Curva di Durata delle Portate
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Capitolo 1
CURVA DI DURATA DELLE PORTATE
1.1 Definizione e interpretazione
La Curva di Durata delle Portate rappresenta uno degli strumenti grafici fra i piø
significativi e di piø ampio utilizzo operativo per valutare l’entità della risorsa idrica
attesa in una sezione fluviale; permette di rappresentare in maniera completa e
compatta l’intero campo di variazione delle portate (Smakhtin, 2001).
Essa può essere costruita utilizzando valori di portata orari, giornalieri, mensili o
relativi ad altri intervalli temporali di riferimento, anche se la maggior parte delle
applicazioni ingegneristiche delle curve di durata si avvale dei valori giornalieri.
La curva di durata esprime infatti nella maggior parte dei casi la relazione tra i valori
osservati delle portate medie giornaliere ed il numero di giorni in cui tali valori sono
superati o eguagliati nell’arco del generico anno.
¨ tuttavia consuetudine nella pratica idrologica esprimere tale curva in una scala
adimensionale dividendo la durata per 365, in modo da avere in ascisse la
percentuale d dei giorni dell’anno in cui la portata è uguagliata o superata, e in
ordinata la portata divisa per la portata media del corso d’acqua (Q
m
). In questo
modo è possibile confrontare le curve di durata di corsi d’acqua molto diversi tra
loro.
In particolare la Figura 1.1 rappresenta le curve di durata tipiche di tre diversi tipi di
corsi d’acqua: la prima (a) caratterizza un corso d’acqua a regime torrentizio con
lunghi periodi di secca, in cui la portata massima è molto elevate rispetto alla portata
media (es. fiumare calabre), valore che si abbassa notevolmente nella seconda figura
(b), che caratterizza un comportamento piø regolare con brevi periodi di secca (es.
Curva di Durata delle Portate
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bacini alpini) e soprattutto nell’ultima (c) che caratterizza un fiume di grandi
dimensioni a regime permanente (es. fiume Po).
I tratti iniziali delle curve di durata sono quelli di interesse per le analisi di piena
mentre i tratti terminali sono ovviamente quelli di interesse per le analisi di magra.
Come si può notare dalle figure, spesso la presenza delle portate massime determina
un andamento piuttosto appiattito e poco visibile del ramo inferiore della curva. Per
avere una maggiore visibilità e quindi facilitare la lettura della curva è possibile
passare ad una rappresentazione logaritmica.
Fig. 1.1. Curve di durata di tre bacini aventi diverse
caratteristiche: a) corso d’acqua a regime torrentizio;
b) bacino alpino; c) corso d’acqua a regime
permanente.
a)
c)
b)
Curva di Durata delle Portate
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La rappresentazione in scala semilogaritmica consente di avere un intervallo di
variabilità della portata piø ristretto rispetto alla rappresentazione in scala naturale,
ciò comporta un certo appiattimento della curva di durata e una migliore
visualizzazione del ramo della curva relativo alle alte durate, risultato molto
importante per esempio per quegli studi che pongono la loro attenzione proprio sulle
portate di magra, come ad esempio uno studio sull’approvvigionamento idrico.
Comporta però anche il fatto di non poter riportare le portate nulle sul grafico,
potendo l’argomento del logaritmo essere solo strettamente positivo per ovvie
ragioni matematiche.
In letteratura sono noti due diversi approcci per interpretare la curva di durata delle
portate a seconda del periodo di tempo che si prende come riferimento:
1. Un primo approccio consiste nel considerare contemporaneamente tutti i valori
osservati nell’intero periodo di rilievo disponibile (POR – Period of Record) e
costruire un’unica curva di durata definita Curva di Durata Totale indicata
mediante la sigla FDC, acronimo inglese di “Flow Duration Curve”;
2. Il secondo approccio, descritto da LeBoutillier e Waylen (1993), Vogel e
Fennessey (1994), consiste invece nel ricavare la curva di durata di ciascun anno
(AFDC, Annual Flow Duration Curve) e poi nel mediarle per ricavare un’unica
curva di durata caratteristica dell’andamento delle portate in un anno “tipico” ma
ipotetico per la sezione in esame.
Da quanto appena detto si può dedurre che l’andamento delle curve di durata totali
può fortemente variare in funzione del particolare periodo di osservazione adottato
perchØ i dati di portata registrati possono essere anche molto differenti da un periodo
all’altro. Questo vale soprattutto per il ramo inferiore della curva, estremamente
sensibile ai valori idrologici minimi registrati. Piø in generale, tali curve sono
fortemente influenzate dalle situazioni estreme (periodi secchi o periodi umidi) che si
verificano nel corso dell’intervallo temporale preso a riferimento. Inoltre non
consentono di individuare le variazioni stagionali dei deflussi. Tale interpretazione
risulta quindi assai utile nel caso in cui il campione è abbastanza ampio da fornire i
valori “limite” della distribuzione di portate (massimi e minimi assoluti di portata).
Curva di Durata delle Portate
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Qualora si utilizzi come metodo di indagine l’approccio AFDC, la maggior parte
degli studi non consiglia di utilizzare la curva media annuale di durata per
caratterizzare il comportamento idrologico medio del periodo di osservazione
(Smakhtin, 2001). Per tale finalità è infatti suggerita come piø rappresentativa la
curva di durata mediana; a quest’ultima curva è infatti associabile un chiaro
significato fisico in quanto il generico valore Q
d
definisce la portata di durata d che
viene in media raggiunta e superata un anno ogni due.
Tuttavia nella pratica non vi sono differenze notevoli tra le due curve e questo è
dovuto soprattutto al fatto che per alcune sezioni si dispongono di pochi anni di
osservazione con deflussi annuali molto simili tra di loro oppure si dispongono di
molti anni di osservazione ma che non presentano fenomeni di rilievo durante
l’intero periodo di osservazione. In virtø di questa somiglianza in genere viene
preferita la costruzione e l’utilizzo della curva media annuale di durata in quanto il
suo andamento può sembrare molto piø regolare rispetto alla mediana. Questa
differenza è facilmente comprensibile se si considera come vengono mediati i dati di
portata per ottenere le due curve, procedimento che verrà descritto nel seguente
paragrafo.
Ovviamente a tali curve non corrispondono valori di portata effettivamente misurati,
poichØ media e mediana non individuano necessariamente valori sperimentali e non
rappresentano quindi un andamento reale del bacino esaminato (per questo motivo si
parla di anno ipotetico).
Questa nuova interpretazione consente però di ovviare ai difetti propri delle curve di
durata totali e risulta pertanto molto piø vantaggiosa per diverse applicazioni in
ambito idrologico.
Utilizzando le curve di durata annuali si perdono informazioni importanti quali i
valori massimi e minimi assoluti di portata (che ora corrispondono ai valori medi di
tutti i massimi e di tutti i minimi osservati); è possibile però individuare eventuali
caratteristiche stagionali dei regimi fluviali ed eventuali periodi di alte o basse
portate che si verificano nell’arco di un anno. Inoltre tali curve non sono influenzate
dai periodi secchi o umidi che possono caratterizzare gli N anni di osservazione.
Curva di Durata delle Portate
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1.2 Costruzione delle curve sperimentali
Per costruire la curva di durata delle portate risulta fondamentale un lungo periodo di
osservazione, indicato con parecchie decine di anni. Essa si deriva dall’andamento
cronologico delle portate (Fig.1.2); ai fini ingegneristici generalmente si considerano
le portate giornaliere, come già osservato.
CURVA DI DURATA TOTALE
La curva FDC si costruisce disponendo in ordine decrescente tutti i valori osservati
raccolti in un unico campione. ¨ stato già ricordato come fosse consuetudine nella
pratica idrologica esprimere tale curva in una scala adimensionale in modo da avere
in ascisse la percentuale delle durate e in ordinata la portata divisa per la portata
media del corso d’acqua.
La durata in termini percentuali può essere interpretata come una misura della
probabilità di superamento del corrispondente valore di portata e la curva di durata
come una funzione di distribuzione di probabilità (in questo caso di superamento)
delle portate medie giornaliere.
Fig. 1.2. Andamento cronologico delle portate
Curva di Durata delle Portate
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Ricordiamo dalla statistica che la probabilità di non superamento di un determinato
valore x è una funzione di x che viene detta funzione di probabilità cumulata (CDF,
Cumulative Distribution Function), adimensionale:
CDF = F
X
(x) = prob(X ≤ x)
Con riferimento a quest’ultima lettura della curva di durata, se si definisce con Q la
generica variabile casuale rappresentativa della portata media giornaliera, la
probabilità che Q sia minore ad un generico valore q si può scrivere come:
CDF : F
Q
(q) = prob(Q < q)
Si definisce quindi la curva di durata delle portate come:
F
QD
(q) = prob(Q ≥ q) = 1 - F
Q
(q)
La stima di F
QD
(q) può essere effettuata ricorrendo a metodi parametrici o metodi
non parametrici. L’approccio mediante metodi parametrici consiste nella definizione
di una forma matematica parametrica della distribuzione di probabilità e nel
successivo adattamento di tale distribuzione ai dati osservati mediante la stima dei
valori dei parametri che in essa compaiono.
Fig 1.3. Funzione di probabilità cumulata
Curva di Durata delle Portate
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I metodi non parametrici consentono la stima di F
QD
(q) senza fare alcuna ipotesi
sulla sua forma matematica ma solo definendo degli stimatori empirici dei quantili.
In generale questi stimatori si basano su combinazioni dei dati osservati in funzione
della loro posizione della serie ordinata.
Nel seguente lavoro si è usata la Plotting Position di Weibull (WPP) per stimare la
F
QD
(q), per tanto con riferimento ad un campione di N valori non nulli, la durata d
i
,
ovvero il generico valore della probabilità di superamento risulta:
1 +
=
N
i
d
i
e la relativa portata è:
q(d
i
) = Q
d
≡ q
i
dove con q
i
si è indicato l’i-esimo valore di portata giornaliera nella serie ordinata in
senso decrescente e con i=1, 2,…, N.
CURVA DI DURATA ANNUALE
La procedura per costruire la AFDC è simile, ma in pratica viene costruita una curva
di durata per ciascun anno stimata mediante un approccio non parametrico.
A partire da tale campione di curve è possibile quindi derivare la stima di curve di
durata di specifico interesse, quali ad esempio la AFDC mediana relativa all’anno
“medio” o “tipico”, o la fascia fiduciaria di assegnata probabilità attorno alla AFDC
mediana (curve percentili), intervallo che permette di quantificare la variabilità delle
portate osservate durante l’anno (fig. 1.4).
Dalle AFDC così ottenute si può poi calcolare il valore medio delle portate che
risultano da ognuna di queste per una prefissata durata ottenendo quella che è
indicata come Curva Media Annuale delle Durate.
Curva di Durata delle Portate
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Fig. 1.4. Curve di durata annuali, mediana, e percentili al 5% e al 95%
Ipotizzando di avere a disposizione N anni di osservazione, la curva mediana è
ottenuta associando ad ogni passo di durata relativa il valore mediano tra gli N valori
di portata corrispondenti a quella durata, cioè il valore di portata osservato q
i,j
che
occupa la posizione centrale nel campione di N dati ordinato in maniera decrescente
relativo a quella durata. Il valore mediano riferito alla durata relativa d
i
rappresenta
quindi quella portata che è stata superata il 50% delle volte; il valore mediano delle
durate attigue può anche essere molto differente dal valore precedente, per questo
motivo l’andamento della curva mediana risulta piø irregolare rispetto a quello della
curva media.
La curva media è invece ottenuta associando ad ogni passo di durata relativa la
media statistica degli N valori di portata corrispondenti a quella durata; indicando
con d
i
la i-esima durata, la portata media Q
i
associata a tale durata è ottenuta come:
p=0.05
p=0.95
Curva di Durata delle Portate
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∑
=
=
N
j
j i i
q
N
Q
1
,
1
dove q
i,j
è la portata corrispondente alla durata d
i
osservata nell’anno j. La curva che
si ottiene con questo procedimento presenta un andamento piuttosto regolare in
quanto le differenze di valore tra le portate corrispondenti a durate attigue risultano
alquanto ridotte.
Le due metodologie di costruzione della curva di durata, FDC e AFDC, conducono
peraltro a stime di Q
d
significativamente diverse; in particolare il metodo della FDC
produce curve caratterizzate da una maggior variabilità, soprattutto nella zona delle
durate piø elevate, cioè delle portate di magra, mentre la metodologia AFDC produce
curve di durata piø “smussate” verso gli estremi proprio per l’effetto di media esteso
ai vari anni e, soprattutto nel caso di campioni di limitata numerosità, è meno
influenzata da periodi di campionamento caratterizzati da portate in alveo
particolarmente elevate o particolarmente basse.
D’altra parte l’approccio mediante la curva FDC rappresenta un’applicazione usuale
nella pratica idrologica e, diversamente dall’AFDC, può essere utilizzato per la
generazione di serie sintetiche da utilizzare nel contesto degli studi idrologici.
PoichØ uno degli l’obiettivi di interesse della presente tesi è quello di definire una
procedura regionale tramite cui costruire la curva di durata per un generico bacino di
cui non si hanno informazioni, si farà riferimento alla Curva Annuale delle Durate
Mediana.
Curva di Durata delle Portate
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1.3 Principali impieghi ingegneristici
Una curva di durata delle portate fornisce, come già specificato nel paragrafo
precedente, una stima della percentuale di tempo nella quale una data portata viene
eguagliata o superata durante l’intero periodo di osservazione.
Come si può leggere da Vogel e Fennessey (1995), le curve di durata delle portate
riassumono il vecchio proverbio cinese “un’immagine vale piø di mille parole”, data
la loro abilità a riunire un gran numero di informazioni idrologiche in un unico
grafico e data la loro semplicità di uso, di interpretazione e comprensione.
Sono diversi gli impieghi ingegneristici in cui viene usato questo potente strumento
grafico, tant’è che ancora oggi, nonostante la sua introduzione sia tutt’altro che
recente, non esiste in letteratura un testo, un articolo, una rivista che li raccolga tutti.
Probabilmente le prime applicazioni riguardano la valutazione economica della
capacità di produzione di energia idroelettrica di un impianto (Hickox e Wessenauer,
1933; Searcy, 1959; Warnick, 1984).
In questo paragrafo si vuole fare una sintesi di alcuni principali impieghi della FDC a
partire dagli studi relativi alla gestione delle risorse idriche, come ad esempio
l’approvvigionamento idrico, la produzione di energia idroelettrica come accennato
prima, la definizione del deflusso minimo vitale, fino al controllo della qualità delle
acque, analisi del carico inquinante negli impianti di trattamento delle acque di
scarico, fino ancora all’analisi di frequenza delle piene, valutazione dei danni
prodotti dalle piene ed infine l’analisi dei trend, aspetto tra l’altro oggetto di questo
lavoro di tesi, dovuti ai cambiamenti climatici o di uso del suolo o agli effetti della
vegetazione.
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