Introduzione
II
giro e per scansioni su angoli limitati, mettendo in evidenza quali sono i
limiti che queste comportano in termini di alta ed altissima risoluzione.
Lo schema organizzativo del presente lavoro è il seguente.
Nel primo capitolo si farà un breve richiamo delle tecniche utilizzate
per la ricostruzione dell’immagine di un bersaglio a partire dai campioni
del segnale ricevuto.
Nel capitolo due verrà determinata in forma chiusa la risposta
impulsiva del sistema di imaging al variare del numero dei campioni, della
frequenza di lavoro e dell’ampiezza dell’angolo di scansione. Verranno
evidenziate le differenze delle risposte impulsive che intervengono tra una
scansione su angolo giro e su angolo limitato. Nel caso di angolo limitato il
calcolo sarà svolto in due casi: alta risoluzione ed altissima risoluzione
spaziale.
Nel terzo capitolo vengono descritte le principali tecniche numeriche
per la ricostruzione del campo elettromagnetico reirradiato da un bersaglio
di forma arbitraria. Le tecniche utilizzate sono la Teoria Geometrica della
Diffrazione ed il Metodo dei Momenti. Sempre nel terzo capitolo si fornirà
un’interpretazione fisica della funzione di riflettività e verranno illustrati
quelli che sono i parametri che la modificano (polarizzazione, scansione,
frequenza, ecc.).
Nel quarto capitolo viene descritta la tecnica che permette di
ricostruire l’immagine a partire dai campioni del segnale acquisito in
corrispondenza di una variazione limitata dell’angolo di vista del bersaglio.
Vengono valutati gli errori che si commettono nel calcolare la
densità di corrente indotta nel caso di scansione monostatica confrontata
Introduzione
III
con il caso di scansione bistatica prendendo come parametro l’apertura
angolare. Gli oggetti che saranno analizzati sono i cilindrici a sezione
variabile.
Prendendo come riferimento gli errori commessi nel caso del calcolo
della densità di corrente indotta con scansione monostatica, verranno poi
analizzate ed interpretate le immagini radar relative a bersagli di lunghezza
infinita e perfettamente conduttori. In particolare saranno esaminati il caso
di una striscia e di un cilindro a sezione triangolare.
Capitolo 1 . Sistema di ricostruzione dell’immagine
1
1.1 Generalità
La ricostruzione dell’immagine di un bersaglio radar a partire dai
campioni del campo elettromagnetico da esso reirradiato è certamente un
problema che oggi ha un’estrema rilevanza nella letteratura tecnica e nella
realtà pratica. Le misurazioni del campo riflesso da un oggetto qualsiasi
permettono di accedere a campioni di una funzione di riflettività
equivalente (il cui significato sarà chiarito più avanti) opportunamente
definita sul bersaglio stesso; il posizionamento di questi campioni sul piano
trasformato viene definito attraverso due parametri fondamentali: banda e
angolo di vista rispetto al radar.
Poco sopra si è accennato allo spazio di Fourier: l’accesso ad esso
non è immediato, ma risulta necessaria una primaria elaborazione dei
campioni del campo reirradiato allo scopo di rimuovere l’indesiderato
fattore di fase che si genera a causa della propagazione fra radar e
Capitolo 1 . Sistema di ricostruzione dell’immagine
2
bersaglio, non solo, è necessario anche annullare gli effetti del clutter e le
distorsioni che inevitabilmente il sistema di misura introduce.
I principi basilari su cui si basa la capacità del radar di fornire
immagini saranno descritti fra breve, verrà considerato un sistema radar
CW e si ricorrerà ad un modello semplificato per ciò che si riferisce
all’interazione fra segnale trasmesso e bersaglio. Una descrizione completa
di tale relazione, fondata sull’applicazione rigorosa delle leggi
dell’elettromagnetismo, non è lo scopo di questo lavoro, ecco perché ci si
accontenterà di darne la più semplice rappresentazione possibile tale da
permettere di spiegare in modo esauriente la possibilità di acquisire delle
immagini elaborando echi radar.
1.2 Segnale radar ricevuto
Quando si parla di “sistema di imaging” ci si riferisce
sostanzialmente alla ricostruzione della funzione di riflettività ),( yxf sul
bersaglio tramite la quale ricavare l’immagine elettromagnetica del
bersaglio. Essa è una funzione complessa e rappresenta una misura di
quanto il segnale riflesso dal bersaglio sia attenuato e sfasato rispetto al
segnale trasmesso. Se si volessero considerare tutti i parametri in gioco,
sarebbe necessario tenere conto della polarizzazione dell’onda, della
caratteristica di irradiazione dell’antenna trasmittente, della polarizzazione
dell’antenna ricevente, delle caratteristiche sia geometriche che materiali
Capitolo 1 . Sistema di ricostruzione dell’immagine
3
del diffusore e così via; sono quindi state adottate delle semplificazioni
classicamente accettate.
Si consideri un singolo diffusore stazionario illuminato da un’onda
elettromagnetica per ora monocromatica e ci si riferisca al sistema di
fig.1.1.in cui si ipotizza il radar posizionato nell’origine O ed il diffusore
localizzato nel punto P di coordinate cartesiane ),( ξη .
ξ
ξ
R
η
η
Fig. 1.1
Sia )(ts
T
il segnale trasmesso e )(ts
R
quello ricevuto, risulta che:
)()( τ−= tsAts
TR
(1.1)
dove:
c
R ),(
2
ξη
τ = (1.2)
ed A è una funzione complessa che tiene conto dell’interazione e.m. tra
onda incidente e bersaglio in termini di ampiezza e fase.
Capitolo 1 . Sistema di ricostruzione dell’immagine
4
Se si supponesse di avere N diffusori ideali, e si ipotizzi un’assenza
di interazioni tra essi. Il problema risulta così semplificato, è però evidente
come il modello matematico che sarà adottato potrebbe essere discutibile
quanto più stretta è la zona spaziale in cui i diffusori sono posizionati. Sotto
queste premesse si scriverà:
)()(
1
kk
N
k
kR
tsAts τ−=
=
(1.3)
dove:
c
R
kk
k
),(
2
ξη
τ = (1.4)
Si consideri ora il caso di un bersaglio distribuito stazionario.
Introducendo la funzione di riflettività equivalente ),( yxf abbiamo:
dydx
c
yxR
tsyxfts
T
bersaglio
R
]
),(
2[),()( −=
(1.5)
Viene ora fissato il sistema di coordinate cartesiano ortonormale
),( yx solidale al bersaglio, il sistema ),( ξη , il sistema ),( vu che è tale da
avere l’asse u allineato con la congiungente le origini degli assi ),( yx e
),( ξη ad ogni istante t , e con l’asse v è ruotato di
2
pi
in senso antiorario
rispetto a u , il tutto è illustrato in fig.1.2. L’angolo che viene a formarsi
tra l’asse x e l’asse η viene indicato come θ .
Capitolo 1 . Sistema di ricostruzione dell’immagine
5
L’angolo tra l’asse x e l’asse u (anch’esso indicato nella figura) è
stato chiamato d e risulta chiaramente pari a: θφ −=d .
ξ v y
u d x
φ θ
ξ
0
R
η
η
Fig. 1.2
Si riscriva la (1.5) in termini di ),( vu utilizzando la relazione:
+=
−=
)](cos[)]([
)]([)](cos[
tdvtdsinuy
tdsinvtdux
(1.6)
ed ottenendo l’espressione del segnale ricevuto nel caso di bersaglio in
movimento:
Capitolo 1 . Sistema di ricostruzione dell’immagine
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=−+−=
dvdu
c
R
tsdvdsinudsinvdufts
T
bersaglio
R
]2[)]cos()(),()cos([)(
dvdu
c
tvuR
tsvuf
T
bersaglio
]
),,(
2[),( −=
(1.7)
Il moto di questo bersaglio rigido si può correttamente descrivere
tramite le funzioni del tempo )(
0
tR (è la distanza istantanea fra radar ed il
punto di riferimento sul bersaglio), )(tφ e )(tθ , ecco quindi che la quantità
),,( tvuR , rifacendosi al sistema di coordinate già introdotto diventa:
22
0
])(),,( vutRtvuR ++= (1.8)
Nell’ipotesi di distanza radar-bersaglio molto maggiore della
massima dimensione del bersaglio stesso, condizione che si suppone
verificata in pratica, un rapido conto porta alla semplificazione che segue:
utRtvuR +≈ )(),,(
0
(1.9)
che viene chiamata approssimazione lineare iso-range.
Sono state stabilite ora le premesse matematiche che permettono di
scrivere a cosa è uguale il segnale )(ts
R
nel caso che il segnale trasmesso
dal radar sia:
tfj
T
eAts
0
2
)(
pi
= (1.10)
Capitolo 1 . Sistema di ricostruzione dell’immagine
7
Utilizzando le trasformazioni
+−=
+=
)]([)]([
)]([)](cos[
tdcodytdsinxv
tdsinytdxu
(1.11)
e sostituendo la (1.9) e la (1.10) nella (1.7) un semplice conto porta alla:
+−−=
))](())(cos([
4
exp),()]
)(
2(2exp[)(
00
0
tdsinytdx
c
f
jyxf
c
tR
tfjAts
bers
R
pi
pi ,
definendo poi il sistema:
=
=
)]([2)(
)](cos[2)(
0
0
tdsin
c
f
tY
td
c
f
tX
(1.12)
ecco che si ottiene la relazione:
{}dydxYyXxjyxf
c
tR
tfjAts
bers
R
][2exp),()]
)(
2(2exp[)(
0
0
+−−=
pipi .
Una volta convertito il segnale )(ts
R
in banda base, a livello di
ricevitore, tramite un oscillatore a frequenza
0
f , si trarrà:
Capitolo 1 . Sistema di ricostruzione dell’immagine
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dydxeyxfeAetsts
yYxXj
bers
c
R
fj
tfj
RR
][2
4
2
),()()(
0
0
0
+−
−
==
′
pi
pi
pi
.
Rimane ora da recuperare il termine di fase dato da: ]
)(
4[
0
0
c
tR
fpi− ,
ipotizzando perciò di conoscere la distanza )(
0
tR , si ricava la relazione:
dydxeyxfAetsts
yYxXj
bers
c
R
fj
RR
][2
2
),()()(
0
0
+−
=
′
=
′′
pi
pi
(1.13)
che appare subito evidente essere la trasformata bidimensionale di Fourier
della funzione di riflettività equivalente del bersaglio valutata nel punto
),( YX . Si è quindi arrivati ad un punto cruciale del problema: al variare di
X e di Y nel tempo sarà possibile prelevare dei campioni del campo
reirradiato, essi verranno elaborati come si è appena visto e si accederà così
a diversi campioni di tale trasformata ed in questo modo si consentirà di
arrivare alla conoscenza dell’immagine del bersaglio.
Riguardando ora le relazioni (1.13) si scopre immediatamente come i
campioni ricavati per una certa frequenza
0
f giacciano tutti su una
circonferenza che ha centro nell’origine e raggio:
c
f
R
f
0
2
0
= .
La successiva considerazione che può quindi essere fatta è che la
massima quantità di informazione che si può ottenere con questa tecnica
sarà data dalla conoscenza della trasformata su tutta la circonferenza.
Capitolo 1 . Sistema di ricostruzione dell’immagine
9
Questo discorso verrà comunque approfondito nel successivo
capitolo.
In tutte le relazioni che sono state scritte è presente il moto del
bersaglio nel momento in cui esso viene illuminato dal radar, piuttosto che
questo fatto è però importante osservare che una componente fondamentale
del sistema di imaging è la variazione nel tempo dell’angolo di
presentazione del bersaglio rispetto al radar stesso, il valore di )(td infatti
fa sì che si prelevino campioni diversi della trasformata sul piano di
Fourier, i quali accrescono la conoscenza dell’immagine ed entro certi
limiti permettono la ricostruzione di essa.
1.3 Tecniche di ricostruzione dell’immagine
Si andrà ora a vedere il metodo di ricostruzione dell’immagine a
partire dal segnale ricevuto )(ts
R
riportato nell’equazione (1.13).
Si consideri il sistema di coordinate di fig. 1.3 e si prelevino un
numero totale di campioni del campo reirradiato pari a
C
N ruotando di
volta in volta il bersaglio della quantità
0
φθ k
k
= , con:
C
N
pi
φ
2
0
= in senso
antiorario.
Capitolo 1 . Sistema di ricostruzione dell’immagine
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u
y
)(td
x
θ
v
2
pi
φ =
Fig. 1.3
u y
)(td
0=θ
v x
2
pi
φ =
Fig. 1.4
Capitolo 1 . Sistema di ricostruzione dell’immagine
11
Si supponga anche di prelevare il primo campione a 0=θ col
bersaglio come disposto in fig. 1.4, si illustrerà ora con quale legge tali
campioni verranno disposti sul piano trasformato.
Per capire come essi si disporranno si riguarda ora il sistema di
coordinate (1.12):
=
=
)]([2)(
)](cos[2)(
0
0
tdsin
c
f
tY
td
c
f
tX
ove si era posto:
θφ −=d .
Nelle condizioni sopra esposte, al prelevamento del primo campione
gli angoli in gioco sono
2
pi
φ = e 0=θ , al prelevamento del k -mo
saranno
2
pi
φ = e
0
)1( φθ −= k , questo permette di scrivere che le
coordinate cartesiane del generico campione saranno:
−=−−=
−=−−=
])1cos[(])1(
2
[2
])1[(])1(
2
cos[2
00
0
00
0
0
0
φφ
pi
φφ
pi
kRksin
c
f
Y
ksinRk
c
f
X
fk
fk
(1.14)
con:
c
Nk ,...,1= .
Capitolo 1 . Sistema di ricostruzione dell’immagine
12
Le coordinate
k
X e
k
Y risultano così quelle di punti disposti su di
una circonferenza appartenente al piano trasformato così come si vede dalla
fig.1.5.
All’aumentare dell’angolo
0
)1(
2
φ
pi
−−= kd
k
il piano ),( yx su cui
è posto il bersaglio ruota in senso antiorario, perciò dato che il valore
c
Nk ,...,1= , i campioni vengono disposti ruotando in senso orario sulla
circonferenza suddetta.
Fig. 1.5
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