto un profilo teorico, il modello Media Varianza di Markowitz fornisce un
procedimento per l’individuazione dell’insieme di portafogli efficienti composti da titoli
compresi nell’universo delle attività finanziarie con rendimento soggetto a rischio.
E’ importante sottolineare che un investitore seleziona un portafoglio titoli in modo da
ottimizzare il rapporto rischio-rendimento secondo le principali ipotesi del modello.
Queste ultime possono essere riassunte nei seguenti punti
18
:
selezione dei portafogli sulla base del rendimento medio atteso e della dispersione
attesa dei rendimenti (Modello Media Varianza);
16
Si tratta di un caso impossibile nella realtà del mercato dei capitali. Si vedrà in seguito che la maggior
parte dei titoli azionari sono positivamente correlati tra loro ma non perfettamente (-1 < ρ < +1).
17
Il concetto di diversificazione qui illustrato, misurato dal coefficiente di correlazione lineare, è chiamato
diversificazione “à la Markowitz” e si contrappone al concetto di diversificazione “naif” poiché
quest’ultima si sostanzia nella pratica finanziaria di investire in un certo numero di attività finanziarie
emesse in paesi diversi, appartenenti a settori differenti e attive in comparti indipendenti. La
diversificazione “naif” è caratterizzata da un approccio soggettivo che prescinde dalle considerazioni di
natura quantitativa della diversificazione basata sui coefficienti di correlazione.
18
Si noti che tali ipotesi possono essere distinte in principali e implicite. Per un’analisi più dettagliata si
veda SAMPAGNARO G. (2005), Asset Management: tecniche e stile di gestione del portafoglio,
FrancoAngeli, Milano, p. 16.
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