Risposta tenso-deformativa di una sabbia compattata

Capitolo 1                                                                                               Introduzione 
 
                                                                                                                                  1 
CAPITOLO 1 
INTRODUZIONE 
 
 
 
 
 
 
1.1 Impiego dei materiali a grana grossa 
I terreni a grana grossa costituiscono da sempre un’importante risorsa 
del’ingegneria civile, essendo impiegati nella costruzione di numerose 
infrastrutture (ad esempio dighe, rilevati stradali, bonifica dei sottofondi). Il loro 
vasto impiego è dovuto alle ottime proprietà meccaniche di cui essi godono. 
Infatti i terreni a grana grossa garantiscono con ottime prestazioni le funzioni 
statiche dei rilevati; la loro elevata permeabilità semplifica la soluzione di 
numerosi problemi nella gestione delle opere; la deformabilità delle strutture 
realizzate con questi materiali, rispetto a quelle costruite con conglomerati 
cementizi, consente di ammortizzare cedimenti differenziali anche rilevanti; essi 
inoltre, modellandosi, si adattano al territorio anche quando questo presenta una 
morfologia accidentata; infine sono facilmente reperibili e di conseguenza hanno 
un costo unitario relativamente basso rispetto ad altri materiali da costruzione. 
Tuttavia, a causa delle eccellenti proprietà meccaniche, scarsa attenzione è stata 
dedicata alla loro conoscenza, mentre ci si è affidati, nel campo delle applicazioni, 
prevalentemente a considerazioni di carattere empirico. I recenti progressi della 
ricerca hanno reso disponibili tecniche di indagine sperimentale e modelli teorici 
sempre più sofisticati, capaci di effettuare previsioni sul comportamento 
meccanico dei terreni molto più accurate che in passato. Tutto ciò ha avuto 
l’effetto di migliorare l’utilizzo dei materiali, sfruttandone al meglio le prestazioni 
e riducendo i costi connessi alla realizzazione dei manufatti, e al contempo di 
favorire affidabili previsioni del grado di sicurezza delle opere a fronte di possibili 
situazioni limite.
Capitolo 1                                                                                               Introduzione 
 
                                                                                                                                  2 
Nell’ingegneria geotecnica va oggi assumendo sempre più importanza il problema 
del controllo dei requisiti di sicurezza nei confronti dello stato limite di esercizio. 
Infatti lo studio delle condizioni tenso-deformative ha messo in evidenza che, 
sebbene spesso si focalizzi l’attenzione sulle condizioni limite che portano al 
collasso una determinata opera, talvolta desta più preoccupazione il 
comportamento che i terreni manifestano nelle condizioni di esercizio, ovvero a 
bassi livelli di deformazione. A riprova di ciò basta considerare che le 
deformazioni che in campo statico vengono indotte nel terreno dai manufatti sono 
contenute, in condizioni di esercizio, in un campo che varia dallo 0.001% all’1%. 
Tuttavia l’utilizzo di apparecchiature di laboratorio tradizionali, indagando il 
comportamento del terreno a livelli di deformazione ben più alti rispetto a quelle 
osservate in sito, porta a sottostimare le rigidezze, comportando errori nella 
previsione degli spostamenti del sistema struttura-terreno, con conseguenti 
sovradimensionamento dei manufatti e aggravio dei costi. Per tale motivo sono 
state sviluppate numerose tecniche di laboratorio, tra cui quelle basate 
sull’impiego degli L.D.T. (Traduttore di Deformazione Locale), volte ad ottenere 
misure sempre più accurate e precise di tensioni e spostamenti.  
 
1.2 Materiali sabbiosi 
Tra le varie tipologie di terreni a grana grossa impiegati nella pratica 
ingegneristica, in questa sperimentazione si ci è interessati dello studio del 
comportamento dei materiali sabbiosi, i quali dal punto di vista granulometrico 
sono caratterizzati da grani di dimensioni comprese tra 0.06 e 2 mm. 
 
Argille Limi Sabbie Ghiaie 
grosse fini medi grossi fini medie grosse fini medie grosse 
 
 
 
 
Figura 1.1 – Classi granulometriche. 
 
0,002 0,006 0,02 0,06 0,2 0,6 2 6 20 60 
 
Dimensioni dei grani [mm] 
0,0006
Capitolo 1                                                                                               Introduzione 
 
                                                                                                                                  3 
Sebbene nel caso dei terreni sabbiosi, a differenza di quelli argillosi, sia prassi 
ricorrere a prove in sito per la determinazione dei parametri meccanici per via 
dell’impossibilità di prelevare campioni indisturbati, un inquadramento generale 
del comportamento del materiale può aversi solo attraverso prove di laboratorio, 
in quanto solo in questo modo è possibile controllare le condizioni al contorno e 
conoscere la storia tensionale del provino. Pertanto nel presente lavoro lo studio 
del comportamento delle sabbie è stato condotto mediante l’esecuzione di prove 
di laboratorio su provini ricostituiti.  
I materiali sabbiosi presentano alcuni caratteri peculiari che li differenziano dalle 
argille; tra questi due sono quelli che meritano particolare attenzione: 
 mancanza di un legame univoco tra volume specifico e stato tensionale. 
Questo aspetto comporta la possibilità di realizzare campioni di sabbia con 
diversi volumi specifici, pur mantenendo la tensione nulla. Ne consegue 
che per le sabbie si può supporre l’esistenza di infinite curve di 
normalconsolidazione (NCL) nel pano v-lnp’, le  quali tra l’altro risultano 
meno pendenti di quelle delle argille a causa della bassa compressibilità  
che caratterizza le sabbie. 
 snervamento delle sabbie indotto prevalentemente dall’applicazione di 
sforzi deviatorici. 
 
1.3 Contenuto della tesi 
La necessità di prevedere, in fase di progetto, il comportamento delle opere 
geotecniche correlandolo alle caratteristiche dei materiali adoperati è stato il punto 
di partenza della tesi proposta. 
Il presente lavoro rientra nell’ambito di un’attività di ricerca mirata a chiarire, sia 
da un punto di vista sperimentale che teorico, i caratteri fondamentali del 
comportamento meccanico dei materiali sabbiosi. La fase sperimentale dello 
studio, svolto presso il laboratorio di Geotecnica e Strade (La.G.S.) 
dell’Università degli Studi di Cassino, ha comportato l’esecuzione di numerose 
prove triassiali su campioni di sabbia preparati in laboratorio. Il programma di 
prove è stato articolato con l’intento di indagare la risposta dei terreni compattati a 
diversi livelli di addensamento, sottoponendo questi ultimi a vari livelli di
Capitolo 1                                                                                               Introduzione 
 
                                                                                                                                  4 
tensione e a percorsi di carico monotonici in compressione e in estensione. La 
notevole precisione della strumentazione di laboratorio adoperata ha consentito di 
svolgere tale analisi a partire da piccoli livelli di deformazione. Alla fase di 
sperimentazione ha fatto seguito quella di inquadramento teorico dei risultati 
sperimentali, volta a sintetizzare le osservazioni sulla risposta tenso-deformativa 
del materiale indagato in opportuni modelli costitutivi. A tale scopo si è fatto 
riferimento a due modelli costitutivi elasto-plastici, basati sulla teoria dello stato 
critico. Il secondo modello, scaturito da una modifica del primo, è stato concepito, 
combinando tra loro alcune relazioni ricavate dalla letteratura, per ottenere una 
migliore simulazione dei comportamenti osservati sperimentalmente. 
Il primo capitolo è dedicato all’analisi della meccanica dei terreni incoerenti. 
Dopo alcuni richiami sulla meccanica del continuo, necessari per introdurre le 
variabili tensionali e deformative impiegate nelle fasi successive, vengono 
riassunte le peculiarità che contraddistinguono il comportamento delle sabbie da 
quello dei materiali a granulometria più fine. La restante parte del capitolo è 
incentrata sull’inquadramento teorico delle leggi costituenti i capisaldi della 
modellazione costitutiva. Nell’ampia casistica di modelli costitutivi disponibili in 
letteratura, quelli in grado di riprodurre nel modo più veritiero possibile il 
comportamento dei materiali incoerenti sono i modelli elasto-plastici, basati sulla 
teoria dello stato critico. Dunque un ampio paragrafo è stato dedicato alla 
descrizione dei fondamenti della teoria dello stato critico, così come illustrati dai 
vari autori che negli ultimi trent’anni ne hanno permesso lo sviluppo, e alle 
implicazioni da essi causati sul comportamento delle sabbie dense e sciolte 
sottoposte a prove di rottura. Successivamente vengono presentati due criteri di 
rottura, quello di Mohr-Coulomb e quello di Lade e Duncan, proposto negli anni 
settanta per superare i limiti del primo. Infine vengono passate in rassegna le 
diverse leggi di incrudimento e leggi di flusso messe a disposizione dalla 
letteratura. 
Nel terzo capitolo viene illustrata l’apparecchiatura utilizzata nella 
sperimentazione. Dopo la descrizione delle componenti della macchina e delle sue 
modalità di funzionamento, si espongono brevemente i vantaggi derivanti 
dall’utilizzo dei trasduttori di spostamento LDT per la misura locale delle
Capitolo 1                                                                                               Introduzione 
 
                                                                                                                                  5 
deformazioni. Viene, poi, fissata l’attenzione sul sistema di regolazione delle 
pressioni, sul sistema di acquisizione dei dati e sulle modalità con cui il software 
gestisce il controllo della macchina (attuazione e misura). 
Nel quarto capitolo, una volta esaminato il materiale sottoposto alla 
sperimentazione e le sue caratteristiche fisiche, si passa alla descrizione delle 
procedure relative alla preparazione dei campioni al minimo e al massimo grado 
di addensamento, alla corretta installazione degli LDT assiali, alla saturazione del 
campione e all’inizializzazione della prova. Lo scopo è stato quello di definire 
delle procedure standardizzate in modo tale da ridurre al minimo gli errori legati 
alla procedura di sperimentazione. Viene, inoltre, riportato il programma di prove, 
che è stato articolato con l’intento di esaminare la risposta della sabbia compattata 
a diversi livelli di addensamento e sottoposta a diversi percorsi di tensione. I 
risultati sperimentali ottenuti sono posti a confronto sia relativamente alla fase di 
compressione isotropa, sia alla fase di taglio, facendo unicamente riferimento alle 
misure di deformazione interne. 
Il quinto capitolo è dedicato all’inquadramento teorico dei risultati sperimentali 
ricavati. A tale scopo sono stati applicati due modelli costitutivi elasto-plastici, il 
modello di Muir Wood e quello di Muir Wood modificato, concepito a seguito 
dell’osservazione di una inaspettata dipendenza dello stato critico dai percorsi 
tensionali applicati. I due modelli sono stati perfezionati al fine di trovare il set di 
parametri in grado di simulare nel miglior modo possibile i comportamenti 
osservati sperimentalmente. 
Il sesto capitolo riassume i principali risultati della sperimentazione condotta sulla 
sabbia di Fossanova e della modellazione costitutiva.
Capitolo 2                                                              Meccanica dei Terreni Incoerenti 
 
                                                                                                                                6 
 
CAPITOLO 2 
MECCANICA DEI TERRENI INCOERENTI 
 
 
 
 
 
 
2.1 Introduzione 
Il comportamento delle terre, strettamente legato alla natura particellare, è di tipo 
non lineare, irreversibile e fortemente dipendente dalla storia tensionale e dalla 
direzione del percorso di carico. Inoltre le difficoltà di osservare direttamente il 
terreno ubicato nel sottosuolo comportano una non corretta determinazione delle 
caratteristiche dello stesso, le quali possono essere ricavate esclusivamente 
dall’esame di campioni di piccole dimensioni, prelevati in un numero discreto di 
punti. La combinazione di tutti i fattori elencati è fonte di difficoltà e incertezze 
nella risoluzione dei problemi geotecnici. 
Una soluzione alla pressante necessità di prevedere il comportamento dei terreni 
consiste nello schematizzare un reale problema geotecnico attraverso un modello 
matematico che definisca in maniera adeguata i legami costitutivi dei materiali. 
Tali modelli riproducono tanto più fedelmente la realtà quanto maggiori sono le 
informazioni e precise le condizioni al contorno a disposizione. Tuttavia la 
difficoltà di rappresentare correttamente le reali condizioni dei terreni comporta 
l’adozione di modelli semplificati in cui si schematizza il terreno come un mezzo 
continuo polifase. I modelli che offrono ampia applicabilità sui terreni incoerenti 
sono quelli basati sulla teoria della plasticità, i cui capisaldi sono rappresentati 
dal criterio di snervamento, dal criterio di flusso, dalla legge di incrudimento e in 
alcuni casi da un criterio di rottura. Questo capitolo, dopo alcuni brevi richiami 
sulla meccanica del continuo, sarà dedicato all’analisi delle leggi alla base della 
modellazione costitutiva. Il tutto verrà fatto con particolare riferimento ai 
materiali granulari. Inoltre, considerato l’impatto che su tutti i modelli di
Capitolo 2                                                              Meccanica dei Terreni Incoerenti 
 
                                                                                                                                7 
 
comportamento sviluppati negli ultimi trent’anni ha avuto la teoria dello Stato 
Critico, elaborata all’università di Cambridge, si è ritenuto opportuno dedicare un 
paragrafo ai fondamenti di tale teoria.  
 
2.2 Stato tensionale e deformativo 
Il completo stato tensionale di un elementino di terreno sottoposto a un sistema 
geotecnico può essere descritto attraverso sei componenti di tensione indipendenti 
(fig. 2.1). Tali tensioni possono essere tre tensioni normali e tre tangenziali agenti 
su tre piani mutuamente ortogonali. Tuttavia per ogni stato tensionale è possibile 
individuare una terna di piani, mutuamente ortogonali, sui quali le tensioni 
tangenziali  sono tutte nulle e le tensioni normali   attingono i valori estremi. Le 
normali a questi tre piani definiscono tre direzioni principali o assi principali e le 
tensioni agenti normalmente a essi sono tre tensioni principali 
1
, 
2
, 
3 
(fig. 2.2), 
che rappresentano rispettivamente la tensione principale massima ( 
1
), la tensione 
principale intermedia ( 
2
) e la tensione principale minima ( 
3
). Dunque le sei 
quantità necessarie a descrivere completamente un generico stato tensionale 
possono anche essere date dalle tre tensioni principali e dalle direzioni dei tre assi 
principali.  
 
Figura 2.1 – Elemento di terreno soggetto a un generico stato tensionale (Wood, 2004). 
 
 
Figura 2.2 – Assi  principali e tensioni principali per un generico stato tensionale.
Capitolo 2                                                              Meccanica dei Terreni Incoerenti 
 
                                                                                                                                8 
 
Le tre tensioni principali possono essere usate per definire uno spazio 
tridimensionale (fig. 2.3(a)), che può essere visto attraverso due proiezioni 
bidimensionali. La proiezione più frequentemente usata è quella del piano 
deviatorico o piano-  (fig. 2.3(c)), una vista dello spazio delle tensioni principali 
dalla retta in cui  
1
 = 
2
 = 
3 
(fig. 2.3(b)).  
 
Figura 2.3 – Tensione principale p’ e tensione deviatorica q nello spazio delle tensioni 
principali efficaci; (b) cubo con lati definiti dagli assi principali; (c) assegnazione delle 
tensioni principali maggiore, intermedia e minima nei settori del piano deviatorico 
(Wood, 1990). 
 
Analizzando lo stato deformativo è ugualmente possibile individuare dei piani 
principali in cui le deformazioni legate agli scorrimenti angolari  sono nulle, 
mentre le deformazioni normali attingono i valori estremi. Tali deformazioni sono 
definite principali e sono indicate con   
Nelle prove triassiali standard le tensioni orizzontali e verticali agenti sono 
principali in quanto l’accurata lubrificazione delle basi del campione assicura che 
nessuna superficie orizzontale o verticale sia soggetta a tensioni tangenziali.
Capitolo 2                                                              Meccanica dei Terreni Incoerenti 
 
                                                                                                                                9 
 
Per rappresentare lo stato tensionale e deformativo di un terreno si può ricorrere 
allo spazio delle tensioni o più semplicemente alla costruzione dei cerchi di Mohr. 
Con essi è possibile analizzare lo stato tensionale e deformativo relativo all’istante 
di applicazione del carico; tuttavia spesso è necessario rappresentare l’evoluzione 
dello stato tensionale del terreno durante il processo di carico. 
In generale quando un materiale perfettamente elastico è caricato o ricaricato 
entro il suo range elastico, il comportamento del materiale è dipendente 
esclusivamente dal punto che individua lo stato tensionale  iniziale e finale,  e non 
dal percorso di carico che ha subìto. Questo non è altrettanto vero per i terreni, il 
cui comportamento dipende non solo dallo stato iniziale e finale di tensione, ma 
anche da tutta la precedente storia di carico. Allora nel caso in cui si voglia 
tracciare il percorso tensionale l’utilizzo dello spazio delle tensioni o della 
costruzione dei cerchi di Mohr non rappresenta la soluzione più vantaggiosa (fig. 
2.4(a)). Una rappresentazione più soddisfacente rispetto a quella dei cerchi di 
Mohr e più semplice rispetto a quella offerta dallo spazio delle tensioni principali 
(fig. 2.3) si può ottenere facendo ricorso agli invarianti di tensione p e q (fig. 
2.4(b)), in cui p è la tensione totale media, o sferica,  definita come: 
  
3 2 1
3
1
       
ott
p (2.1) 
mentre q è la tensione deviatorica definita come: 
        
5 , 0
2
3 2
2
3 1
2
2 1
2
1
2
3
              
ott
q (2.2) 
 
Figura 2.4 – Rappresentazione dell’evoluzione dello stato tensionale per 
1
 crescente e 

3
  costante. Nei due digrammi ciascuno dei punti A, B etc. rappresenta il medesimo stato 
tensionale. (a ) Cerchi di Mohr. (b) Diagramma p-q.
Capitolo 2                                                              Meccanica dei Terreni Incoerenti 
 
                                                                                                                                10 
 
I due parametri p e q sono denominati invarianti di tensione in quanto la loro 
entità è indipendente dalla scelta degli assi di riferimento. Infatti, dato un certo 
stato tensionale in un punto di un continuo, si ha che a un cambiamento della 
direzione degli assi coordinati x, y, z corrisponde una modifica delle componenti 
del tensore delle tensioni 
xx
, 
yy
,  
zz
,  
yz
,  
zx
,  
xy
, mentre i valori delle tensioni 
principali restano invariati. Ne consegue che una qualunque funzione delle tre 
tensioni principali sarà anch’essa indipendente dalla scelta del sistema di 
riferimento. Per convenzione si possono definire tre invarianti del tensore degli 
sforzi: 
 p tr I
ij
3 ) (
3 2 1 1
         (2.3) 
        
2 1 1 3 3 2
2 2
2
2
1
            
ij ij
tr tr I (2.4) 
 
3 2 1 3
det      
ij
I (2.5) 
definiti rispettivamente invarianti del primo, secondo e terzo ordine e in cui 
ij
 è 
il tensore degli sforzi. 
Le espressioni (2.1) e (2.2) di p e q si riferiscono ad uno stato tridimensionale; nel 
caso in cui il problema oggetto di studio possa essere ricondotto a uno schema 
piano assialsimmetrico ( 
2
   
3
) le espressioni di p e q possono essere riscritte nel 
seguente modo: 
  
1 2
1
2
3
p     (2.6) 
 
1 3
( ) q     (2.7)  
Le prove triassiali standard, a cui generalmente si fa ricorso nei laboratori e i cui 
risultati rappresentano la base di partenza per la modellazione costitutiva, sono 
proprio basate su uno schema assialsimmetrico. In esse infatti, a differenza delle 
apparecchiature triassiali vere, vengono controllate solo due delle tre tensioni 
principali e in particolare la tensione principale assiale 
z
 = 
a
 e la pressione di 
cella 
r
 a cui vengono uguagliate le due tensioni principali laterali (fig. 2.5): 
 
r y x
     (2.8) 
Avendo due gradi di libertà, un’apparecchiatura triassiale di questo tipo dovrebbe 
essere più propriamente definita prova di compressione o estensione cilindrica.
Capitolo 2                                                              Meccanica dei Terreni Incoerenti 
 
                                                                                                                                11 
 
Tuttavia, poiché l’impiego di apparecchiature triassiali vere è limitato a causa  
delle difficoltà di ordine meccanico che il controllo delle tre tensioni principali 
comporta, normalmente si fa ricorso alle prove semplificate su descritte alle quali 
è ormai uso comune assegnare la definizione impropria di prove triassiali. 
 
Figura 2.5 – Configurazione assialsimmetrica triassiale (Wood, 2004). 
 
Quando 
2
 = 
3
 lo stato tensionale di un campione è confinato nel piano indicato 
in figura 2.6, denominato piano triassiale. 
 
Figura 2.6 – Piano triassiale (Lancellotta, 1993). 
 
In generale lo stato tensionale di un punto P nello spazio delle tensioni principali 
di figura 2.7 può essere descritto tramite i seguenti tre invarianti: 
- il segmento OR lungo la diagonale spaziale (retta lungo la quale  
1
 = 
2
 = 

3
) pari a 
ott
' 3   ; 
- il segmento RP, che giace nel piano ortogonale alla diagonale spaziale, 
pari a 
ott
  3 ;